2018-2019数学北师大版选修2-1练习：第二章3.1-3.2 空间向量基本定理 2
北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2．长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A ．26B ．36C ．56D ．134．已知长方体1111ABCD A BC D -的底面AC 为正方形，1AA a =，AB b =，且a b >，侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =，设异面直线1A B 与1AD ，1A B 与11D B ，AE 与11D B 的所成角分别为α，β，γ，则 A ．αβγ<<B ．γβα<<C ．βαγ<<D ．αγβ<<5．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（ ）A ．32B ．233C ．3πD ．2π 6．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A ．32B ．12C ．14D ．07．设平面α的一个法向量为1(1,2,2)n =-，平面β的一个法向量为2(2,4,)n k =--，若//αβ，则k = ( )A ．2B ．-4C ．-2D ．48．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个 ①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．11+22+a b cB ．1122a b c -+C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 10．已知()()2,,,1,21,0a t t b t t ==--，则b a -的最小值是( ) A ．2B ．3C ．5D ．611．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76B ．75C ．72D ．7412．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>二、填空题13．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 为线段1BB 的中点，则AE 与1CD 所成角的余弦值为____．14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为，则的最大值为 .15．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．16．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________.17．如图，已知边长为1的正'A BC ∆的顶点'A 在平面α内，顶点,B C 在平面α外的同一侧，点','B C 分别为,B C 在平面α内的投影，设''BB CC ≤，直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ.若'''A B C ∆是以角'A 为直角的直角三角形，则tan ϕ的最小值__________. 18．已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量,,a b a b c +-是空间的另一个基底．若向量m 在基底,,a b c 下的坐标为()1,2,3，则m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为 _________19．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图所示，在七面体ABCDEFG 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，////BE CF DG ，BE ⊥底面ABCD ，2BE CF DG ===.（1）求证：//AG 平面BCFE ；（2）在线段BC 上是否存在点M ，使得平面AGE 与平面MGE 所成锐二面角的余弦值为21，若存在求出线段BM 的长；若不存在说明理由﹒ 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，6π∠=CAD ，且321,2AD CD PA ABC ===和PBC 均是等边三角形，O 为BC 的中点.（I ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.24．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.25．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2,60AD CD ADC ︒=∠=．（1）,M N 分别是1,AC BB 的中点，求证：//MN 平面11A B CD（2）若12,(0)CD AA AC λλ==>，二面角1A C D C --的余弦值为55，求三棱锥11C ACD -的体积． 26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.2．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解． 【详解】由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2， 建立如图所示的空间直角坐标系，则12341234(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ， 则12(1,0,2)A B =-， 与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=， 与14(0,1,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=， 与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224A B A B ⋅=⨯=， 与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143A B A B ⋅=-+=， 与12(1,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=， 体对角线向量为13(1,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=，24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=， 31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=， 42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．A解析：A 【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞=4226922-=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 故选A ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A 【分析】根据题意将异面直线平移到同一平面，再由余弦定理得到结果. 【详解】根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然α，β，(0,]2πγ∈，因为a b >，异面直线1A B 与1AD 的夹角即角1AD C ，根据三角形1AD C 中的余弦定理得到222211cos 21()a b a b aα==>++，故(0,)3πα∈，同理在三角形1A DB 中利用余弦定理得到：2221cos 222()1a a b bβ==<⋅+⋅+，故(,)32ππβ∈， 连接AC ，则AC 垂直于BD ，CE 垂直于BD ，AC 交CE 于C 点，故可得到BD 垂直于面ACE ，进而得到BD 垂直于AE ，而BD 平行于11D B .从而得到2πγ=，故αβγ<<. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.5．C解析：C【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【详解】由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12， 如图当E 与C 重合时， 4=12， 取O 为AD′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π， 其所对的弧长为1223π⨯=3π， 故选：C【点睛】 本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K 的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目． 6．C解析：C建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,()3,0,0B ，()13,0,2B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--， 11cos ,A B BC <>1111A B B C A B B C ⋅=⨯22222=⨯14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D【分析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.因为//αβ，所以12122//24n n k-==--，，解之得4k =，应选答案D 【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题. 8．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 9．C解析：C【分析】 根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】 由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+ 1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++. 故选：C.【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.10．A解析：A【解析】解：由题意可知：()1,1,b a t t t -=---- ， 则：()()()222211322b a t t t t -=--+-+-=+≥ ，即b a - 的最小值是2 .本题选择A 选项.点睛：本题的模长问题最终转化为二次函数求最值的问题.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．11．C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，0，3），M （0，0，32），P （x ，y ，0）． 于是有AM =（0，1，32），MP =（x ，y ，32-）． 由于AM ⊥MP ，所以（0，1，32）•（x ，y ，32-）＝0， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为22371()42-=． 故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题12．D解析：D【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1F ，0，22)3，1(2O ，12，0)，(0E ，0，2)2，1(1B ，1，2)， 111(,,2)22OB =，112(,,)222OE =--， 1122(,,)223OF =-，12(1,1,)2EB =，2(1,0,)6EF =， 设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-， 同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--，平面OEF 的法向量272(,,3)22p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题13．；【解析】【分析】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出AE 与CD1所成角的余弦值【详解】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系设正方体A 解析：1010； 【解析】【分析】 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE 与CD 1所成角的余弦值．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （2，0，0），E （2，2，1），C （0，2，0），D 1（0，0，2），AE =（0，2，1），1CD =（0，﹣2，2），设AE 与CD 1所成角为θ，则cosθ112101055AE CD AE CD ⋅===⋅⋅， ∴AE 与CD 1所成角的余弦值为1010． 故答案为1010．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【详解】建立坐标系如图所示设则设则由于异面直线所成角的范围为所以令则当时取等号所以当时取得最大值考点：1空间两直线所成的角；2不等式 解析：25 【详解】 建立坐标系如图所示.设1AB =，则11(1,,0),(,0,0)22AF E =.设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则1(,,1)2EM y =-， 由于异面直线所成角的范围为(0,]2π， 所以22112(1)22cos 115451144y y y y θ-+-==⋅++⋅++.2222(1)81[]14545y y y y -+=-++， 令81,19y t t +=≤≤，则281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号. 所以22112(1)12222cos 511555451144y y y y θ-+-==≤⨯=⋅++⋅++，当0y =时，取得最大值.考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式.15．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角 解析：452【解析】【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DHSB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积．【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =， 故,DH EF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DEAC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形． 又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452． 【点睛】 （1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心． （2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．16．(cos sin )【分析】分类讨论：当倾斜角为时可以得出直线的一个方向向量；当倾斜角不等于时先求出直线的斜率然后再写出直线的一个方向向量最后综合即可得出答案【详解】当时直线与垂直则可得直线的一个方解析：(cos θ,sin θ)【分析】分类讨论：当倾斜角θ为90︒时，可以得出直线的一个方向向量；当倾斜角θ不等于90︒时，先求出直线的斜率，然后再写出直线的一个方向向量，最后综合即可得出答案.【详解】当90θ︒=时，直线l 与x 垂直，则可得直线l 的一个方向向量为()0,1；当90θ︒≠时，则可得直线l 的斜率为tan k θ=，则可得直线l 的一个方向向量为()1,tan θ或()cos ,sin θθ；令θ90︒=，则有()()cos ,sin 0,1θθ=，综上可得：直线l 的倾斜角为θ时，直线l 的一个方向向量为()cos ,sin θθ.故答案为：()cos ,sin θθ.【点睛】本题考查了直线方向向量的求解，注意做题时一定要考虑到直线的倾斜角可能为90︒，属于一般难度的题.17．【解析】如图建系设则可得且故又因为故又故又因为且故故答案为解析：22【解析】如图建系，设()()0,,,,0,B b m C c n ，则()()222210,,,0,11cos 600b m c n b m c n m n ⎧+=+=⎪=⋅⎨⎪<≤⎩，可得12mn =且0m n <≤，故2m ≤221c n +=，故1n <,又12mn =, 故12m >，又因为212tan 1,22b m m ϕ==-<≤且，故 2tan ϕ，故答案为22. 18．【解析】由题意可知：即在基底下的坐标为解析：31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知： ()()3123322m a b c a b a b c =++=+--+ ， 即m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 19．【解析】【分析】设出点的坐标根据题意列出方程组从而求得该点到原点的距离【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以所以故该点到原点的距离为故填【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用空间解析：62【解析】【分析】 设出点的坐标(,,)x y z ，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.【详解】设该点的坐标(,,)x y z因为点到三个坐标轴的距离都是1所以221x y +=，221y z +=，221x z +=，所以22232x y z ++=故填2【点睛】 本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题.20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为：解析：【解析】 根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++214CA BD =⋅==故答案为：三、解答题21．答案见解析【分析】先利用已知条件写出点坐标，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，进而得到1,,,EF A A F C E B 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出1,EF A AE BF C ⋅⋅；若选① ：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选② ：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③ ：利用空间向量夹角的性质进行求解即可.【详解】解：由题意，正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，则1(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),(0,0,0),(0,2,0)A B A D C ，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，则1(,2,0),(2,2,2),(2,,2),(2,0,2)EF b a A AE a BF b C =-=--=-=-， 所以142(),82EF A a b AE C BF b ⋅=-+⋅=-.选择①：()()DE CF DE CF +⊥-，所以22()()0,DE CF DE CF DE CF +⋅-==，得a b =，若10EF AC ⋅=得42()0a b -+=， 则1a b ==，故存在点(0,1,2),(1,2,2)E F ，满足10EF AC ⋅=，826AE BF b ⋅=-=. 选择②：因为17||2DE =，=， 得12a =， 若10EF AC ⋅=， 即42()0a b -+=， 得32b =. 故存在点130,,2,,2,222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 满足10EF AC ⋅=，825AE BF b ⋅=-=. 选择③：因为0cos ,1EF DB <〈〉<， 所以EF 与DB 不共线， 所以2b a ≠-， 即2a b +≠，则142()0EF AC a b ⋅=-+≠， 故不存在点,E F 满足10EF AC ⋅=. 【点睛】关键点睛：建立空间坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键. 22．（1）证明见解析；（2）存在，43BM =. 【分析】（1）根据//DG CF 和ABCD 是菱形得到//AD BC ，利用面面平行的判定定理证明. （2）取BC 中点为H ，则DA ，DH ，DG 三线两两垂直，以D 为坐标原点，以DA ，DH ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在M 满足条件，设(01)BM BC λλ=≤≤，分别求得平面AGE 的一个法向量()1111,,x n y z =和平面MGE 的一个法向量()2222,,n x y z =，利用12121221cos 14n n n n n n ⋅⋅==求解. 【详解】（1）∵//DG CF ，CF ⊂面BCFE 且DG ⊄面BCFE ∴//DG 面BCFE又∵//AD BC ，BC ⊂面BCFE 且AD ⊄面BCFE ∴//AD 面BCFE∵AD ⊂面ADG ，DG ⊂面ADG ，且AD DG D =∴面//ADG 面BCFE ∵AG ⊂面ADG ， ∴//AG 面BCFE .（2）取BC 中点为H ，则DA ，DH ，DG 三线两两垂直以D 为坐标原点，以DA ，DH ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，假设存在M 满足条件，则(01)BM BC λλ=≤≤，由题得：()2,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()3,2E ，()0,0,2G ， ∵BM BC λ=，∴点M 坐标为：()123,0λ-，∴(2,0,2)AG =-，()3,2AE =-，()21,3,2MG λ=--，()2,0,2ME λ=， 设平面AGE 的一个法向量为：()1111,,x n y z =， 平面MGE 的一个法向量为：()2222,,n x y z =，则1111111220320n AG x z n AE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令13x 11y =-，13z ， ∴1(3,13)n =-，同理可得21,n λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由题意得：12121243cos 147n n n n n n ⋅⋅===，解得：23λ=或269λ=（舍）， ∴43BM =. 【点睛】方法点睛：证明两个平面平行的方法有：(1)用定义，此类题目常用反证法来完成证明；(2)用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；(4)借助“传递性”来完成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． 