福建省泉州一中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题

泉州一中2011—2012学年高一下学期期中数学试题
一．选择题(共12小题,每题5分共60分，只有一个选项正确，请把
．．
）
答案写在答题卷上
．．．．．．．．
1.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（) A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2.设集合{}
==+，{}
A x y y ax
(,)1
==+,且{}
(,)
B x y y x b
A B=，则（）
(2,5)
A．3,2
=-=-D．2,3
a b
a b
=-=-
a b
==C．3,2
==B．2,3
a b
3. 某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是（）
A。

2 B. 3 C. 5 D. 13
4.过点(2,1)
P-且被圆C：22240
x y x y
+--=截得弦最长的直线l的方程是（）
A ．350x y -+=
B. 350x y -+=
C.
350x y +-=
D 。

350x y --=
5。

如图程序框图得到函数()y f x =，则1[()]4
f f 的值是（ ）
A ． 8 B. 18
C 。

9
D 。

1
9
6. 圆C 1： 1)2()2(22
=-++y x 与圆
C 2:2
2(2)
(5)16x y -+-=
)
A ．外离
B 。

相交 D. 外切
7.如果执行右面的程序框图，那么输出的S =( ） A ．10 B ．22 C ．46 D ．94 8。

已知直线1
:2(1)20l x y λ++-=，2
:10l
x y λ+-=，
若1l ∥2l ，则λ )
A ．2-
B ．13
-
C ．2-或1 ．1
9.已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，相
切,
则圆的方程是（ ) A ．0422
=-+x y x B ．0422
=++x y x
C ．03222
=--+x y x
D ．03222
=-++x y x
10。

有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A ．至少有1件次品与至多有1件正品
B ．至少有1件次品与都是正品
C ．至少有1件次品与至少有1件正品
D ．恰有1件次品与恰有2件正品
第8题
11。

已知圆C ：x 2+y 2+4x —12y+24=0.若直线l 过点P （0,5）且被圆C 截得的线段长为43，则l 的方程为( ）
A 。

3x —4y+20=0
B 。

4x —3y+15=0 C.3x-4y+20=0或x=0 D 。

3x —4y+20=0 或 4x-3y+15=0 12。

已知函数]2,1[,)1(12∈--=x x y 对于满足2121<<<x x 的任意1x ，2x ，给出
下列结论：
①12
1
2
)()(x x
x f x f ->-； ②2
112()()
x
f x x f x >；
③0)]()()[(1212<-
-x f x f x x ．
④0)]()()[(1212
>--x f x f x x
其中正确结论的个数有( ）
A ． ①③
B ．②④
C ．②③
D ．①④
二．填空题(共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题．．．．．．．．卷上．．
） 13．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,
甲夺得冠军的概率为73
，乙夺得冠军的概率为4
1，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ．
14．已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是 ．
15．某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元)之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。

根据上表提供的数据得到回
归方程
ˆy
bx a =+中的
6.5
b =,预测销售额为115万元时约需
万元广告费.
16．已知点A （—1，0）、点B （2,0）,动点C 满足AB AC =，则点C 与
点P(1,4）的中点M 的轨迹方程为 。

三．解答题(6题，共74分，要求写出解答过程或者推理步骤）: 17．（本小题满分12分）青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注,某校对高二600名学生进行了一次“心理健康"知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分)作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．
x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
频率 （Ⅰ）填写答题卡．．．频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；(Ⅱ）试估计该年段成绩在)90,70[段的有多少人?（Ⅲ）请你估算该年段分数的众数．
12分）设直线1
:2l y x
=与
P 点。

