(北师大版)数学必修四：2.5《从力做的功到向量的数量积》ppt课件(1)
北师大版数学必修四课件：2.5从力做的功到向量的数量积
r
r
(2)求 a 在 b 上的射影.
r r 及 【审题指导】已知向量a , b 的模及其夹角，求 a a gb
在 b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何 意义求解便可.
【规范解答】(1) Q a 5, b 4, a 与 b 的夹角θ=120°，
r r r r a gb a b cos 5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10. 2
求:
u r r (1) 2 的值； u r r (2) 2 的值.
u r r 【审题指导】利用 2
u r r 2 u r r 2 ， 2
u r r 2
2
分别求解.
【规范解答】由题意可知 g 2 0， 结合 1, 4,
思想计算cosθ 的值.
向量的夹角与向量所在直线所成的角不同，前
者的范围是［0,π］，而后者的范围是 ［0, ］ . 2
r ur 【例3】设 n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向
量 a 2m n 与 b 2n 3m 的夹角.
r ur 【审题指导】 n 和m 是两个单位向量且夹角已知，可求其 r 数量积，又向量 a,b 均由向量 n 和 m 线性表示，待求向量
求向量的模 求向量的模的常见思路及方法： 1.求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵 活应用 a a , 勿忘记开方.
r2 r r2 r
2. a ga a 2 a 或 a a 2 ， 此性质可用来求向量的模，可以
实现实数运算与向量运算的相互转化.
r r
高中数学北师大版必修4《从力做功到向量的数量积》ppt导学课件
1 已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 90°,且 c=2a+3b,d=ka-4b,若 c⊥d,则实数 k 的值为( A ).
A.6
B.-6
C.3
D.-3
【解析】∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即 2k-12=0,解得 k=6.
2 已知点 A(-1,0),B(1,3),向量 a=(2k-1,2),若 ������������⊥a,则实数 k 的值为( B ). A.-2 B.-1 C.1 D.2
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
4.一个物体在力 F 的作用下产生的位移是 s,F 与 s 的夹 角是 α. (1)用 ������ 、 ������ 、α 表示力 F 所做的功 W; (2)用 F、s 表示 W; (3)当 α 逐渐增大时,F·s 的大小怎样变化,为什么?
【解析】(1)W= ������ ������ cos α ;
风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速 度,即 v 风地=v 风车+v 车地.
如图,根据向量加法的平行四边形法则可知,表示向量 v 风地的有向线段������������是▱ACDB 的对角线.∵ ������������ =4 m/s,∠ACD=30°, ������������ =2 m/s,∴∠ADC=90°.
北师大版数学必修四课件：第2章§5 从力做的功到向量的数量积
a·b =| a|| b |cosθ=
2 ×2×cos45°= 2.
思考4
数量积的几何意义是什么？
B
b
O
| b | cos
a b a b cos
a
A
a b b a cos
a b b a
a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上投影 b cos 的乘积， 或b的长度 b 与a在b方向上投影 a cos 的乘积.
【特别提醒】
1. a a a
2
ur uu r 2.若 e , e 是单位向量,则 1 2
e1 e2 e1 e2 cos cos
单位向量 是一种特 殊的向量 哟！
【重要性质】
r 1.若 e 是单位向量，则 r r r r r e a a e a cos . r r r r 2. a b a b 0.
（1）任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向 量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换 律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们 自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？ 如果可以,结果又如何呢？
（2）我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产 生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算: W=|F||S|cosθ ,其中θ 是F与S的夹角.
当0°≤θ ＜90°时，W＞0, 即力F做正功； 当θ ＝90°时，W＝0，即力F不做功； 当90°＜θ ≤180°时，W＜0，即力F做负功. 从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.