23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13. 【分析】（Ⅰ）根据题中的边长以及垂直关系，可求出,OA OP ，利用勾股定理判断OP OA ⊥，再根据等边三角形三线重合，判断OP BC ⊥，即可证明PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）根据垂直关系，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式求CB 与平面PBD 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：在ACD △中，由已知得AC =,ABCPBC O 为BC 的中点 ,OA BC OP BC ∴⊥⊥，且32OA OP ==. 在PAO 中，已知2PA =， 则有222,PO OA PA OP OA +=∴⊥. 又,OA BC O OA ⋂=⊂平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD OP ∴⊥平面ABCD .（Ⅱ）以O 为坐标原点，,,OA OC OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则3330,0,,0,,2P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. (0,3,0)(1,3,0)BC BD ∴==，，3333)2BP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BP n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即3030x y y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1z =.则3,3y x =-=.∴平面PBD 的一个法向量为(3,3,1)n =-，39sin |cos ,|13BC n θ∴=<>=.39sin 13θ∴= 【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ= /斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解. 24．（1）证明见解析；（2）7- 【分析】（1）先证明四边形CDNM 是平行四边形，于是//GF DN ，//GF CM ，即可得到线面平行；（2）要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时2AB BC =={},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz -，于是可以得到(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D ，(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-，设两个法向量求解，最后算余弦值时要判断二面角是钝角还是锐角． 【详解】（1）分别取,AB EB 中点,M N ，连结,,CM MN ND . 在梯形ACDE 中，//DC EA 且12DC EA =，且,M N 分别为,BA BE 中点 ∴//MN EA ，12MN EA =∴//MN CD ，MN CD = ∴四边形CDNM 是平行四边形 ∴//CM DN 又14EG EB =，N 为EB 中点，∴G 为EN 中点， 又F 为ED 中点 ∴//GF DN ∴//GF CM又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ∴//GF 平面ABC （2）在平面ABC 内，过B 作BH AC ⊥交AC 于H . 平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE平面ABC AC =，BH ⊂平面ABC ，BH AC ⊥，∴BH ⊥平面ACDE ∴BH 即为四棱锥B ACDE -的高，又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH最大，此时AB BC ==过点H 作//HP AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，以{},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz - 则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-设1111(,,)n x y z =为平面ABE 的一个法向量，则1100n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以11111020x y x y z +=⎧⎨--+=⎩，取1(1,1,0)n =- 设2222(,,)n x y z =为平面DBE 的一个法向量，则1100n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222222020y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，取2(3,1,2)n = 所以1212127cos ,7n n n n n n ⋅==⋅， 由图，二面角A BE D --为钝二面角，所以二面角A BE D --的余弦值为7-【点睛】本题考查利用建系法求二面角的余弦值，易错点在于判断二面角是钝角． 25．（1）证明见解析；（2）4. 【分析】（1）连接BD ，1B D ，在1BDB △中，利用中位线定理得1//B D MN ，进而利用线面平行判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，易知平面1AC D 的一个法向量为113,1,n λ⎛⎫= ⎪⎭，平面1C CD 的一个法向量为()20,1,0n =，利用公式求二面角余弦，可得出1λ=，从而求三棱锥体积． 【详解】解：（1）证明：如图，连接BD ，1B D∵ 四边形ABCD 为平行四边形，且M 为AC 中点， ∴M 为BD 中点，∵ 在1BDB △中， ,M N 分别是1,BD BB 的中点， ∴1//B D MN ，又∵ MN ⊄平面11A B CD ，1B D ⊂平面11A B CD ， ∴//MN 平面11A B CD（2）∵2,60AD CD ADC ︒=∠=，2CD =， ∴ 在ACD △中，22212cos 164242122AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， ∴ 222AC CD AD +=，即AC CD ⊥，∴ 根据题意得1,,CD CA CC 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()12,0,0,0,23,0,0,0,23D A C λ， 则()()12,23,0,0,23,23AD AC λ→→=-=-， 设平面1AC D 的一个法向量为()1111,,n x y z →=，∴ 11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11113x y y z λ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴ 平面1AC D 的一个法向量为113,1,n λ→⎫=⎪⎭． 易知平面1C CD 的一个法向量为()20,1,0n →=， 设θ为二面角1A C D C --的平面角，则122125cos 31n n n n θλ→→→→-⋅===++⋅． 得1λ=，所以123AA AC == 所以11111123232432C A CD D A CC V V --⎛==⨯⨯⨯= ⎝．【点睛】立体几何是高考必考问题，本题第二问考查二面角有关的问题，建立空间坐标系是解决问题比较简洁的方法，关键点在于找到或证明三条互相垂直的直线，建系时注意尽可能让点的坐标简单，然后这些问题就转化为计算问题，特别注意法向量的求解，然后利用夹角公式，求值或求参数． 26．（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）以BC 的中点O 为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量．根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论；（2）以BC 的中点O 为原点建系，算出平面11AAC C 的法向量，结合平面1DAC 的法向量可算出答案. 【详解】（1）证明：如图以BC 的中点O 为原点建系，设12AB BC CA AA ====． 设(,,)n x y z =是平面1DCA 的一个法向量，则1·0·0n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．又33()2CD =，1(13)CA =，∴020z x y +=++=⎪⎩．令1,1x z y ===，∴(1,1,n =- 1(2,2,0)BC =-，∴1·2200n BC =-++=．又1BC ⊂/平面1DCA ，1//BC ∴平面1DCA ．（2）解：设111(,,)m x y z =是平面11AAC C 的一个法向量， 则11·0·0m CC m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．又1(0,2,0)CC =，1(1CA =，∴11100y x =⎧⎪⎨=⎪⎩．令111,z x ==∴(3,0,1)m =-．∴23cos ,525mn -==-． ∴所求锐二面角的余弦值为5． 【点睛】关键点睛：解答本类题目的关键是根据图形建立合适的空间直角坐标系和学生的计算能力.。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第二章 空间向量
[学习目标] 1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.利用向量知识解决立体几何中一些简单的问题.知识点一 空间向量的加法设a 和b 是空间两个向量，如图，过点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，则平行四边形的对角线OC 对应的向量OC →就是a 与b 的和，记作a ＋b . 知识点二 空间向量的减法a 与b 的差定义为a ＋(－b )，记作a －b ，其中－b 是b 的相反向量. 知识点三 空间向量加减法的运算律 (1)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ). (2)交换律：a ＋b ＝b ＋a . 知识点四 数乘的定义空间向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作λa . (1)|λa |＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (3)交换律：λa ＝a λ(λ∈R ).(4)分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . (λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ∈R ，μ∈R ). (5)结合律：(λμ)a ＝λ(μa )(λ∈R ，μ∈R ). 知识点五 定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 思考 (1)实数λ和空间向量a 的乘积λa 的意义是什么？ (2)实数与空间向量可以相加、相减吗？答案 (1)λ>0时，λa 和a 方向相同；λ<0时，λa 和a 方向相反；λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍.(2)不能.因为向量既有大小又有方向.题型一 空间向量的加减运算例1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→. A.①②B.②③C.③④D.①④ 答案 A解析 (1)A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； (2)BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；(3)AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；(4)B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A. 反思与感悟 运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”.跟踪训练1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________(填序号).①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. 答案 ①②③④解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC 1→.题型二 空间向量的数乘运算例2 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋(a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋12b ＋c )＋(a ＋12c )＝32a ＋12b ＋32c . 反思与感悟 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解.如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘.跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.解 (1)∵P 是CA ′的中点，∴AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(a ＋b ＋c ). (2)∵M 是CD ′的中点，∴AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→)＝12(a ＋2b ＋c ). (3)∵N 是C ′D ′的中点，∴AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c . (4)∵CQ ∶QA ′＝4∶1，∴AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AC →＋45AA ′→＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c . 题型三 向量共线问题例3 如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，则CE →与MN →是否共线？解 方法一 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.①又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，②①＋②得2MN →＝CE →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线.方法二 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AF →)－12AC →＝12(AB →＋AF →)－12(AB →＋AD →) ＝12(AF →－AD →)＝12(BE →－BC →)＝12CE →. ∴MN →∥CE →，即MN →与CE →共线.反思与感悟 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a ＝λb ，从而得到a ∥b .跟踪训练3 设两非零向量e 1、e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).试问：A 、B 、D 是否共线，请说明理由.解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋8e 2)＋3(e 1－e 2) ＝5(e 1＋e 2)，∴BD →＝5AB →，又∵B 为两向量的公共点， ∴A 、B 、D 三点共线.1.设a ，b 是两个不共线的向量，λ，μ∈R ，若λa ＋μb ＝0，则( ) A.a ＝b ＝0 B.λ＝μ＝0 C.λ＝0，b ＝0 D.μ＝0，a ＝0答案 B解析 ∵a ，b 是两个不共线的向量， ∴a ≠0，b ≠0，∴只有B 正确.2.设空间中四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝OA →＋tAB →，其中0<t <1，则有( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段AB 的延长线上 C.点P 在线段BA 的延长线上 D.点P 不一定在直线AB 上 答案 A解析 ∵0<t <1，∴点P 在线段AB 上.3.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( ) A.12a －23b ＋12c B.－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 答案 B解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13a ＋(b －a )＋12(c －b )＝－23a ＋12b ＋12c .4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c .5.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示). 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1.空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题.2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算.。
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习： 第二章章末综合检测 Word版含解析
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D解析：选A.∵BD →＝BC →＋CD →＝2(a ＋2b )＝2AB →，B 为公共点， ∴A 、B 、D 三点共线．2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B ．NP → C ．0D ．MN →解析：选C.PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →解析：选C.对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有选项C 中MA →，MB →，MC →不共面．4．平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1B ．76C.56D ．23解析：选 B.在平行六面体中，AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →－C 1C →.比较系数知x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝76.5．已知两个平面的一个法向量分别是m ＝(1，2，－1)，n ＝(1，－1，0)，则这两个平面所成的二面角的平面角的余弦值为( )A ．－36B ．36 C ．－36或36D ．－33或33解析：选C.cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－16×2＝－36， 由于两平面所成角的二面角与〈m ，n 〉相等或互补．故选C.6．已知a ＝(2，－1，2)，b ＝(2，2，1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B ．652C ．4D ．8解析：选A.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝43×3＝49，sin 〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫492＝659，∴S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝9×659＝65. 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面B 1BCC 1的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面B 1BCC 1的一个法向量， M (a ，12a ，12a )，N (12a ，12a ，a )， MN →＝(－12a ，0，12a )，由于C 1D 1→·MN →＝0，且MN 平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．0B ．94C ．4D ．－94解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得，|AC |2＝42＋42－2×4×4cos 30°＝32－163， ∴|AC |＝2(6－2)，cos ∠CAD ＝cos 〈AD →，AC →〉＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24， 又AD ＝12AB ＝2，∴AD →·AC →＝|AD →||AC →|cos 〈AD →，AC →〉＝4(6－2)×6＋24＝4，故选C.9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是( ) A.24 B ．23 C.63D ．32解析：选C.以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，C 1(0，1，1)．∴DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，BC 1→＝(－1，0，1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1B 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DA 1→·n ＝0，DB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，∴x ＝－y ＝－z .令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)． 设直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BC 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23·2＝63. 10．四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，E ，F 分别为PB ，PD 的中点，则P 到直线EF 的距离为( )A ．1B ．22 C.32D ．62解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，设AC 与BD 的交点为O ，∵|PB |＝|PD |， ∴PO ⊥BD ， 又O (1，1，0)，∴P 点到BD 的距离为|PO |＝（1－0）2＋（1－0）2＋（0－2）2＝6， 又EF 綊12BD ，∴P 到EF 的距离为62. