有关实数完备性基本定理的循环证明

定理６（维尔斯特拉斯聚点定理）直线上的有 界无限点集Ｓ至少有一个聚点。
定理７（致密性定理）有界数列必有收敛子 列。
定理８（柯西收敛准则）数列｛ａ。）收敛的充要 条件是：对任给的正数ｅ，总存在某一个自然数 Ｎ，使得ｎ，ｍ＞Ｎ时，都有
Ｉａ。一ａ。ｊ＜ｅ 柯西收敛准则又叫实数完备性定理。
二、基本定理的循环证明
ｌｉｍａ。＝ａ
ｎ—；∞
同理可证，有下界的单调数列也有极限。
李湘云：有关实数完备性基本定理的循环证明
３—４ 由单凋有界定理证明区间套定理 证明：由区间套的定义可知，各闭区间的端点
满足： ａ，≤ａ：≤……ａ。≤……≤ｂ。≤……≤ｂ：≤ｂ１
所以，｛ａ。）为递增有界数列，依单调有界定
理，数列｛ａ。）必有极限。
以上八个定理，都是描述实数集的连续性（完 备性）的定理，只不过表现形式不同而已。下面我 们以实数系的连续性质为公理，按下列顺序循环 证明，从而说明这八个基本定理是等价的。
１—２—３—４—５—６—７—８—２。４—１ １—２用实数的连续性证明确界原理 证明：我们不妨设数列Ａ有上界，于是可将 Ａ的所有上界组成一个集合，记为：
．５８
万方数据
’ｒ一｛ｙ ｙ≥ｚ，ｚ∈Ａ） 作其补集 Ｓ一｛ｘ｜ｘ６Ｔ｝ 这样，由Ｓ和Ｔ造成了实数集合Ｒ的一个 “切割”。 （１）首先，Ｔ≠①。这是因为数集Ａ有上界，依 定义，至少有一个实数Ｍ为Ａ的上界，即ｚ≤Ｍ， ｚ∈Ａ，于是所有的实数ｙ≥Ｍ都属于Ｔ，也就是说 数集Ｔ必然非空。 同样，Ｓ≠中。若设某个ｚ。∈Ａ，则所有的实数 ｘ＜ｚ。都不能成为Ａ的上界，即ｘ§Ｔ，亦即说明ｘ ∈Ｓ，从而数集Ｓ非空。 （２）Ｒ—ＳＵＴ。事实上，Ａ的所有上界都属于 Ｔ，其余的实数统统属于Ｓ。任何一个实数，要么是 Ａ的上界，要么不是Ａ的上界，二者必居其一。这 说明：Ｓ和Ｔ互为补集。 （３）对于任何ｘ∈Ｓ，任何ｙ∈Ｔ，成立ｘ＜ｙ。 事实上，ｙ∈Ｔ表示数集Ａ的一个上界，若ｘ≥ｙ 成立，则说明ｘ也是数集Ａ的一个上界，于是得 出ｘ∈Ｔ，而ｘ在Ｓ的结论。这与条件矛盾，故只要 ｘ∈Ｓ，ｙ∈Ｔ，则一定有ｘ＜ｙ。Ｓ和Ｔ是左右分开 的。 上面验证了Ｓ和Ｔ是Ｒ的一个“切割”，于是 由实数系的连续性命题得出，或者左集Ｓ具有最 大实数，或者右集Ｔ具有最小实数，二者必居其 一。下证Ｓ不具有最大实数的可能性。事实上，对 任何ｘ＋∈Ｓ，因为它不是数集Ａ的上界，所以必 有某个ｚ’∈Ａ，使得ｚ’＞ｘ’，据此我们可解出另 一个实数： ｘ’＝［ｘ’十ｚ。］ 虽然有 ｘ。＜ｘ’＜ｚ’ 这说明ｘ’也不是Ａ的上界，从而ｘ’∈Ｓ，但 它比ｘ。大。对于Ｓ中的任何实数都能在Ｓ中找到 一个比它更大的实数来，亦即Ｓ不具有最大实数。 由此得出，Ｔ必具有最小实数，它是数集Ａ 的最小上界，即上确界ｓｕｐＡ。 ２—３ 由确界原理证明单调有界定理 证明：不妨设｛ａ。）是递增有上界数列。由确界 原理，数列（ａ。｝有上确界，令ａ—ｓｕｐ（ａ。｝，下证明ａ 就是｛ａ。）的极限。 事实上，任给￡＞ｏ，依上确界的定义，存在数 列｛ａ。）中某个项ａｗ，使得ａ～￡＜ａＮ≤ａ，又由｛ａ。｝ 的递增性，当ｎ≥Ｎ时，都有ａ一￡＜ａＮ≤ａ。 另一方面，由于ａ是｛ａ。）的一个上界，故对一 切ａ。都有ａ。≤ａ，因而更有ａ。＜ａ＋￡，于是有：任 给￡＞ｏ，存在自然数Ｎ，使得当ｎ≥Ｎ时，都有ａ一 ￡＜ａＮ＜ａ＋ｅ，即
