26【Ks5u首发】浙江省嘉兴一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案

26【Ks5u首发】浙江省嘉兴一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）
试卷 Word版含答案
一、选择题（共3小题；共15分）
1. 命题"若，则 "的逆否命题是______
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
2. 已知命题：所有有理数都是实数，命题：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
______
A. B.
C. D.
3. 已知直线，则之间的距离为______
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
4. 已知和，则的充要条件是______．
5. 直线经过，且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线方程为______．
6. 若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则的最大值为______．
7. 已知点，分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭
圆交于，两点，若为正三角形，则椭圆的离心率是______．
8. 如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为
______．
9. 如图，已知边长为的正，顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点
分别为在平面上的投影，设，直线与平面所成的角为．若是以为直角的直角三角形，则的范围为______．
三、解答题（共3小题；共39分）
10. 已知命题“若，则有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．
11. 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
12. 已知直线的方程为，，点的坐标为．
（1）求点到直线的距离的最大值；
（2）设点在直线上的射影为点，的坐标为，求线段长的取值范围．
四、选择题（共7小题；共35分）
13. 给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是______
A. ②和④
B. ②和③
C. ③和④
D. ①和②
14. 设点，分别在直线和上运动，线段的中点恒在直线
上或者其右上方区域．则直线斜率的取值范围是 ______
A. B.
C. D.
15. 椭圆上一点到一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为______
A. B. C. D.
16. 已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
17. 在圆内，过点的最短弦所在直线的倾斜角是______
A. B. C. D.
18. 如图，在正方形内作内切圆，将正方形，圆绕对角线旋转一周得到的两个
旋转体的体积依次记为，，则 ______
A. B. C. D.
19. 在棱长为的正方体内有一四面体，其中分别为正方体两条棱的中点，其三视图
如图所示，则四面体的体积为______
A. B. C. D.
五、填空题（共1小题；共5分）
20. 当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是______．
六、解答题（共2小题；共26分）
21. 已知三角形中，，．
（1）求点的轨迹方程；
（2）求三角形的面积的最大值．
22. 如图，已知边长为的菱形中，，．将菱形沿对角线
折起得到三棱锥，设二面角的大小为．
（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
第二部分
4.
5. 或
6.
7.
8. 或
9.
第三部分
10. 解法一：原命题：若，则有实根．
逆否命题：若无实根，则．
判断如下：
无实根，
，，
“若无实根，则”为真命题．
解法二：
，，，
方程的判别式，
方程有实根．故原命题“若，则有实根”为真．又因原命题与其逆否命题等价，
“若，则有实根”的逆否命题为真．
11. （1）取中点，连接．
为正三角形，
．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
连接，在正方形中，，分别为，的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（2）设与交于点，在平面中，作于，连接．由（1）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
．
12. （1）由得，所以直线恒过直线与直线交点，解方程组得，所以直线恒过定点，且定点为．
设点在直线上的射影为点，则，
当且仅当直线与垂直时，等号成立，所以点到直线的距离的最大值即为线段的长度为．
（2）因为直线绕着点旋转，
所以点在以线段为直径的圆上，其圆心为点，半径为，
因为的坐标为，所以，从而．
第四部分
13. A 14. B 15. C
16. A 17. B 18. D 19. D
第五部分
20.
第六部分
21. （1）以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则，．
设，由，得（），即为点的轨迹方程，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，去掉与轴的交点．
（2）由于，所以，
因为，所以，
所以，即三角形的面积的最大值为．
22. （1）方法一：
由题意可知二面角的平面角为，即．
时，即，
分别取，的中点，，连接，，，
，，
为异面直线与所成的角或其补角，
在中，，，，
，即异面直线与所成角的余弦值为．
方法二：
，
由题意可知，
，
，即异面直线与所成角的余弦值为．
（2）方法一：
当时，即，
由题意可知平面，为等边三角形，
取的中点，则有平面，且，
，即（其中为点到平面的距离），，即直线与平面所成角的正弦值．
，
，，，，
，，．
设平面的法向量为，
即可得，
设直线与平面所成的角为．
则，
即直线与平面所成角的正弦值．。