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________． 解析：λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3. 答案：312．若A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于________． 解析：AB →＝(1－x ，2x －3，－3x ＋3)，所以|AB →|＝（1－x ）2＋（2x －3）2＋（－3x ＋3）2 ＝14x 2－32x ＋19＝14（x －87）2＋57，当x ＝87时，|AB →|取得最小值．答案：8713．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1，1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．解析：a ·b ＝－3－2(x －1)－3＝－2x －4，由题意知cos 〈a ，b 〉∈(－1，0)，即－1≠－2x －422×x 2－2x ＋3＜0，解之得x ＞－2且x ≠53.答案：(－2，53)∪(53，＋∞)14．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各侧面均为正方形，侧面AA 1C 1C 的对角线相交于点M ，则BM 与平面AA 1C 1C 所成角的大小是________．解析：法一：取AC 的中点D ，连接BD ，MD ，由于BD ⊥平面AA 1C 1C ，故∠BMD 即为所求直线与平面所成角，设三棱柱棱长为a ，其中BD ＝32a ，DM ＝a 2， 故tan ∠BMD ＝BDDM＝3，解得∠BMD ＝60°. 法二：由题意知此三棱柱为各棱长均相等的正三棱柱，设棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (3，1，0)，M (0，1，1)，BM →＝(－3，0，1)， 取平面ACC 1A 1的一个法向量n ＝(1，0，0)， cos 〈BM →，n 〉＝－32×1＝－32，设BM 与平面ACC 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝32，∴θ＝60°. 答案：60°15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．解析：∵A 1B 1∥平面D 1EF ，∴G 到平面D 1EF 之距等于A 1点到平面D 1EF 之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，F (1，1，12)，E (1，0，12)，设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0n ·ED 1→＝0，易求得平面D 1EF 的一个法向量n ＝(1，0，2)，A 1E →＝(0，0，－12)，∴d ＝|A 1E →·n ||n |＝55. 答案：55三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)(2014·德州高二检测)已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，设a ＝(x ，y ，z )， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0a ·AC →＝0x 2＋y 2＋z 2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1. ∴a ＝(1，1，1)或a ＝(－1，－1，－1)． 17．(本小题满分10分)已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.解：ON →＝12(b ＋c )，OM →＝12a ，MN →＝12b ＋12c －12a ，∵MG →＝2GN →，∴MG →＝23MN →＝13b ＋13c －13a ，∴OG →＝OM →＋MG →＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c .18．(本小题满分10分)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是AB 的中点，点F 是AA 1上靠近点A 的三等分点，在线段DD 1上是否存在一点G ，使CG ∥EF ？若存在，求出点G 的位置，若不存在，说明理由．解：存在．如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则E (1，12，0)，F (1，0，13)，C (0，1，0)，假设在DD 1上存在一点G ，使CG ∥EF ，则CG →∥EF →，由于点G 在z 轴上，设G (0，0，z )，∴EF →＝(0，－12，13)，CG →＝(0，－1，z )．∵CG →∥EF →，∴CG →＝λEF →，即(0，－1，z )＝λ(0，－12，13)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝λ×0，－1＝－12λ，z ＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，z ＝23. 由于z ＝23∈[0，1]，所以点G 在线段DD 1上，其坐标为(0，0，23)，故在线段DD 1上存在一点G ，使CG ∥EF ，点G 是DD 1上靠近点D 1的三等分点． 19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P -ABC 中，PC ⊥底面ABC ，且∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝CP ＝2. (1)求二面角B -AP -C 的余弦值； (2)求点C 到平面P AB 的距离．解：(1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系． 则C (0，0，0)，A (0，2，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)． 易得面P AC 的法向量为n 1＝(1，0，0)， P A →＝(0，2，－2)，PB →＝(2，0，－2)， n 2＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·P A →＝0n 2·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝02x －2z ＝0.可取n 2＝(1，1，1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝13＝33.∴二面角B -AP -C 的余弦值为33. (2)d ＝|CA →·n 2||n 2|＝23＝233，∴点C 到平面P AB 的距离为233.20．(本小题满分13分)已知在几何体A -BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(2)试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥BQ ，并说明理由．解：(1)由题知，CA ，CB ，CE 两两垂直，以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则A (4，0，0)，B (0，4，0)，D (0，4，1)，E (0，0，4)， ∴DE →＝(0，－4，3)，AB →＝(－4，4，0)， ∴cos 〈DE →，AB →〉＝－225，∴异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为225.(2)设满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，m ，n )，则AQ →＝(－4，m ，n )， BQ →＝(0，m －4，n )，EQ →＝(0，m ，n －4)，QD →＝(0，4－m ，1－n )． ∵AQ ⊥BQ ，∴m (m －4)＋n 2＝0，①∵点Q 在ED 上，∴存在λ∈R (λ＞0)使得EQ →＝λQD →， ∴(0，m ，n －4)＝λ(0，4－m ，1－n )，∴m ＝4λ1＋λ，②n ＝4＋λ1＋λ.③ 由①②③得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋41＋λ2＝16λ（1＋λ）2，∴λ2－8λ＋16＝0，解得λ＝4. ∴m ＝165，n ＝85.∴满足题设的点Q 存在，其坐标为⎝⎛⎭⎫0，165，85.。
北师大高中数学选修2-1练习：第二章§2空间向量的运算
北师大高中数学选修2-1练习：第二章§2空间向量的运算[A 组基础巩固]1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1→的有( ) ①AB →＋BC →＋CC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→；③AB →－C 1C →＋B 1C 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→.答案：D2．如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD .设M ，N 分别是BC ，CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝( )A.AN → →C.BC →D.12BC → 解析：AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BN →＝AN →.答案：A3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝AC →·AD →＝AB →·AD →＝0，则△BCD 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：BD →＝BA →＋AD →，BC →＝BA →＋AC →，CD →＝CA →＋AD →，∴cos 〈BD →，BC →〉＝(BA →＋AD →)·(BA →＋AC →)|BA →＋AD →|·|BA →＋AC →|＝BA 2→|BA →＋AD →||BA →＋AC →|>0，∴〈BD →，BC →〉为锐角，同理cos 〈CB →，CD →〉>0，∴∠BCD 为锐角，cos 〈DB →，DC →〉>0，∴∠BDC 为锐角，即△BCD 为锐角三角形．答案：B4．已知在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A.AA 1→＋12AB →＋12AD →B.12AA 1→＋12AB →＋12AD →C.12AA 1→＋16AB →＋16AD →D.13AA 1→＋16AB →＋16AD → 解析：如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.答案：D5.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD 1→－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→. 答案：A6．已知非零向量a ，b 不平行，且|a |＝|b |，则a ＋b 与a －b 的位置关系是________．解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0. ∴(a ＋b )⊥(a －b )．答案：垂直7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．答案：08．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为__________．解析：∵|a |＝32，|b |＝5，〈a ，b 〉＝135°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝32×5×?－22＝－15. ∵m ⊥n ，∴m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝a 2＋(1＋λ)a ·b ＋λb 2＝18－15(1＋λ)＋25λ＝3＋10λ＝0，∴λ＝－310.答案：－3109.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.解析：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN → ＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋a ＋12b ＋c ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝a ＋12c ，所以MP →＋NC 1→＝12a ＋12b ＋c ＋a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 10.如图，在直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．解析：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.[B 组能力提升]1．已知空间向量a 、b 满足条件a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．不确定解析：∵a ＋3b 与7a －5b 垂直，∴(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a ·b －15|b |2＝0.① ∵a －4b 与7a －2b 垂直，∴(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2－30a ·b ＋8|b |2＝0.② 由①②得a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|a ||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.答案：C2．已知在正四面体D ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为( ) A.33 B.23 C.53D.63解析：如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋2312(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋2 DA →·DB →＋DC 2→＋2 DB →·DC →＋2 DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.答案：D3．如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG →＝λ AM →与OG →＝12OA →＋14OB→＋14OC →同时成立，则实数λ的值为__________．解析：OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋λ AM →＝OA →＋λ2(AB →＋AC →)＝OA →＋λ2(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝(1－λ)OA →＋λ2OB →＋λ2OC →，所以1－λ＝12，λ2＝14，解得λ＝12.答案：124．设a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |＝________. 解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a － B.∴|c |＝(－a －b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋4＝ 5. 答案： 55．如图所示，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求下列向量的数量积：AB →·AD →，MN →·AB →，MN →·CD→，MN →·AN →；(2)求证：MN 为AB 与CD 的公垂线段．解析：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知：|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. ∴MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，CD →＝AD →－AC →＝r －q ，AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )．(1)AB →·AD →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉＝a 2cos 60°＝12a 2.MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. MN →·CD →＝12(q ＋r －p )·(r －q )＝12(r 2－q 2－p ·r ＋p ·q ) ＝12(a 2－a 2－a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝0. MN →·AN →＝12(q ＋r －p )·12(q ＋r )＝14[(q ＋r )2－p ·q －p ·r ] ＝14(q 2＋r 2＋2q ·r －p ·q －p ·r ) ＝14(a 2＋a 2＋2a 2cos 60°－a 2cos 60°－a 2cos 60°) ＝12a 2. (2)证明：由(1)知MN ⊥CD ，MN ⊥AB ，∴MN 为AB 与CD 的公垂线段．6．如图，已知在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求AC ′→与AC →的夹角的余弦值．解析：(1)∵AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴|AC ′→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋152)＝85.∴|AC ′→|＝85.即AC ′的长为85. (2)设AC ′→与AC →的夹角为θ，∵ABCD 是矩形，∴|AC →|＝32＋42＝5. ∴由余弦定理可得cos θ＝|AC ′→|2＋|AC →|2－|CC ′→|22|AC ′→|·|AC →|＝85＋25－252×85×5＝8510.由Ruize收集整理。
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第二章2 空间向量的运算 2 Word版含解析
[A.基础达标]1．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 解析：选A.因为2AC →＋CB →＝0，所以CB →＝－2AC →＝2CA →，所以OC →＋OB →＝2OA →，故OC →＝2OA →－OB →.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定相同解析：选A.因为n ＝1－m ，所以OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝mOA →＋OB →－mOB →， 即OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，所以BP →＝mBA →，故选A.3．对空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC → B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上都不对解析：选B.若P ，A ，B ，C 四点共面，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x＋y ＋z ＝1)．因为13＋13＋13＝1，故选B.4．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →＞0，BC →·CD →＞0，CD →·DA →＞0，DA →·AB →＞0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形解析：选D.因为AB →·BC →＞0，所以〈AB →，BC →〉为锐角，所以∠B 为钝角，同理可得∠C ，∠D ，∠A 均为钝角，则有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＞360°. 所以该四边形为空间四边形． 5.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B.令BA →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝m (m ＞0)，a ·b＝b ·c ＝c ·a ＝0，EF →＝12(c －a )，BC 1→＝b ＋c ，又|EF →|＝22m ，|BC 1→|＝2m ，所以cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝12m 222m ·2m＝12，所以直线EF 和BC 1所成的角为60°.6．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：07．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，若AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．解析：BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝6(e 1＋e 2)，因为A 、B 、D 三点共线，可令AB →＝λBD →，即e 1＋k e 2＝6λ(e 1＋e 2)，又e 1，e 2不共线，故有⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝16λ＝k，所以k ＝1.答案：18．如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：149.如图所示，已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD .证明：设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |.因为BD →＝CD →－CB →＝b －a ，所以BD →·CC 1→＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0，所以CC 1→⊥BD →，即CC 1⊥BD .10.如图所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解：因为M 、N 分别是AC 、BF 的中点，且四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，所以12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.所以CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)．所以CE →＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．[B.能力提升]1．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m ，n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能解析：选B.因为m ·n ＝m ·(λa ＋μb )＝λm ·a ＋μm ·b ＝0，所以m ⊥n .2．