P 点，且与直线l 的方程。

点，且原点O 到直
线l 的距离为1时,求直线l 的方程。

19．(本小题满分12都参加了10场比赛，比赛得分情况记录如下(甲：37，21，31,20,29，19，32，23，25，33 乙：10，30，47,27,46，14，26，10，44，46
第19题
甲
乙
1
2 3 4
比较，写出两个统计结论；
（Ⅱ）设甲篮球运动员10场比赛得分平均值x ，将10场比赛得分i
x 依
次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的S 大小为多少?并说明S 的统计学意义；
（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的10场得分中，各随机抽取一场不小于30分的得分,求甲的得分大于乙的得分的概率．
20．（本小题满分12分)如图,已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，
45=∠ABC ,1DC =,2=AB ,⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．
(Ⅰ）求证://AB 平面PCD ；
(Ⅱ）求证:⊥BC 平面PAC ; （Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积．
21．（本小题满分12分）已知实数{}
，，，，{}
a∈--
21 1 2
，，，．
b∈--
21 1 2（Ⅰ）求点（a，b)在第一象限的概率;
（Ⅱ）求直线y a x b
=+与圆221
+=有公共点的概率．
x y
22．(本小题满分14分）已知：以点C (t, 错误!)(t∈R，t≠ 0）为圆心的圆与x轴交于点O, A,
与y轴交于点O, B，其中O为原点．
（Ⅰ）当t=2时,求圆C的方程；
（Ⅱ）求证：△OAB的面积为定值；
（Ⅲ）设直线y = –2x+4与圆C交于点M，N,若ON
OM=，求圆C 的方程．
泉州第一中学2011—2012学年度高一（下)期中考试(数学)一．选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，
请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．
） 1.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的( D ）
A ．频率就是概率
B ．频率是客观存在的,与试验次数无关
C ．概率是随机的，在试验前不能确定
D ．随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率2.设集合{}(,)1A x y y ax ==+,{}(,)B x y y x b ==+，且{}
(2,5)A
B =，则（ B ）.
A ．
3,2
a b == B ．2,3a b == C ．3,2a b =-=- D ．2,3a b =-=-
3. 某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是（ C ）
A. 2 B 。

3
C. 5
D. 13
4.过点(2,1)P -且被圆C ：2
2240x
y x y +--= 截得弦最长的
直线l 的方程是( B ） A ．350x y -+= B。

350x y -+=
C 。

350x y +-=
D 。

350x y --=
5. 如图程序框图得到函数()y f x =，则1[()]4
f f 的值是（ D ）
A
． 8 B 。

18
C. 9 D 。

1
9
6. 圆C 1：
1)2()2(22=-++y x 与圆
C 2：2
2(2)
(5)16x y -+-=（ D ）
A ．外离 B. 相交 C 。

内切 D 。

外切
7。

如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ C ）． A ．10 B22． C ．46 D ．94 8。

已知直线1
:2(1)20l x y λ++-=,2
:10l
x y λ+-=，若1l ∥2l ，则λ的值是（ A ）
A ．2-
B ．13
- C ．2-或1 D ．1
9.已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线0443=++y x 相
切，
则圆的方程是（ A ） A ．0422
=-+x y x
B ．0422=++x y x
C ．03222=--+x y x
D ．03222
=-++x y x
10。

有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是( D ）
A ．至少有1件次品与至多有1件正品
B ．至少有1件次品与都是正品
C ．至少有1件次品与至少有1件正品
D ．恰有1件次品与恰有2件正品
11。

已知圆C:x 2+y 2+4x —12y+24=0。

若直线l 过点P （0，5)且被圆C 截得的线段长为43，则l 的方程为（ C ）
A. 3x —4y+20=0 B 。

4x —3y+15=0 C.3x-4y+20=0或x=0 D. 3x —4y+20=0 或 4x-3y+15=0 12.已知函数]2,1[,)1(12∈--=x x y 对于满足2121<<<x x 的任意1x ，2x ，给出下
列结论:
①12
1
2
)()(x x
x f x f ->-； ②2
112()()
x
f x x f x >；
③0)]()()[(1212<-
-x f x f x x ． ④0)]()()[(1212
>--x f x f x x
其中正确结论的个数有( C )
A ． ①③
B ．②④
C ．②③
D ．①④
二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题．．．．．．．．卷上．．
） 13．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，
甲夺得冠军的概率为73
，乙夺得冠军的概率为4
1,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
28
19。

14．已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是 23+
．
15．某公司的广告费支出x 与销售额y （单位:万元)之间有下列对应数据:由资料显示y 对x 呈线性相关关系。