［ａ。＋１．ｂ。＋１］ｃ［ａ。，ｂ。］ ｎ＝１，２，３，…… ｂ。一ａ。一１／２“（ｂ—ａ）（ｎ一。。） 且每一个闭区间［ａ。，ｂ。］都“不能用Ｈ中的有 限个开区间来覆盖”，由区间套定理，存在唯一一 点ｇ∈［ａ。，ｂ。］（ｎ＝１，２，３，……）。但由本定理的假
设∈必含于Ｈ某一个开区间（ｏ，ｐ）内，又由区间套 定理的推论，只要ｎ充分大，就有
则有 ｜∈一∈’ｌ≤ｂ。一ａ。ｎ一１，２，３，…… 而ｌ∈一∈’Ｉ≤（ｂ。一ａ。）＝ｏ 故∈＝∈’ 根据区间套定理，可以推出如下区间套性质： 推论若∈∈［ａ。，ｂ。］（ｎ＝１，２，３，……）是区间 套｛［ａ。’ｂ。］）确定的点，则对任何正数ｅ，存在自然 数Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，总有 ［ａ。，ｂ。］Ｕ（∈，￡） 闭区间套定理的几何定义是：有一列闭线段 （两个端点也属于此线段），后者被包含在前者之 中，并且由这些闭线段的长构成的数列以Ｏ为极 限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点。 ４—５ 由区间套定理证明有限覆盖定理 证明 用反证法。假设定理的结论不成立，即 “不能用Ｈ中的有限个开区间来覆盖”［ａ，ｂ］。现 将［ａ，ｂ］等分为两个子区间，则其中至少有一个子 区间“不能用Ｈ中的有限个开区间来覆盖”，记这 个子区间为［ａ。，ｂ，］ｃ［ａ，ｂ］，且
一∈
蚕莹≤ 设且 “＂珥 ｎ∈ ｍ 一 ２ ０ｕ
①
同理递减有界数列ｆｂ。｝也有极限，又由区间
套定义
（２）１ｉｍ（ｂ。一ａ。）一Ｏ
有ｎｍｂ。一ｌｉｍａ。一∈
且ｂ。≥∈，ｎ一１，２，３，……② 联合①、②即得 ａ。≤∈≤ｂ。ｎ一１，２，３，…… 下证∈是唯一的。 设另有一数∈’满足ａ。≤∈’≤ｂ。，ｎ一１，２，３，
第14卷第4期湖?财经高等专科学校学报2002?18月25日v0114no4joumalofhubeicolleggoffinanceandeconomicsaug252002有关实数完备性基本定?的循环证明李湘云湖?财经高等专科学校基础课部湖?武汉430077摘要本文阐述了实数集上八个基本定?及其相关内容以实数系的连续性为公?顺序证明其余七个基本定?最后达到循环从而证明了它的等价性
第１４卷第４期
Байду номын сангаас
Ｖ０１．１ ４
Ｎｏ．４
湖北财经高等专科学校学报 Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｈｕｂｅｉ Ｃｏｌｌｅｇｇ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ
２００２年（１８月２５日 Ａｕｇ．２５，２００２
有关实数完备性基本定理的循环证明
李 湘云
（湖北财经高等专科学校基础课部，湖北武汉４３００７７）
［ａ。＇ｂ。］（ａ，｜３） 这说明［ａ。．ｂ。］必须用Ｈ中的一个开区间（ａ， ｜３）就能覆盖，这与挑选［ａ。，ｂ。］时的假设“不能用 Ｈ的有限个开区间来覆盖”相矛盾，从而推得必存 在属于Ｈ的有限个开区间能覆盖［ａ，ｂ］。 ５—６用有限覆盖定理证明聚点定理 证明：设Ｅ为直线上有界无穷点集，则存在 Ｍ＞ｏ，使Ｅｃ［一Ｍ，Ｍ］中任何点不是Ｅ的聚点， 则对每一个ｘ∈［一Ｍ，Ｍ］，必存在相应的６。＞ｏ， 使得在Ｕ（ｘ，８。）内至多含有Ｅ的有限多个点。 设Ｈ一｛Ｕ（ｘ，文）｜ｘ∈［一Ｍ，Ｍ］）。则Ｈ是 ［一Ｍ，Ｍ］的一个开覆盖。