下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；③若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点P 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于①：AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0，故①正确；对于②：当|a |<|b|时，|a ＋b |>0，而|a |－|b |<0，故②不正确；对于③：a 和b 共线，a 和b 所在直线平行或重合，故③不正确；对于④：若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面，故④不正确．3．已知在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为________．解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，|a |＝|b |＝|c |＝1. AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c . |AC 1→|＝（a ＋b ＋c ）·（a ＋b ＋c ）＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝3＋6cos 60°＝ 6.答案： 64.已知在空间四边形OABC 中(如图所示)，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，则OC 和AB 所成的角为________．解析：由已知得 OA →⊥BC →，OB →⊥AC →，所以OA →·BC →＝0，OB →·AC →＝0，所以OA →·(OC →－OB →)＝0，OB →·(OC →－OA →)＝0，所以OA →·OC →＝OA →·OB →，OB →·OC →＝OB →·OA →，所以OA →·OC →－OB →·OC →＝0，(OA →－OB →)·OC →＝0，BA →·OC →＝0，所以OC →⊥AB →，即OC 和AB成90°角．答案：90°5．已知斜三棱柱ABC -A ′B ′C ′，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA ′→＝c .在面对角线AC ′上和棱BC 上分别取点M 和N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．求证：(1)MN →与向量a 和c 共面； (2)MN ∥平面A ′AB .证明：(1)显然AM →＝kAC ′→＝k b ＋k c ， 且AN →＝AB →＋BN →＝a ＋kBC →＝a ＋k (－a ＋b )＝(1－k )a ＋k b ，MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a ＋k b－k b －k c ＝(1－k )a －k c .因此，MN →与向量a 和c 共面．(2)由(1)知MN →与向量a ，c 共面，a ，c 在平面A ′AB 内，而MN 不在平面A ′AB 内，所以MN ∥平面A ′AB .6．(选做题)如图，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点， (1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .证明：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c ，则MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →－12PC → ＝12AB →＋AD →－12(P A →＋AD →＋DC →)＝12AB →＋AD →＋12AP →－12AD →－12AB →＝12(AD →＋AP →)＝12(b ＋c )， 所以MN →·CD →＝12(b ＋c )·(－a )＝－12(a ·b ＋a ·c )，因为四边形ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ， 所以a ⊥b ，a ⊥c ，所以a ·b ＝a ·c ＝0，所以MN →·CD →＝0，所以MN →⊥CD →，故MN ⊥CD .(2)由(1)知，MN ⊥CD ，MN →＝12(b ＋c )，因为PD →＝AD →－AP →＝b －c ，所以MN →·PD →＝12(b ＋c )·(b －c )＝12(|b |2－|c |2)， 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AD ， 又∠PDA ＝45°，所以P A ＝AD ，所以|b |＝|c |，所以MN →·PD →＝0，所以MN →⊥PD →， 所以MN ⊥PD ，因为CD ，PD 平面PCD ，且CD ∩PD ＝D ， 所以MN ⊥平面PCD .。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第二章 空间向量
[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.知识点一 空间向量的夹角知识点二 空间向量的数量积 (1)定义已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律(3)数量积的性质题型一 空间向量的数量积运算例1 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)BF →·CE →. 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD |→·|BA →|·cos 〈BD →，BA →〉 ＝12×1×1×cos60°＝14， 所以EF →·BA →＝14；(2)EF →·BD →＝12|BD →|·|BD →|·cos 〈BD →，BD →〉＝12×1×1×cos0°＝12， 所以EF →·BD →＝12；(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|·cos 〈BD →，DC →〉＝12×1×1×cos120°＝－14，所以EF →·DC →＝－14；(4)BF →·CE →＝12(BD →＋BA →)·12(CB →＋CA →)＝14[BD →·(－BC →)＋BA →·(－BC →)＋BD →·CA →＋BA →·CA →] ＝14[－BD →·BC →－BA →·BC →＋(CD →－CB →)·CA →＋AB →·AC →] ＝14(－12－12＋12－12＋12)＝－18. 反思与感悟 由向量数量积的定义知，要求a 与b 的数量积，需已知|a |，|b |和〈a ，b 〉，a 与b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a ·b 计算准确.跟踪训练1 已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为. 答案 －13解析 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.题型二 利用数量积求夹角例2 如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值.解 因为BC →＝AC →－AB →， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120° ＝－162＋24.所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.反思与感悟 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零.跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD . 证明 MN →·AB →＝(MB →＋BC →＋CN →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12CD →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12AD →－12AC →)·AB →＝12a 2＋a 2cos120°＋12a 2cos60°－12a 2cos60°＝0， 所以MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . 题型三 利用数量积求距离例3 正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，求EF 的长.解 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2， 且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F → ＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以EF 2＝|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b·c －12a·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos60° ＝1＋1＋4－1＝5， 所以EF ＝ 5.反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可. 跟踪训练3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是在这两个面内且垂直于AB 的线段.又知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长.解 ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴〈CA →，BD →〉＝120°. ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，且CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0， ∴|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)(CA →＋AB →＋BD →) ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos 〈CA →，BD →〉 ＝62＋42＋82＋2×6×8×(－12)＝68，∴|CD →|＝217，故CD 的长为217.1.若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件答案 A解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立.2.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －3b |等于( ) A.7B.10C.13D.4 答案 A解析 ∵|a －3b |2＝(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1－6×cos60°＋9＝7.∴|a －3b |＝7.3.对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( ) A.若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B.若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C.若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D.若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 答案 B解析 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ·b ＝0； 对于C ，a 2＝b 2，只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b ； 对于D ，a ·b ＝a ·c 可以移项整理得a ·(b －c )＝0.4.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1B.2C.3D.5 答案 A解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，将上面两式左、右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.5.若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |等于( ) A.2B.2C.1D.22答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b )·a ＝0，(2a ＋b )·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0， ①2a ·b ＋b 2＝0，② 将①×2－②得，2a 2－b 2＝0， ∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2， 故|b |＝ 2.求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ） A ．2133- B ．2733-C ．73D ．12．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．23B ．33C ．23D ．133．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．32-4．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B 2C ．13D ．165．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点M 在1AC 且112AM MC =，N 为1B B 的中点，则MN 为( ) A ．216a B ．66a C ．156a D ．153a 6．在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )A ．111,,444⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫⎪⎝⎭ C ．111,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫⎪⎝⎭7．若向量(3,1,0)a =，(1,0,)b z =，,3a b π=，则实数z 的值为（ ）A ．2B ．2C ．2±D ．2±8．正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是棱,CD BC 上的动点，且2BF CE =，当三棱锥1C C EF -的体积取得最大值时，记二面角1111,,C EF C C EF A A EF A ------的平面角分别为,,αβγ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．βγα>>9．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．810．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21=S S 且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠11．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12C ．33D ．5512．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A ．455B ．2C ．22D ．3二、填空题13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =，则点A 到平面11BD A 的距离为_______ .14．在平面直角坐标系中，点(1,0,2)A 到点(3,4,0)B -之间的距离为__________． 15．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________． 16．已知，若向量互相垂直，则k 的值为____．17．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为 ．18．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列给出四个命题： (1)四边形ABC 1D 1的面积为1AB BC (2)11AD A B 与的夹角为60°；(3)22111111111111()3();(4)()0AA A D A B A B AC A B A D ++=⋅-=；则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)19．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．20．向量()1,,2a λ=与()2,1,1b =-互相垂直，则λ=__________．三、解答题21．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中60BAD ∠=︒，22AB AD ==，45BAE GAD ∠=∠=︒.（Ⅰ）求证：平面ADG ⊥平面BDG ； （Ⅱ）求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.22．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是一个菱形，3ABC π∠=，2AB =，23PA =（1）若Q 是线段PC 上的任意一点，证明：平面PAC ⊥平面QBD ； （2）求直线DB 与平面PBC 所成角θ的正弦值.23．如图菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，4AB AE ==．（1）求证：BD ⊥平面ACFE ； （2）当直线FO 与平面BED 所成的角为π4时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是等腰梯形//,2,4,,AB DC BC CD AD AB M N ====分别是,AB AD 的中点.（1）证明：平面PMN ⊥平面PAD ；（2）若二面角C PN D --的大小为60°，求四棱锥P ABCD -的体积. 26．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】取PA 中点O ，得点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，进一步可得N 的轨迹为一段圆弧，设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，可得当点N 在1CO 上时，CN 取最小值，求解三角形计算得答案． 【详解】解：取PA 中点O ，AN PM ⊥，∴点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，又点N 在平面PBC 上，故N 的轨迹为一段圆弧， 设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，且点1(O PS S ∈为BC 中点）， 则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，3PS AS ==，设A 到PS 的距离为h ，则221132(3)122h ⨯⨯=⨯⨯-，即263h =，得163OO =，21631()33PO =-=，22213PS =-=由N 在PS 上时，求得133NO =，求解Rt △1CO S ，得2212313213CO ⎛⎫=+ ⎪ ⎪=⎝⎭， 则当点N 在1CO 上时，CN 取最小值2133-， 故选：A ．【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，解答的关键是弄清动点的轨迹；2．A解析：A 【详解】试题分析：设1AB =112,5BD BC DC ∴===， 1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴==考点：线面角3．D解析：D 【分析】由DB ED FE BF =++，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】BD ED FE BF =++,22222221112BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED ∴=+++++=++-故32BD =- 故选D 【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．4．C解析：C 【分析】根据题意，以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC ，1AD 即可求得平面1ACD 的法向量n ，而1D E 在n 上的投影即为点E 到面1ACD 的距离，即可求得结果【详解】以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a b a c =⎧⎨=⎩可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n⋅+-=== 故选C 【点睛】本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。
2018-2019学年北师大版选修2-1--3
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 空间向量的坐标运算 设a＝(a1, a2, a3), b＝(b1, b2, b3), a＋b＝ (a1＋b1, a2＋b2, a3＋b3) , a－b＝ (a1－b1, a2－b2, a3－b3) , λa＝ (λa1, λa2, λa3) , a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 . 知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1, a2, a3), b＝(b1, b2, b3),
第二章 §3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3.3 空间向量运算的坐标表示
学习 目标
1.理解空间向量坐标的概念, 会确定一些简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律, 会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式, 并能运用这些 知识解决一些相关问题.
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题型探究
重点突破
题型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 例 1 设 O 为坐标原点，向量O→A＝(1,2,3)，O→B＝(2,1,2)，O→P＝(1,1,2)， 点 Q 在直线 OP 上运动，则当Q→A·Q→B取得最小值时，求点 Q 的坐标.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 设正四棱锥 S-P1P2P3P4 的所有棱长均为 2，建立适当的空间 直角坐标系，求S→P1、P→2P3的坐标.
13 2
解析 AB 中点 M(2，32，3)，又 C(0,1,0)，
所以C→M＝(2，12，3)，
故 M 到 C 的距离为 CM＝|C→M|＝
22＋122＋32＝
53 2.