根据上表提供的数据得到回归
方程ˆy bx a =+中的 6.5b =,预测销售额为115万元时约需 15万元广告费。

16．已知点A(—1,0）、点B （2，0），动点C 满足AB AC =，则点C 与点
P
（
1,4)
的
中
点
M
的
轨
迹
方
程
为
x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
频率 组距
0.032
0.028
4
9
)2(22=-+y x。

15． 15
16．4
9)2(22
=
-+y x
三．解答题（6题,共74分，要求写出解答过程或者推理步骤）: 17．(本小题满分12分）青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注,某校对高二600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．
(Ⅰ)填写答题卡．．．频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ)试估计该年段成绩在)90,70[段的有多少人？ （Ⅲ）请你估算该年段分数的众数。

解：（Ⅰ）
……………6分 （Ⅱ) 该年段成绩在)90,70[段的人数为 600⨯（0。

2+0。

32）=600⨯0。

52=312
人 ……10分
（Ⅲ） 该年段分数的众数为85分 …12分
18．(本小题满分12分）设直线1
:2l y x =与直线2
:3l
x y +=交于P 点。

（Ⅰ）当直线l 过P 点，且与直线0
:20l x y +=平行时，求直线l 的方程.
（Ⅱ）当直线l 过P 点，且原点O 到直线l 的距离为1时，求直线l 的
方程。

解：（Ⅰ）联立方程23
y x x y =⎧⎨
+=⎩解得交点坐标P 为（1，2）
设直线l 的方程为20x y C ++=,代入点P （1,2）的坐标求得C=—4，所以直线l 的方程为：240x y +-=.
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，1x =成立;
当直线l 的斜率存在时，设为k ,则直线l 的方程为：y —2=k （x-1），整理得kx —y+2—k=0，
第19题图
甲 乙
1 2 3 4
则原点到直线的距离1d =
=,解得3
4
k =
,此时直线方程为：3450x y -+= 综上：直线l 的方程为:1x = 或3450x y -+=
19．（本小题满分12分）某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛,比赛得分情况记录如下(单位：分）: 甲：37，21，31,20，29，19，32，23，25，33 乙：10，30，47，27，46,14，26，10，44,46
(Ⅰ）根据得分情况记录，作出两名篮球运动员得分的茎叶图，并根据茎叶图，对甲、乙两运动员得分作比较，写出两个统计结论； (Ⅱ）设甲篮球运动员10场比赛得分平均值x ，将10场比赛得分i
x 依
次输入如图所示的程序框图进行运算，为多
少？并说明S 的统计学意义；
(Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的10场得中,
各随机抽取一场不小于30分的得分，求甲的得
分大于乙的得分的概率。

解：（Ⅰ)茎叶图如右
统计结论:①甲运动员得分的平均值小于乙运
动员得分的平均值；
②甲运动员得分比乙运动员得分比较集中；
③甲运动员得分的中位数为27，乙运动员得分的中位数为28.5；
④甲运动员得分基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近．乙运动员得分分布较为分散．（给分说明：写出的结论中,1个正确得2分）………………5分
（Ⅱ)27,35
==．………………………………………………6分
x S
S表示10场比赛得分的方差,是描述比赛得分离散程度的量,S值越小，表示比赛得分比较集中,S值
越大，表示比赛得分越参差不齐． (8)
分
（Ⅲ）记甲、乙两位运动员的得分为(,)a b，a表示甲运动员的得分,b表示乙运动员的得分，则甲、乙两位运动员的10场得分中各随机抽取一场不小于30分的得分的基本事件为：(31,30)，(31,44)，
(31,46),(31,46)，(31,47);(32,30)，(32,44)，(32,46)，(32,46)，(32,47);(33,30)，(33,44)，(33,46)，(33,46),(33,47)；(37,30)，(37,44)，(37,46)，(37,46)，(37,47)；共有20种情况，…10分。