由有限覆盖定理，Ｈ中 存在有限个开覆盖Ｕ（ｘ，，艿。，）（ｊ一１，２，３。……）构 成［一Ｍ，Ｍ］的一个开覆盖，当然也覆盖了Ｅ。由 邻域Ｕ（ｘ，，文，）的原意，在其内至多含有Ｅ的有限 多个点ｘ，（ｊ一１，２，３，……）。故Ｅ为有限点集，这 与题设Ｅ为无穷点集相矛盾。故［一Ｍ，Ｍ］中至多 有Ｅ的一个聚点。 ６—７用聚点定理证明致密性定理 证明：若数列｛ｘ。｝中含有无限多个相等的项， 则由这些项组成的子列是一个常数列，显然收敛。 若数列｛ｘ。｝不含有无限多个相等的项，则由 聚点定理，点集｛ｘ。｝至少有一个聚点，记为ｘ。，由 聚点的等价定义 令￡１—１，存在ｘ。１∈Ｕ（ｘｏ，￡１）ｎ｛ｘ。｝且ｘ。１≠
我们常常从实数系的连续性出发证明实数系 的完备性，也可从实数系的完备性出发去证明实 数系的连续性，所以这两个关系是等伤的。因此， 我们也称实数系的连续性为实数系的完备性。下 面我们就来阐述实数完备性基本定理的内容，为 后面的证明作铺垫。
定义１ 实数集合Ｒ的一个“切割”，是指将
Ｒ分成两个子集Ｓ和Ｔ，它们满足： （１）Ｓ≠①Ｔ≠① （２）Ｒ—ＳＵＴ （３）Ｖ、∈Ｓ．ｖ，∈Ｔ，成立ｘ＜ｙ （相应地称Ｓ为左集，Ｔ为右集） 定义２有非空的数集Ｅ，如果存在ａ，有下
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｅａＩ ｎｕｍｂｅｒ；Ｃａｕｃｈｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｙ ｇｕｉｄｅ ｌｉｎｅ；ｉｎｔｅｒ—ｒｅｇｉｏｎ ｃｏｖｅｒ；ｌｉｍｉｔｅｄ ｏｖｅｒｌａｙ
随着分析概念的精确化和体系的严格化，人 们越来越感觉到建立实数连续统的必要性和迫切 性。狄德金早在１８５３年第一次讲授微积分时，就 已发现单调有界变量的极限存在定理和介值定理 无法证明，只能求助于直观图形。因此把分析学理 论完全建立在实数基础上是保证分析理论的正确 性和完备性的前提。
定义７ 所谓子列．是相对于某个数列而言 的：它是该数列的一部分，同时它自身也构成一个 数列。
定理１（实数集合的连续性质命题）对于Ｒ的 任意一个“切割”。或者左集Ｓ具有最大实数，或者 右集Ｔ具有最小实数，二者必居其一。
定理２（确界原理）有上（下）界的数集必有上 （下）界。
定理３（单调有界定理）任何有界的单调数列 一定有极限。
ｂ１一ａ１—１／２（ｂ—ａ）
再将［ａ，＇ｂ。］等分为两个子区间，同样其中至 少有一个子区间“不能用Ｈ中的有限个开区间来 覆盖”［ａ。．ｂ。］，记这个子区间为［ａ。，ｂ：］［ａ。，ｂ。］， 且ｂ。一ａ。＝１／２２（ｂ—ａ）。重复上述步骤并无限地 进行下去，则得到一个闭区间列［ａ。＇ｂ。］（ｎ一１，２， ３，……）有
［摘 要］ 本文阐述了实数集上八个基本定理及其相关内容，以实数系的连续性为公理，顺序证明
其余七个基本定理，最后达到循环，从而证明了它的等价性。
［关键词］ 实数；柯西收敛准则；区间套；有限覆盖
［中图分类号］（）１４１．３
［文献标识码］Ａ
［文章编号］１００９—１７０Ｘ（２００２）０４一００５７一０４
Ｔｈｅ Ｃｉｒｃｕｌａｔｉｎｇ Ｔｅｓｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ Ｒｅａｌ Ｎｕｍｂｅｒ Ｐｅｒｆｅｃｔｎｅｓｓ ｔｈｅ Ｂａｓｉｃ Ａｘｉｏｍｓ
则称这个闭区间列｛［ａ。，ｂ。］）为闭区间套，或 简称区间套。