2018-2019数学北师大版选修2-1练习：第二章1 从平面向量到空间向量 2
2018-2019数学北师大版选修2-1练习：第二章1 从平面向量到空间向量 2解析：选D.因为AB →＝DC →，所以四边形ABCD为平行四边形．所以DO→＝OB →，AD →＝BC →，OA →＝CO→. 3．在四边形ABCD 中，若AB→＝DC →，且|AC →|＝|BD→|，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形C ．正方形D ．不确定解析：选 B.若AB→＝DC →，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又|AC→|＝|BD →|，即AC ＝BD ， 所以四边形ABCD 为矩形．4．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α平行，则a ∥b解析：选D.依据平面向量的概念可知A ，B ，C 都是正确的．由立体几何知识可得a ，b 不一定平行．5.在正四面体A -BCD 中，如图，〈AB→，DA →〉等于( ) A．45°B ．60°C ．90°D ．120° 解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA→的起点平移到A 点处，再求夹角得〈AB→，DA →〉＝120°，故选D. 6．在正四面体A -BCD 中，O 为平面BCD的中心，连接AO ，则AO→是平面BCD 的一个________向量．解析：由于A -BCD 是正四面体，易知AO ⊥平面BCD ，所以OA →是平面BCD 的一个法向量．答案：法7.如图在平行六面体AG 中，①AH →与BG →；②AG →与EG →；③BH→与DF →；④AC →与HF →，四对向量中不是共线向量的序号为________．解析：因为AH→＝BG →， 所以AH→与BG →共线，其他三对均不共线．答案：②③④8.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB＝60°，则〈AA 1→，CC 1→〉＝________；〈AB →，C 1D 1→〉＝______；〈BA →，DD 1→〉＝________． 解析：在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→∥CC 1→，且方向相同，所以〈AA 1→，CC 1→〉＝0°；因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1→，但方向相反，所以〈AB →，C 1D 1→〉＝180°；因为AA1→＝DD 1→，所以〈BA →，DD 1→〉＝〈BA→，AA 1→〉＝180°－∠A 1AB ＝120°. 答案：0° 180° 120°9.如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量AB→相等的向量； (2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量AC→的相反向量； (3)若E 是BB 1的中点，写出与向量AE→平行的向量．解：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB→相等的向量只有向量A 1B 1→.(2)向量AC →的相反向量为CA →，C 1A 1→.(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F (图略)，则B 1F →，FB1→，EA →都是与AE →平行的向量． 10．如图，在三棱锥S -ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，∠BAC ＝90°，O是BC 的中点，证明：SO→是平面ABC 的一个法向量．证明：由题意知，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，故设SA ＝SB ＝SC ＝a ，因为O 是BC 的中点，SB ＝SC ，所以SO ⊥BC .因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AO ⊥BC ，所以AO ＝22a . 又SO ＝22a ，SA ＝a ，所以△ASO 是等腰直角三角形，即SO ⊥OA .又OA ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC ，所以SO→是平面ABC 的一个法向量． [B.能力提升]1．空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量|b |＝3，则下列结论正确的是( )A ．a ＝bB ．|a |＝－|b |C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3解析：选D.a 与b 互为相反向量，即a 与b 方向相反且|a |＝|b |.2．在直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，CC ′＝4，则以三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．10解析：选C.向量AB →，A ′B ′→，AC′→，CA ′→及它们的相反向量的模都等于5，共有8个．3.如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB→，BC →，CA →，PA →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有________对．解析：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，平面PAB ⊥平面ABC .又平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB .由此知〈PA→，AB →〉，〈PA →，BC →〉，〈PA →，CA→〉，〈BC →，AB →〉，〈BC →，PB →〉都为90°. 答案：54．下列命题中，真命题有________个．①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； ②向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎨⎧|a |＝|b |，a ∥b ；③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件． 解析：对于②，|a |＝|b |，a ∥b 可知，a 和b 有可能为相反向量．答案：25.如图，AB 是圆O 的直径，直线PA 所在的向量是圆O 所在平面的一个法向量，M 是圆周上异于A ，B 的任意一点，AN ⊥PM ，点N 是垂足，求证：直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．证明：因为AB 是圆O 的直径， 所以AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，所以PA ⊥BM .因为PA ∩AM ＝A ，所以BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，所以BM ⊥AN .又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， 所以AN ⊥平面PBM .所以直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．6．(选做题)如图所示，正四面体A -BCD 中，E 是AC 的中点，求BE→与CD →的夹角的余弦值．解：过E 作EF ∥CD 交AD 于F ，连接BF .∠BEF 为向量BE→与CD →的夹角的补角．设正四面体的棱长为1，则BE ＝32，EF ＝12，BF ＝32.第 11 页 由余弦定理得cos ∠BEF ＝|BE |2＋|EF |2－|BF |22|BE ||EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×32×12＝36. 所以BE →与CD →所成的角的余弦值为－36.。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-1练习：第二章3.3 空间向量运算的坐标表示 2 Word版含解析.doc
[A.基础达标]1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B 的坐标分别为A (1，2，2)，B (2，－2，1)，则|AB |＝( )A ．18B ．12C ．3 2D ．2 3解析：选C.AB →＝(1，－4，－1)，|AB |＝|AB →|＝12＋（－4）2＋（－1）2＝3 2.2.若ABCD 为平行四边形，且A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (－3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫72，4，－1 B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5) D ．(－1，13，－3)解析：选D.设D (x ，y ，z )，因为AB →＝DC →，所以(－2，－6，－2)＝(－3－x ，7－y ，－5－z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝－3－x ，－6＝7－y ，－2＝－5－z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13，z ＝－3.3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．0° B ．60° C ．30° D ．90° 解析：选D.因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝cos 2α＋1＋sin 2α－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0， 所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝0， 所以〈a ＋b ，a －b 〉＝90°.4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，d ＝(1，0，－1)，则其中共面的三个向量是( )A ．a ，b ，cB ．a ，b ，dC ．a ，c ，dD ．b ，c ，d解析：选B.因为a ＝b ＋d ，所以a ，b ，d 三向量共面．5．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为( ) A ．17或－1 B ．－17或1 C ．－1 D ．1 解析：选B.a ·b ＝4－λ，|a |＝5＋λ2，|b |＝6，由题意得cos 60°＝a ·b |a ||b |，即4－λ5＋λ2·6＝12，解之得λ＝1或λ＝－17.6．已知a ＝(m ＋1，0，2m )，b ＝(6，0，2)，a ∥b ，则m 的值为________．解析：因为a ∥b ，所以a ＝λb ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝6λ，2m ＝2λ，得⎩⎨⎧λ＝15，m ＝15.答案：157．已知a ＝(1－t ，2t －1，0)，b ＝(2，t ，t )，t ∈R ，则|b －a |的最小值为________． 解析：因为b －a ＝(1＋t ，1－t ，t )， 所以|b －a |＝（b －a ）·（b －a ）＝3t 2＋2≥ 2.答案： 28．与a ＝(2，－1，2)共线且满足a ·x ＝－18的向量x ＝________． 解析：因为a ∥x ，所以x ＝λa ＝(2λ，－λ，2λ)， 所以a ·x ＝2·2λ＋(－1)·(－λ)＋2·2λ＝9λ＝－18，得λ＝－2，故x ＝(－4，2，－4)． 答案：(－4，2，－4)9．已知在△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，求顶点B ，C的坐标，向量CA →及∠A 的余弦值．解：设B ，C 两点的坐标分别为(x ，y ，z )，(x 1，y 1，z 1)．因为AB →＝(4，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5.所以B 点坐标为(6，－4，5)． 因为BC →＝(3，－2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10.所以C 点坐标为(9，－6，10)． 所以AC →＝(7，－1，7)，CA →＝(－7，1，－7)．所以cos A ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝28－1＋1499×21＝413231＝41231693.10.如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A的坐标是⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD →的坐标；(2)设向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.所以DE ＝CD ·sin 30°＝32.OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32，即向量OD →的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32.(2)依题意知OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，OB →＝(0，－1，0)，OC →＝(0，1，0)．所以AD →＝OD →－OA →＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，32.BC →＝OC →－OB →＝(0，2，0)．由于向量AD →和BC →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·BC→|AD →||BC →|＝⎝⎛⎭⎫－32×0＋（－1）×2＋32×0⎝⎛⎭⎫－322＋（－1）2＋⎝⎛⎭⎫322·02＋22＋02＝－210＝－1510.所以cos θ＝－105. [B.能力提升]1．已知向量OA →＝(2，－2，3)，向量OB →＝(x ，1－y ，4z )，且平行四边形OACB 对角线的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，－12，则(x ，y ，z )＝( ) A ．(－2，－4，－1) B ．(－2，－4，1) C ．(－2，4，－1) D ．(2，－4，－1)解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x2＝0，－2＋1－y 2＝32，3＋4z 2＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，z ＝－1.2．△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5解析：选A.设AD →＝λAC →，其中λ∈R ，D (x ，y ，z )， 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， 所以x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ.所以BD →＝(－4，4λ＋5，－3λ)． 所以4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.所以λ＝－45，所以BD →＝(－4，95，125)．所以|BD →|＝ （－4）2＋（95）2＋（125）2＝5.3．设AB →＝(cos α＋sin α，0，－sin α)，BC →＝(0，cos α，0)，则|AC →|的最大值为________．解析：AC →＝AB →＋BC →＝(cos α＋sin α，cos α，－sin α)，所以|AC →|＝（cos α＋sin α）2＋cos 2α＋（－sin α）2＝2＋sin 2α≤ 3. 答案： 34．已知a ＝2(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则λ的值为________．解析：由共面向量定理知存在有序实数组(x ，y )使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2，6)＝(－x ，4x ，－2x )＋(7y ，5y ，λy )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝－x ＋7y ，－2＝4x ＋5y ，6＝－2x ＋λy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3433，y ＝1433，λ＝657.答案：6575．已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，a ＝(－1，1，3)，b ＝(1，0，－2)，c ＝a ＋t b .(1)当|c |取最小值时，求t 的值；(2)在(1)的条件下，求b 和c 夹角的余弦值．解：(1)因为关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根， 所以Δ＝[－(t －2)]2－4(t 2＋3t ＋5)≥0，即－4≤t ≤－43.又c ＝(－1，1，3)＋t (1，0，－2)＝(－1＋t ，1，3－2t )，所以|c |＝（－1＋t ）2＋12＋（3－2t ）2＝5（t －75）2＋65.因为t ∈[－4，－43]时，上述关于t 的函数是递减的，所以当t ＝－43时，|c |取最小值3473.(2)当t ＝－43时，c ＝(－73，1，173)，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c|b ||c |＝－73＋0－34312＋02＋（－2）2× （－73）2＋12＋（173）2＝－411 735＝－41 1 7351 735.6．(选做题)已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)．(1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标．(2)问是否存在实数α，β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解：(1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x ，1－y ，－z )，AC →＝(－1，0，2)，DC →＝(－x ，－y ，2－z )，AB →＝(－1，1，0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－x ，1－y ，－z ）＝m （－1，0，2），（－x ，－y ，2－z ）＝n （－1，1，0），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2.即D (－1，1，2)．(2)依题意AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，2)，BC →＝(0，－1，2)．假设存在实数α，β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，0)＋β(0，－1，2)＝(－α，α－β，2β)．所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，α－β＝0，2β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．。
2019数学新设计北师大选修2-1精练：第二章 空间向量与立体几何 2.3.1含答案
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示课后训练案巩固提升1.在空间直角坐标系O-y中,下列说法正确的是()A.向量的坐标与点B的坐标相同B.向量的坐标与点A的坐标相同C.向量的坐标与向量的坐标相同D.向量的坐标与向量的坐标相同解析;空间向量的坐标用两种方法可以得到;(1)将向量的起点移到原点,终点坐标就是向量的坐标;(2)向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.答案;D2.已知动点P的竖坐标为0,则动点P的轨迹是()A.平面B.直线C.不是平面,也不是直线D.以上都不正确解析;竖坐标为0,横坐标、纵坐标为任意实数,这样的点都在Oy平面内.答案;A3.点M(-1,3,-4)在坐标平面Oy,O,yO内的投影的坐标分别是()A.(-1,3,0),(-1,0,-4),(0,3,-4)B.(0,3,-4),(-1,0,-4),(0,3,-4)C.(-1,3,0),(-1,3,-4),(0,3,-4)D.(0,0,0),(-1,0,0),(0,3,0)解析;自点M向坐标平面Oy引垂线,垂足为M0,则M0就是点M在坐标平面Oy内的投影,竖坐标=0.所以可得M0(-1,3,0),其他情况同理.答案;A4.在空间直角坐标系中,已知点P(,y,),则下列叙述正确的个数是()①点P关于轴对称的点的坐标是P(,-y,);1②点P关于yO平面对称的点的坐标是P(,-y,-);2③点P关于y轴对称的点的坐标是P(,-y,);3④点P关于原点对称的点的坐标是P(-,-y,-).4A.3B.2C.1D.0解析;只有④正确.①中P1(,-y,-),②中P2(-,y,),③中P3(-,y,-).答案;C5.已知i,j,为标准正交基,a=i+2j+3,则a在i方向上的投影为()A.1B.-1C.D.-解析;a·i=|a|·|i|·cos<a,i>,则|a|·cos<a,i>==(i+2j+3)·i=i2=1,故选A.答案;A6.如图,若正方体的棱长为1,则的坐标为,的坐标为.答案;(1,1,-1)(-1,0,1)7.已知|a|=,a与单位向量e的夹角为π,则a在e上的投影为.答案;-8.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标,并写出的坐标.解A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).=(1,0,0),=(1,1,0),=(0,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1),=(1,0,1),=(1,1,1).9.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为A1B1的中点.以O为原点,以的方向分别为轴、y轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(其中O为AB的中点),试求向量的坐标.解依题意O(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,2).∴=(0,2,-2),=(4,0,0).10.导学号90074027如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,CC1=1,求;(1)上的投影;(2)上的投影.解(1)由题易知D1D⊥平面ABCD,所以上的投影为||cos∠D1BD=||=.(2)由题易知D1C1⊥平面BCC1B1,所以上的投影为||cos∠D1BC1=||=.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(答案解析)(3)