其中甲的得分大于乙的得分有:(31,30)，(32,30)，(33,30)，(37,30),共4种情
况．………11分
从而甲的得分大于乙的得分的概率为
41
205
P =
=．………………………………12分
20．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，
45=∠ABC ，1DC =，2=AB ,⊥PA 平面ABCD ,1=PA ．
(Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ；（Ⅱ）求证:⊥BC 平面PAC ; （Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积． 【解析】证明:（Ⅰ）//AB DC …………… 1分 又AB ⊄平面PCD
…………… 2分
CD ⊂平面PCD
…………… 3分
∴AB ∥平面PCD …………… 4分
（Ⅱ）在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，∴1AE DC ==
………… 5分
又2AB =，∴1BE =,在Rt BEC ∆中，45ABC ∠=∴1,2CE BE CB ===，∴1AD CE ==
则AC =，222AC BC AB += ∴BC AC ⊥ ………… 7分
又PA ⊥平面ABCD ， ∴PA BC ⊥ ………… 8分
PA AC A ⋂=
∴BC ⊥平面PAC …………… 9分
(Ⅲ)∵M 是PC 中点，∴M 到面ADC 的距离是P 到面ADC 距离的一半……… 10分
111111()(11)3232212
M ACD ACD V S PA -∆=
⋅=⨯⨯⨯⨯=…………… 12分
21．（本小题满分12分）已知实数{}2 1 1 2a ∈--，，，，{}2 1 1 2b ∈--，，，。

（Ⅰ)求点（a,b ）在第一象限的概率； (Ⅱ）求直线 y a x b =+与圆2
21x
y +=有公共点的概率。

解：由于实数对(),a b 的所有取值为:()22--，,()21--，,()2 1-，，()2 2-，，()12--，，
()11--，
，()1 1-，，()1 2-，，()12-，,()11-，，()1 1，，()1 2，,()22-，，()21-，,()2 1，，()2 2，，共16种． 设“点（a,b ）在第一象限”为事件A ，“直线y ax b =+与圆2
21x
y +=有公
共点”为事件B ．
（1）若点（a ，b )在第一象限，则必须满足0,
0.a b ⎧⎨
⎩>　>　
即满足条件的实数对()a b ，有()1 1，，()1 2，，()2 1，，()2 2，，共4种．
∴()41164
P A ==，故直线 y a x b =+不经过第四象限的概率为1
4． (2）若直线y ax b =+与圆2
21x
y +=
有公共点，则必须满足
≤1，即
2b ≤21a +．
若2a =-,则21 1 2b =--，，，符合要求,此时实数对(a b ，）有4种不同取值；
若1a =-，则1 1b =-，
符合要求，此时实数对(a b ，)有2种不同取值； 若1a =,则1 1b =-，
符合要求，此时实数对(a b ，）有2种不同取值；
若2a =，则21 1 2b =--，
，，符合要求，此时实数对（a b ，）有4种不同取值．∴满足条件的实数对()a b ，共有12种不同取值．∴()12316
4
P B ==． 故
直线y ax b =+与圆2
21x
y +=有公共点的概率为
3
4
．
22．（本小题满分14分)已知：以点C (t , 错误!)（t ∈R , t ≠ 0）为圆心的圆与x 轴交于点O ， A ，与y 轴交于点O , B ，其中O 为原点． （Ⅰ）当t=2时，求圆C 的方程； （Ⅱ)求证：△OAB 的面积为定值；
(Ⅲ)设直线y = –2x +4与圆C 交于点M ， N ，若ON OM =，求圆C 的方程．
解 ：（Ⅰ)圆C 的方程是 22(2)(1)5x y -+-=
（Ⅱ）O C 过原点圆 ，2
22
4
t t OC +
=∴．设圆C 的方程是
22224
)2()(t
t t y t x +=-+-
令0=x ，得t
y y 4
,021
=
=；令0=y ，得t x x 2,021== 4|2||4
|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t t
OB OA S OAB
，即：OAB ∆的面积为定值． （Ⅲ),,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ．
21
,2=
∴-=oc MN
k k
，∴直线OC 的方程是x y 2
1
=．t t 21
2=∴，解得:22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(,5=OC , 此时C 到直线42+-=x y 的
距离55
1
<=
d ，。