［收稿日期］２００２一０２—２８ ［作者简介］李湘云（１９５９一），女，湖南常德人，湖北财经高等专科学校副教授。
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万方数据
李湘云：有关实数完备性基本定理的循环证明
定义５ 设集合己一｛ｏ Ｄ为开区间｝，另有
一个集合ＩｃＲ，对于任意的ｘ∈Ｉ，存在ｄ∈乙，使
一、实数完备性基本定理的内容
我们知道，极限的存在性问题是极限理论的 首要问题。一个数列是否存在极限不仅与数列本 身的结构有关，而且与数列所在的数集密切相关。 从运算的角度来说，实数集关于极限的运算是封 闭的，它反映了实数集的完备性，这是实数的优 点。因此，将极限理论建立在实数集之上，极限理 论就有了坚实的基础。
定理４（区间套定理）若｛［ａ。＇ｂ。］）是一个区间 套，则存在唯一一点∈，使得毒∈［ａ。，ｂ。］，ｎ一１，２， ３，……或ａ。≤∈≤ｂ。，ｎ一１，２，３，……
定理５（有限覆盖定理）设［ａ，ｂ］是一个闭区 间，Ｈ为［ａ，ｂ］的一个开覆盖，则在Ｈ中必存在有 限个开区间，它构成［ａ，ｂ］上的一个开覆盖。
有限覆盖定理也称紧致性定理或海涅一波莱 尔定理。
得ｘ∈ｄ，则称己为Ｉ的一个覆盖。若乙为有限个
、］
区间组成，则称己为１的一个有限覆盖。
定义６设Ｓ是直线上的点集｛ｘ），ｇ是一个 定点（它可属于Ｓ，也可不属于Ｓ）。若∈的任意邻 域内含有Ｓ的无限多个点ｘ，则称∈为Ｓ的一个 聚点。
其等价定义：对于点集Ｓ一｛ｘ），若∈点的任 意￡邻域内都含有Ｓ的一个异于∈的点ｘ（即ｘ∈ Ｓｎ Ｕ（∈．￡），ｘ≠∈），则称∈为Ｓ的一个聚点。
ＬＩ Ｘｉａｎｇ—ｙｕｎ （Ｂａｓｉｃ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｈｕｂｅｉ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｗｕｈａｎ ４３００７７，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｅｔｓ ｆｏｒｔｈ ｅｉｇｈｔ ｂａｓｉｃ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ａｒｅ ａｘｉｏｍｓ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｔｅｓｔｉｆｉｅｓ ｓｅｖｅｎ ｏｔｈｅｒ ｂａｓｉｃ ａｘｉｏｍｓ ｏｒｄｅｒｌｙ ａｎｄ ｆｉｎａＵｙ ｒｅａｃｈｅｓ ｃｉｒｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅｒｅｂｙ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ．
列性质： （１）对任意ｘ∈Ｅ，有ｘ≤Ｑ （２）对任意￡＞ｏ，总存在某个数ｘ。∈Ｅ，有ａ
—ｅ＜ｘ。，则称ａ是数集Ｅ的上确界，认为：
ａ—ｓｕｐＥ
定义３有非空的数集Ｅ，如果存在１３，有下 列性质：
（１）对任意ｘ∈Ｅ，有ｐ≤ｘ （２）对任意￡＞Ｏ，总存在某个ｘ。∈Ｅ，有ｘ。＜ ｐ＋ｅ，则称Ｂ是数集Ｅ的下确界，认为： Ｇ—ｉｎｆＥ 定义４若闭区间列｛［ａｎ，ｂｎ］）具有下列性 质： （１）［ａｎ，ｂｎ］３［ａ。＋ｌ，ｂ。＋１］，ｎ一１，２，３…… （２）ｌｉｍ（ｂ。一ａ。）一０