一、选择题1．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．()0,63D ．()63,+∞2．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC的值为（ ） A ．0B ．22C ．12-D ．123．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．12l l ⊥B ．12l l C ．1l 、2l 相交不垂直 D ．不能确定4．已知长方体1111ABCD A BC D -的底面AC 为正方形，1AA a =，AB b =，且a b >，侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =，设异面直线1A B 与1AD ，1A B 与11D B ，AE 与11D B 的所成角分别为α，β，γ，则 A ．αβγ<<B ．γβα<<C ．βαγ<<D ．αγβ<<5．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B 2C ．223λD 256．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③7．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为( )A ．直线BD ⊥平面1AOCB ．1A B CD ⊥C ．三棱锥1A BCD -的外接球的半径为2 D ．若E 为CD 的中点，则//BC 平面1AOE 8．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．09．在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A ．10 B 10 C ．15D 1510．已知两平面的法向量分别为m =(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角为（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>12．已知a =（λ+1，0，6），b =（2λ+1，2μ﹣1，2）．若//a b ，则λ与μ的值分别为（ ） A ．﹣5，﹣2B ．1152--，C ．5，2D ．2152-，二、填空题13．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____． 14．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 15．长方体1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，12AA =，直线1AB 和1AC 的夹角的余弦值为__________.16．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为__________． 17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ；③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.18．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________ 19．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为13，求PE 的长．22．在四棱台1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AAA B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD .（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --的余弦值是5719？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．（1）若//PB 平面AEC ，请确定点E 的位置，并说明理由．（2）设2AB AP ==，3AD =，若13PE PD =，求二面角P AC E --的正弦值．24．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，3AD =，22SD CD AB ===，点E ，F 分别是BC ，SD 的中点.（1）求证：//EF 平面SAB ；（2）若SB SC =，2EF =，求二面角B SC D --的余弦值.25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值. 26．如图，在四棱锥 P -ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，AB =2，PC =4（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD（2）在线段PA 上是否存在一点N ，使得二面角A -BD -N 313N 的位置；若不存在，请说明理由【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】画出已知图形，可得出OBC 是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】 如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30AOOB ∴==.在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.故选C. 【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解． 【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅coscos33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．A解析：A【分析】求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系． 【详解】由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．故选A ． 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．4．A解析：A 【分析】根据题意将异面直线平移到同一平面，再由余弦定理得到结果. 【详解】根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然α，β，(0,]2πγ∈，因为a b >，异面直线1A B 与1AD 的夹角即角1AD C ，根据三角形1AD C 中的余弦定理得到222211cos 21()a b a b aα==>++，故(0,)3πα∈，同理在三角形1A DB 中利用余弦定理得到：2221cos 222()1a a b bβ==<⋅+⋅+，故(,)32ππβ∈， 连接AC ，则AC 垂直于BD ，CE 垂直于BD ，AC 交CE 于C 点，故可得到BD 垂直于面ACE ，进而得到BD 垂直于AE ，而BD 平行于11D B .从而得到2πγ=，故αβγ<<. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.5．D解析：D 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 . 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =， 则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，∴点G 到平面1D EF 的距离为 2255EG n d n⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.6．D解析：D 【解析】 【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ， 连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1， 直线A 1H 与直线A 1C 重合，直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确； 直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确； 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确； 垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体， 所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．7．B解析：B 【分析】通过线线垂直证得线面垂直，进而得到A 正确；对于B 选项先假设成立，再推出矛盾进而得到结果不正确；C 根据四棱锥的形状得到球心位置，进而得到半径；由线面平行的判定定理得到线面平行. 【详解】因为ABCD 是正方形，故得到BD AC ⊥,折叠之后得到1BD OA ⊥，BD OC ⊥,1O A OC O ⋂= 故得到BD ⊥面1AOC ,进而得到A 选项正确； 假设1A B CD ⊥，又因为11A B A ⊥D ，进而得到1A B ⊥面1ACE ,则11A B AC ⊥,三角形1A BC ,BC=2=1 2,A B =不可能满足直角关系，故B 错误.三棱锥1A BCD -，的外接球的球心在O 点处，因为OC=OD=OB=O 1A ，此时球的半径为2C 正确；若E 为CD 的中点，则//BC OE ,OE 在平面1AOE 内，故得到//BC 平面1AOE ，D 正确； 故答案为B. 【点睛】直线与平面垂直的概念是利用直线与直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言如下：a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭. 8．C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,()3,0,0B ，()13,0,2B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--， 11cos ,A B BC <>1111A B B C A B B C ⋅=⨯22222=⨯14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【详解】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，设平面1B BD 的法向量为(),,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴220 20x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，， ∴10cos ,5n BEn BE n BE ⋅==⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ， 则10sin cos ,5n BE θ==B ． 【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题． 10．C解析：C【分析】先求出两个向量的夹角为,=45︒<>m n ，再转化为二面角的大小.【详解】1cos ,1⋅<>===⨯⋅m nm n m n ，即,=45︒<>m n ， 所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.答案：C【点睛】本题考查了空间向量的夹角和二面角的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.11．D解析：D【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，1BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，0，1(2O ，12，0)，(0E ，0，1(1B，1， 111(,22OB =，11(,22OE =--， 11(,22OF =-，1EB =，EF =， 设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·02211·0222m OB x y m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,n =-，平面OEF 的法向量2(2p =-，平面1EFB 的法向量2(,2q =-． ∴461cos 61||||m n m n α==434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12．D解析：D【分析】利用共线向量的性质直接求解．【详解】(1a λ=+，0，6)，(21b λ=+，21μ-，2)，//a b ，∴6(21)2(1)λλ+=+，且021μ=-， 解得25λ=-，12μ=． λ∴与μ的值分别为21,52-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中共线向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题13．【解析】【分析】取MC 中点O 连结AOBO 推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1AO ＝BO ＝AO ⊥MCAO ⊥平面BMCAO ⊥BO 由此能求出AB 两点之间的距离【详解】取MC 中点O 连结AOBO ∵△ABC 中∠C ＝ 10【解析】【分析】 取MC 中点O ，连结AO ，BO ，推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，AO ＝32BO ＝72，AO ⊥MC ，AO ⊥平面BMC ，AO ⊥BO ，由此能求出A ，B 两点之间的距离．【详解】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点，∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，∴AO 2131()2- BO 22011172cos1201214222BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ AO ⊥MC ，将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，∴A ，B 两点之间的距离|AB |22371044BO AO +=+=, 故答案为：102． 【点睛】 本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题 解析：22【分析】设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案．【详解】 解：空间向量(1,0,0)a =，13(,22b =， 设空间向量(),,c m n z =，2c a ⋅=，52c b ⋅=， 2m ∴=，135222m n += 2m ∴=，3n =，∴空间向量()2,3,c z =，又由对任意x ，y R ∈，()()001c xa yb c x a y b -+≥-+=，则||1z =，故()22223122c =++=，故答案为：22【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．15．【分析】建立空间直角坐标系设出各点坐标利用向量数量积求即得和夹角余弦值【详解】以D 为坐标原点DADCDD1所在直线为xyz 轴建立空间直角坐标系则所以因为所以直线和的夹角的余弦值为故答案为:【点睛】本解析：3010【分析】建立空间直角坐标系，设出各点坐标，利用向量数量积求11cos ,AB AC <>，即得1AB 和1AC 夹角余弦值.【详解】以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,2),(0,1,0)A A B C所以11(0,1,2),(1,1,2),AB AC ==-- 因为111430cos ,1056AB AC -<>==- 所以直线1AB 和1AC 的夹角的余弦值为3010 故答案为:3010【点睛】 本题考查利用向量求线线角，考查基本分析求解能力，属基础题.16．（00）【详解】解：由题意设C （00z ）∵C 与点A （-417）和点B （35-2）等距离∴|AC|=|BC|∴点C 的坐标为（00）解析：（0，0，）【详解】解：由题意设C （0，0，z ），∵C 与点A （-4，1，7）和点B （3，5，-2）等距离，∴|AC|=|BC|， 22161(7)925(2)18z 28z 4=19z z ∴++-=+++∴=， ∴点C 的坐标为（0，0，149） 17．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x 列出AE+EC1关于x 的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解 解析：①③④【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x ，列出AE +EC 1关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．【详解】如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ，∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确； 设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC1=由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知， 其最小值为④正确．故答案为①③④【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题 18．【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2aPO 为三棱锥的高做PD 垂直于AB 连OD 则PD 为侧面的高OD 为底面的高的三分之一在三角形POD 中构造勾股定理列出方程得到斜高即可详解：设正三棱锥P-AB解析：4. 【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD中6OD ==⇒=故全面积为：1111122⨯⨯⨯⨯点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.19．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：)【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，则2VD VC == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC 的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题. 20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为：解析：【解析】 根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++214CA BD =⋅==故答案为：三、解答题21．（1）证明见解析 ；（2）PE =【分析】（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，由//OE PB 即可证明；（2）建立空间坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，因为O ，E 分别为BD ，PD 的中点，所以//OE PB又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，由1PA =，3PC =，得2AC =，因为底面ABCD 为菱形且1AB =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以底面ABCD 为正方形，从而,,AB AD AP 两两互相垂直， 分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，不妨设(0,1,1)PE PD λλ==-，所以(0,0,1)(0,,)(0,,1)AE AP PE λλλλ=+=+-=-，(1,1,0)AC =，(1,1,1)PC =-，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，由()100n AEy z x y n AC λλ⎧⊥⎧+-=⎪⇒⎨⎨+=⊥⎩⎪⎩，令1x =，则1y =-，1z λλ=-，所以1,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设直线PC 与平面AEC 所成角为α，则sin |cos ,|||||31PC nPC n PC n α⋅=〈〉==⋅．由1sin 3α=，解方程得12λ=，故2PE =．【点睛】方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后求直线与法向量的夹角，取绝对值可得线面角的正弦值．22．（1）证明见解析；（2）存在，M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【分析】（1）先证11//B E C D ，再根据线面平行判定定理即可证明命题；（2）取BC 中点G ，根据AG ，AD ，1AA 两两互相垂直建立坐标系，设点(0,,0)M t 分别求得平面11MA B 和平面111A B D 的法向量，再由二面角公式解得t 值，从而确定M 的位置. 【详解】（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，得11B C E //D =， 故四边形11B EDC 为平行四边形.11//B E C D =，1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ， 所以1//B E 平面11CDD C ，（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，所以AG BC ⊥，AG AD ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，所以AG ，AD ，1AA 两两互相垂直.以A 为坐标原点，AG ，AD ，1AA 为正方向建立空间直角坐标系A xyz -.由2AB =，得3AG =(0,,0)M t ，其中[0,2]t ∈.1(0,0,1)A ，131,122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,,1A M t =-，1131,022A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设()1,,n x y z =为平面11MA B 的一个法向量，则1111100n A B n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即31022x y ty z -=⎪⎨⎪-=⎩可取()11,3,3t n =. 易知平面111A B D 一个法向量为()20,0,1n = 由1221212357cos ,133n n n n n n t t ⋅===++‖12t =，故M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 23．（1）点E 是PD 的中点，详见解析；（2361. 【分析】（1）点E 是PD 的中点，连接BD 交AC 与点O ，连接OE ，由中位线定理得到//OE PB ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 的一个法向量()111,,m x y z =，平面ACE 的一个法向量()222,,n x y z =，设二面角P AC E --为θ，由cos m n m nθ⋅=⋅求解.【详解】（1）点E 是PD 的中点，如图所示：连接BD 交AC 与点O ，连接OE ， 所以//OE PB ，又PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ．（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()40,0,2,0,0,0,2,3,0,0,3,0,0,1,3P A C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以()()42,3,0,0,0,2,0,1,3AC AP AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，设平面PAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 11123020x y z +=⎧⎨=⎩， 令 1113,2,0x y z ==-=，则()3,2,0m =- 设平面ACE 的一个法向量为()222,,n x y z =，则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 2221230403x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令 22233,2,2x y z ==-=，则33,2,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设二面角P AC E --为θ, 所以213cos 61m n m nθ⋅==⋅，所以sin θ=. 【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．24．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）取AD 中点I ，推出//FI SA ，//IE AB ，证明//FI 平面SAB ，//IE 平面SAB ，推出 平面//EFI 平面SAB ，然后证明//EF 平面SAB ；（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，通过2SD =，SB SC =2EF =，求出()0,0,2S ，得出(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，求出平面SBC 的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案.【详解】（1）取AD 中点I ，∵E ，F 分别是BC ，SD 的中点， ∴//FI SA ，//IE AB ，且FI EI I =，∵SA ⊂平面SAB ， FI ⊄平面SAB ，∴//FI 平面SAB ，同理AB 平面SAB ，IE ⊄平面SAB ，//IE ∴平面SAB ，又∵FIEI I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，又∵FI ，IE ⊂平面FIE ，FI IE I =，∴平面//EFI 平面SAB ，∵EF ⊂平面EFI ，∴//EF 平面SAB .（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，则,,222x y z F ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为2SD =，SB SC =，2EF =，所以2222222222224((1)(2)3422x y z x y z x y z y z ⎧⎪++=⎪⎪-+-+=+-+⎨⎪-⎛⎫⎛⎫⎪++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得0x y ==，24z =，不妨取()0,0,2S ， ∴(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-， 设(,,)n x y z =⊥平面SBC ， ∴320220n SB x y z nSC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则1,z x ==，所以3,1,13n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，因为AD ⊥平面SCD ，所以取(1,0,0)m =为平面SCD 的法向量， ∴cos |cos ,|1m n m n mnθ⋅=〈〉===⋅+ 所以二面角B SCD -- 【点睛】方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出S 点坐标，考查了空间想象力及计算能力. 25．（12）23. 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）写出1A B 、1C D 的坐标，计算出11cos ,A B C D <>的值，即可得出异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）计算出1ADC 的一个法向量的坐标，可知平面1ABA 的一个法向量为()0,1,0n =，利用空间向量法可求得平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 如下图所示：则由题意知()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()10,0,4A 、()12,0,4B、()10,2,4C 、()1,1,0D .（1）()12,0,4A B =-，()11,1,4C D =--，111111310cos ,2532A B C D A B C D A B C D⋅<>===⨯⋅ 所以，异面直线1A B 与1C D 310 （2）易知平面1ABA 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z =，()1,1,0AD =，()10,2,4AC =，由100m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得0240x y y z +=⎧⎨+=⎩，令2y =-，则2x =，1z =， 所以，平面1ADC 的一个法向量为()2,2,1m =-，22cos ,33m n m n m n⋅-<>===-⋅， 因此，平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值为23. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 26．（1）证明见解析；（2）存在，点N 为AP 的中点. 【分析】（1）取AB 的中点O ，连接PO ，由面面垂直的性质得PO ⊥平面ABCD ，得出PO AD ⊥，从而说明AD ⊥平面PAB ，即可得证；（2）以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可说明. 【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连接PO ，∵PAB △为正三角形，∴PO AB ⊥，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， ∴PO ⊥平面ABCD ， 又AD ⊂平面ABCD ，∴PO AD ⊥， 又∵AD AB ⊥，AD PO ⊥，且PO AB O ⋂=， ∴AD ⊥平面PAB ． 又∵AD ⊂平面PAD ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ．（2）以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，在直角PCB 中，4PC =，2PB =，∴23BC =， ∴(1,0,0),(1,0,0),(1,23,0)A B D -， 设AN AP λ=，则(1,0,3)N λλ-， 则()2,23,0BD =，()23BN λλ=-， 设平面BND 的一个法向量(,,)n x y z =，则·0·0n BD n BN ⎧=⎨=⎩，即()2230230x x z λλ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令3x =23,1,1n λ⎛⎫=--⎪⎝⎭，而平面ABD的法向量(0,0,1)m =，21||||4n mn mλ-⋅==⋅⎛+1λ=-（舍）或12λ=，∴当点N为AP的中点时，二面角A BD N--的余弦值为13．【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。
【教育资料】2018-2019数学北师大版选修2-1练习：第二章3.3 空间向量运算的坐标表示 1学习精品
[基础达标]1.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B 的坐标分别为A (1，2，2)，B (2，－2，1)，则|AB |＝( )A ．18B ．12C ．3 2D ．2 3解析：选C.AB →＝(1，－4，－1)，|AB |＝|AB →|＝12＋（－4）2＋（－1）2＝3 2.2.若ABCD 为平行四边形，且A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (－3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫72，4，－1 B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5)D ．(－1，13，－3)解析：选D.设D (x ，y ，z )，∵AB →＝DC →，∴(－2，－6，－2)＝(－3－x ，7－y ，－5－z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝－3－x －6＝7－y －2＝－5－z ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝13z ＝－3. 3.向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ⊥b B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对解析：选C.a ·b ＝－4＋0＋4＝0，∴a ⊥b ，又c ＝2a ，∴a ∥c ，故选C.4.已知A (2，－2，1)，B (1，0，1)，C (3，－1，4)，则向量AB →，AC →夹角的余弦值为( ) A.55 B ．5555 C.1111D ．5511解析：选B.由点A ，B ，C 的坐标可求得AB →＝(－1，2，0)，AC →＝(1，1，3)，则|AB →|＝（－1）2＋22＋02＝5， |AC →|＝12＋12＋32＝11，AB →·AC →＝(－1)×1＋2×1＋0×3＝1，因此，cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝15×11＝5555.5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为( ) A ．17或－1B ．－17或1C ．－1D ．1解析：选B.a ·b ＝4－λ，|a |＝5＋λ2，|b |＝6， 由题意得cos 60°＝a ·b |a ||b |即4－λ5＋λ2·6＝12， 解之得λ＝1或λ＝－17.6.已知a ＝2(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则λ的值为________．解析：由共面向量定理知存在有序实数组(x ，y )使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2，6)＝(－x ，4x ，－2x )＋(7y ，5y ，λy )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝－x ＋7y ，－2＝4x ＋5y ，6＝－2x ＋λy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3433，y ＝1433，λ＝657.故填657.答案：6577.已知M 1(2，5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2→＝4MM 2→，则向量OM →的坐标为________．解析：M 1M 2→＝(1，－7，－2)，设M (x ，y ，z )， ∴MM 2→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )． 由M 1M 2→＝4MM 2→，∴(1，－7，－2)＝4(3－x ，－2－y ，－5－z )， ∴x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：(114，－14，－92)8.设AB →＝(cos α＋sin α，0，－sin α)，BC →＝(0，cos α，0)，则|AC →|的最大值为________． 解析：AC →＝AB →＋BC →＝(cos α＋sin α，cos α，－sin α)， ∴|AC →|＝（cos α＋sin α）2＋cos 2α＋（－sin α）2＝2＋sin 2α≤ 3. 答案： 39．已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，a ＝(－1，1，3)，b ＝(1，0，－2)，c ＝a ＋t b .(1)当|c |取最小值时，求t 的值；(2)在(1)的情况下，求b 和c 夹角的余弦值．解：(1)因为关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根， 所以Δ＝[－(t －2)]2－4(t 2＋3t ＋5)≥0， 即－4≤t ≤－43.又c ＝(－1，1，3)＋t (1，0，－2)＝(－1＋t ，1，3－2t )， 所以|c |＝（－1＋t ）2＋12＋（3－2t ）2＝5（t －75）2＋65.因为t ∈[－4，－43]时，上述关于t 的函数单调递减，所以当t ＝－43时，|c |取最小值3473.(2)当t ＝－43时，c ＝(－73，1，173)，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c|b ||c |＝－73＋0－34312＋02＋（－2）2× （－73）2＋12＋（173）2＝－411 735＝－41 1 7351 735.10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系，则有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12、F ⎝⎛⎭⎫12，12，0、C (0，1，0)、C 1(0，1，1)、B 1(1，1，1)、G ⎝⎛⎭⎫0，34，0.(1)证明：EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12， B 1C →＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)，∴EF →·B 1C →＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0， ∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C .(2)∵C 1G →＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0，1，1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1， ∴|C 1G →|＝174.又EF →·C 1G →＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38，|EF →|＝32， ∴cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →|·|C 1G →|＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵F ⎝⎛⎭⎫12，12，0、H ⎝⎛⎭⎫0，78，12， ∴FH →＝⎝⎛⎭⎫－12，38，12， ∴|FH →|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫382＋⎝⎛⎭⎫122＝418. [能力提升]1.△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5解析：选A.设AD →＝λAC →，其中λ∈R ，D (x ，y ，z )， 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ. ∴BD →＝(－4，4λ＋5，－3λ)． ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.∴λ＝－45，∴BD →＝(－4，95，125)．∴|BD →|＝（－4）2＋（95）2＋（125）2＝5.2.已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP →的坐标为________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4. 因为BP ⊥平面ABC ， 所以BP →⊥AB →，且BP →⊥BC →，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0， 且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP →＝(337，－157，－3)．答案：(337，－157，－3)3.已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． 求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S . 解：∵AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.4．已知A (4，10，9)，B (3，7，5)，C (2，4，1)，D (10，14，17)，M (1，0，1)，N (4，4，6)，Q (2，2，3)．(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)求证：M ，N ，Q ，D 四点共面．证明：(1)由题意，得AB →＝(－1，－3，－4)， AC →＝(－2，－6，－8)，显然AC →＝2AB →，∴AC →与AB →共线．又AC →，AB →有共同的起点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)MN →＝(3，4，5)，MQ →＝(1，2，2)，MD →＝(9，14，16)．设MD →＝xMN →＋yMQ →，即(9，14，16)＝(3x ＋y ，4x ＋2y ，5x ＋2y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝9，4x ＋2y ＝14，5x ＋2y ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故MD →＝2MN →＋3MQ →，由共面向量定理知MN →，MQ →，MD →共面， 即M ，N ，Q ，D 四点共面．。
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[A.基础达标]1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B 的坐标分别为A (1，2，2)，B (2，－2，1)，则|AB |＝( )A ．18B ．12C ．3 2D ．2 3解析：选C.AB →＝(1，－4，－1)，|AB |＝|AB →|＝12＋（－4）2＋（－1）2＝3 2.2.若ABCD 为平行四边形，且A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (－3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫72，4，－1 B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5) D ．(－1，13，－3)解析：选D.设D (x ，y ，z )，因为AB →＝DC →，所以(－2，－6，－2)＝(－3－x ，7－y ，－5－z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝－3－x ，－6＝7－y ，－2＝－5－z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13，z ＝－3.3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．0°B ．60°C ．30°D ．90°解析：选D.因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝cos 2α＋1＋sin 2α－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0， 所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝0，所以〈a ＋b ，a －b 〉＝90°.4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，d ＝(1，0，－1)，则其中共面的三个向量是( )A ．a ，b ，cB ．a ，b ，dC ．a ，c ，dD ．b ，c ，d解析：选B.因为a ＝b ＋d ，所以a ，b ，d 三向量共面．5．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为( )A ．17或－1B ．－17或1C ．－1D ．1解析：选B.a ·b ＝4－λ，|a |＝5＋λ2，|b |＝6， 由题意得cos 60°＝a ·b |a ||b |，即4－λ5＋λ2·6＝12， 解之得λ＝1或λ＝－17.6．已知a ＝(m ＋1，0，2m )，b ＝(6，0，2)，a ∥b ，则m 的值为________．解析：因为a ∥b ，所以a ＝λb ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝6λ，2m ＝2λ，得⎩⎨⎧λ＝15，m ＝15.答案：157．已知a ＝(1－t ，2t －1，0)，b ＝(2，t ，t )，t ∈R ，则|b －a |的最小值为________． 解析：因为b －a ＝(1＋t ，1－t ，t )，所以|b －a |＝（b －a ）·（b －a ）＝3t 2＋2≥ 2. 答案： 28．与a ＝(2，－1，2)共线且满足a ·x ＝－18的向量x ＝________．解析：因为a ∥x ，所以x ＝λa ＝(2λ，－λ，2λ)，所以a ·x ＝2·2λ＋(－1)·(－λ)＋2·2λ＝9λ＝－18，得λ＝－2，故x ＝(－4，2，－4)． 答案：(－4，2，－4)9．已知在△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，求顶点B ，C的坐标，向量CA →及∠A 的余弦值．解：设B ，C 两点的坐标分别为(x ，y ，z )，(x 1，y 1，z 1)．因为AB →＝(4，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5.所以B 点坐标为(6，－4，5)．因为BC →＝(3，－2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10.所以C 点坐标为(9，－6，10)．所以AC →＝(7，－1，7)，CA →＝(－7，1，－7)．所以cos A ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝28－1＋1499×21 ＝413231＝41231693. 10.如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A的坐标是⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°. (1)求向量OD →的坐标；(2)设向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.所以DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12， 所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32， 即向量OD →的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32. (2)依题意知OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0， OB →＝(0，－1，0)，OC →＝(0，1，0)．所以AD →＝OD →－OA → ＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，32. BC →＝OC →－OB →＝(0，2，0)．由于向量AD →和BC →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·BC →|AD →||BC →|＝ ⎝⎛⎭⎫－32×0＋（－1）×2＋32×0⎝⎛⎭⎫－322＋（－1）2＋⎝⎛⎭⎫322·02＋22＋02＝－210＝－1510. 所以cos θ＝－105. [B.能力提升]1．已知向量OA →＝(2，－2，3)，向量OB →＝(x ，1－y ，4z )，且平行四边形OACB 对角线的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，－12，则(x ，y ，z )＝( ) A ．(－2，－4，－1)B ．(－2，－4，1)C ．(－2，4，－1)D ．(2，－4，－1) 解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝0，－2＋1－y 2＝32，3＋4z 2＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，z ＝－1. 2．△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41C ．4D ．2 5解析：选A.设AD →＝λAC →，其中λ∈R ，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)，所以x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ.所以BD →＝(－4，4λ＋5，－3λ)．所以4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.所以λ＝－45，所以BD →＝(－4，95，125)． 所以|BD →|＝ （－4）2＋（95）2＋（125）2＝5. 3．设AB →＝(cos α＋sin α，0，－sin α)，BC →＝(0，cos α，0)，则|AC →|的最大值为________． 解析：AC →＝AB →＋BC →＝(cos α＋sin α，cos α，－sin α)，所以|AC →|＝（cos α＋sin α）2＋cos 2α＋（－sin α）2＝2＋sin 2α≤ 3.答案： 34．已知a ＝2(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则λ的值为________．解析：由共面向量定理知存在有序实数组(x ，y )使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2，6)＝(－x ，4x ，－2x )＋(7y ，5y ，λy )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝－x ＋7y ，－2＝4x ＋5y ，6＝－2x ＋λy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3433，y ＝1433，λ＝657.答案：6575．已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，a ＝(－1，1，3)，b ＝(1，0，－2)，c ＝a ＋t b .(1)当|c |取最小值时，求t 的值；(2)在(1)的条件下，求b 和c 夹角的余弦值．解：(1)因为关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，所以Δ＝[－(t －2)]2－4(t 2＋3t ＋5)≥0，即－4≤t ≤－43.又c ＝(－1，1，3)＋t (1，0，－2)＝(－1＋t ，1，3－2t )，所以|c |＝（－1＋t ）2＋12＋（3－2t ）2＝5（t －75）2＋65.因为t ∈[－4，－43]时，上述关于t 的函数是递减的，所以当t ＝－43时，|c |取最小值3473.(2)当t ＝－43时，c ＝(－73，1，173)，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－73＋0－34312＋02＋（－2）2× （－73）2＋12＋（173）2＝－411 735＝－41 1 7351 735. 6．(选做题)已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)．(1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标．(2)问是否存在实数α，β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解：(1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x ，1－y ，－z )，AC →＝(－1，0，2)，DC →＝(－x ，－y ，2－z )，AB →＝(－1，1，0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－x ，1－y ，－z ）＝m （－1，0，2），（－x ，－y ，2－z ）＝n （－1，1，0），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2.即D (－1，1，2)． (2)依题意AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，2)，BC →＝(0，－1，2)．假设存在实数α，β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，0)＋β(0，－1，2)＝(－α，α－β，2β)．所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，α－β＝0，2β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．。
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[A.基础达标]1．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →解析：选C.当OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)时，M 、A 、B 、C 四点共面，排除A ；当MA →＝xMB →＋yMC →时，M 、A 、B 、C 四点共面，排除B 和D ，故选C.2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，点M ，N是平面A 1B 1C 1D 1内任意两个不重合的点，MN →＝x a ＋y b ＋z c (x ，y ，z ∈R )，那么( )A ．x ，y ，z 都不等于0B ．x ，y ，z 中最多有一个值为0C ．x ，y ，z 中z 必等于0D ．x ，y ，z 不可能有两个等于0解析：选C.因为MN 在平面A 1B 1C 1D 1内，所以z 必为0.3.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →可用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋c D.12a －12b ＋c 解析：选D.OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋12BA → ＝OC →＋12(OA →－OB →) ＝12a －12b ＋c . 4．已知点A 在基底a ，b ，c 下的坐标为(8，6，4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底i ，j ，k 下的坐标为( )A ．(12，14，10)B ．(10，12，14)C ．(14，10，12)D ．(4，2，3)解析：选A.因为8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )，所以点A 在基底i ，j ，k 下的坐标为(12，14，10)．5．已知e 1，e 2，e 3为空间的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ分别为( )A.52，－1，－12B ．1，2，3C ．1，1，1D ．1，－1，1解析：选A.因为d ＝αa ＋βb ＋γc ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12. 6.已知在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以AB →，AD →，AA 1→为基底，则向量AE →的坐标为________，向量AF →的坐标为________，向量AC 1→的坐标为________．解析：AE →＝AD 1→＋D 1E →＝AD →＋AA 1→＋12AB →＝12AB →＋AD →＋AA 1→；AF →＝AB →＋AA 1→＋12AD →＝AB →＋12AD →＋AA 1→；AC 1→＝AB →＋AA 1→＋AD →＝AB →＋AD →＋AA 1→，故AE →、AF →、AC 1→在基底AB →，AD →，AA 1→下的坐标分别为(12，1，1)，(1，12，1)，(1，1，1)． 答案：(12，1，1) (1，12，1) (1，1，1) 7.如图所示，点M 为OA 的中点，以OA →，OC →，OD →为基底的向量DM→＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则(x ，y ，z )＝________．解析：因为DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →， 又DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，所以x ＝12，y ＝0，z ＝－1，即(x ，y ，z )＝(12，0，－1)． 答案：(12，0，－1) 8．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG→＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为________．解析：CA →＝OA →－OC →，CB →＝OB →－OC →，因为G 1是△ABC 的重心，所以CG 1→＝13(CA →＋CB →)＝13(OA →＋OB →－2OC →)，OG 1→＝OC →＋CG 1→＝OC →＋13(OA →＋OB →－2OC →)＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由于OG ＝3GG 1，所以OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 所以(x ，y ，z )＝(14，14，14)． 答案：(14，14，14) 9.如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，分别取向量AB →，AD →，AA ′→为基底，若(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→；(2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，试确定x ，y ，z 的值．解：(1)因为BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋AD →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→，又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)因为AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→ ＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→) ＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12AD →＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，所以x ＝12，y ＝12，z ＝1. 10.如图所示，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB →＝a ，B 1C 1→＝b ，DD 1→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．试用a ，b ，c 表示如下向量：(1)AP →；(2)AM →.解：(1)因为AP →＝AA 1→＋A 1P →，而AA 1→＝DD 1→＝c ，A 1P →＝12A 1C →＝12(A 1A →＋AB →＋BC →) ＝12(－c ＋a ＋b )＝12a ＋12b －12c ， 所以AP →＝c ＋(12a ＋12b －12c )＝12a ＋12b ＋12c . (2)因为AM →＝AB →＋BC →＋CM →，而AB →＝a ，BC →＝B 1C 1→＝b ，且M 是CD 1的中点，则CM →＝12CD 1→＝12(CD →＋DD 1→) ＝12(－AB →＋DD 1→)＝12(－a ＋c )， 所以AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝a ＋b ＋12(－a ＋c ) ＝12a ＋b ＋12c . [B.能力提升]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AB 1→在CB 1→上的投影为( )A ．－22 B.22C ．－ 2 D. 2解析：选B.因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，所以|AB 1→|＝2，|AC →|＝2，|B 1C →|＝ 2.所以△AB 1C 是等边三角形．所以AB 1→在CB 1→上的投影为|AB 1→|cos 〈AB 1→，CB 1→〉＝2×cos π3＝22.2．在三棱锥S -ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( )A.SG →＝12(SA →＋SB →＋SC →)B.SG →＝13(SA →＋SB →＋SC →)C.SG →＝14(SA →＋SB →＋SC →)D.SG →＝SA →＋SB →＋SC →解析：选B.连接AG 并延长交BC 于点D ，SG →＝SA →＋AG →＝SA →＋23AD →＝SA →＋23(AS →＋SD →)＝13SA →＋23×12(SB →＋SC →)＝13(SA →＋SB →＋SC →)． 3．若a ，b ，c 是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．解析：由空间向量基本定理，得x ＝y ＝z ＝0.答案：x ＝y ＝z ＝04．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以AB →，AC →，AD →为基底，则GE →＝________(用AB →，AC →，AD →表示)．解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－13(AB →＋AC →)＋AD →＋14DB →＝－13AB →－13AC →＋AD →＋14(DA →＋AB →) ＝－112AB →－13AC →＋34AD →. 答案：－112AB →＋34AD →－13AC → 5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD→＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底a ，b ，c 表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.解：连接AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋2b ＋c )． (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)]＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AC →＋45AA ′→＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c . 6．(选做题)如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .解：(1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→ ＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→ ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→. 所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13.所以x ＋y ＋z ＝13.。