b
思考1 如何定义向量的夹角？
W = F S =| F || S| cosθ
北师大版数学高一必修4知识必备 2.5从力做的功到向量的数量积
§5 从力做的功到向量的数量积知识梳理1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，如图2-5-1所示，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB 称为a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉.图2-5-1(2)范围：［0,π］，〈a ，b 〉=〈b ，a 〉.(3)当〈a ，b 〉=2π时，称向量a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .规定零向量与任一向量垂直. (4)当〈a ，b 〉=0时，a 与b 同向；当〈a ，b 〉=π时，a 与b 反向.2.向量的射影图2-5-2已知向量a 和b ，如图2-5-2所示，作=a ，=b ,过点B 作的垂线，垂足为B 1，则OB 1的数量|b |cosθ 叫做向量b 在向量a 方向上的正射影（简称射影）.3.向量的数量积（内积）（1）定义：|a ||b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ.（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、为零、为负数.（3）几何意义：向量a 与向量b 的数量积等于a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cosθ的乘积，或看作是b 的长度｜b ｜与a 在b 方向上的射影|a |cosθ的乘积.4.向量数量积的性质设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.（1）e ·a =a ·e =|a |cos 〈a ，e 〉.（2）a ·b ⇔a ·b =0.（3）当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |；特别地：a ·a =|a |2或|a |=a a •.（4）cos 〈a ，b 〉=||||b a b a •. （5）|a ·b |≤|a ||b |.5.向量数量积的运算律交换律：a ·b =b ·a ；结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）(λ∈R )；分配律：（a ＋b ）·c =a ·c ＋b ·c .知识导学1.学好本节，需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题. 疑难突破1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？ 剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比.①从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.②从运算的表示方法上看：两个向量a 、b 的数量积称为内积，写成a ·b ；大学里还要学到两个向量的外积a ×b ，而a ·b 是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.③从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a ·b =0，则a =0或b =0或〈a ,b 〉=2π；在向量的数乘中，若λa =0，则λ=0或a =0；在实数的乘法中，若a ·b =0，则a =0或b =0.在向量的数量积中：a ·b =b ·c ⇒b =0或a =c 或〈b ，(a －c )〉=2π；在向量的数乘中，λa =λb （λ∈R ）⇒a =b 或a ≠b ；在实数的乘法中，ab =bc ⇒a =c 或b =0.在向量的数量积中：(a ·b )c ≠a ·（b ·c )；在向量的数乘中，（λｍ）a =λ(ｍa )（λ∈R ,m ∈R ）；在实数的乘法中，有(a ·b ）c =a ·（b ·c ).④从几何意义上来看：在向量的数量积中，a ·b 的几何意义是a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa 的几何意义就是把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小|λ|倍.2.如何应用|a |=a a •来求平面内两点间的距离？剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底，再代入等式即可.例如：如图2-5-3所示，已知平行四边形ABCD 中，AB=3，AD=1，∠DAB=3π，求对角线AC 和BD 的长.图2-5-3解：设=a ，=b .则|a |=3，|b |=1，〈a ,b 〉=3π. ∴a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=23. 又∵AC =a +b ,=a -b ，∴|AC |=132)(222=+•+=+=b b a a b a ，|DB 72)(222=+•-=-=b b a a b a ，∴AC=13,DB=7.由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是：①建立平面向量基底或建立平面直角坐标系，将平面内两点间距离转化为向量的长度； ②应用公式|a |=a a •，通过向量运算求出向量的长度；③把向量的长度还原成平面内两点间的距离.。
高中数学-第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4
π
b=|a||b|cos θ=5×5×cos = ,
a·
3
2
=
所以|a+b|= ( + )2 = 2 + 2 + 2·
25 + 25 + 25=5 3.
|a-b|= (-)2 =
=
2 + 2 -2·
25 + 25-25=5.
(2)由2 =16,得| |=4,又| + |=| −
1
因此 cos θ=- ,从而 θ=120°.选 C.
2
答案:C
(2)解:如图所示,在平面内取一点 O,作=a, =b,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,使||=| |,
∴四边形 OACB 为菱形,OC 平分∠AOB,这时=a+b,=a-b.
)
(2)向量的数量积运算满足(a·
b)·
c=a·
(b·
c). (
)
(3)已知 a≠0,且 a·
c=a·
b,则 b=c. (
)
(4)在△ABC 中,| |=5,| |=6,∠ABC=60°,则 · =15.
(
)
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解析:设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,
∵a·c=b·c,
∴|a|·|c|cos θ1=|b|·|c|cos θ2.
∵c≠0,∴|a|cos θ1=|b|cos θ2.
答案:D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件1北师大版必修4
| b |cosθ =__|b__| _
a
B
A
当θ =180°时，
B1
b
O
| b | cosθ =_-_|_b_|_ B
a
A
物理实例中，与位移 ︱Fr ︱cosθ ，即是力
r s
r F
方在向sr 一方致向的上分的力射影Fur1 的 . 长度为
ur
r
F2
F
r
θ
ur
s F1
问题3 平面向量的数量积的定义如何？
2.5 从力做的功到向量的数 量积
物理中我们学过功的概念，一个物体在力
r
r F
的作用
下产生位移 s（如图）
r
F
r
θ
s
力
r F
所做的功W可用下式计算:
rr W F s cos,
其中θ
r
是F
r 与s
的夹角.
当0°≤θ ＜90°时，W＞0, 即力F做正功； 当θ ＝90°时，W＝0，即力F不做功； 当90°＜θ ≤180°时，W＜0，即力F做负功.
| b | cosθ叫作向量 b在 a方向
上的射影(也叫投影)．
B
当θ为锐角时，
b
|b | cosθ__＞___0
O
a B1 A
B
当θ 为钝角时，
b
| b | cosθ _＜__0.
θ
B1 O a A
当θ 为直角时，
| b |cosθ __=__0
B
b
θ
O((BB1) a A
当θ =0°时，
b
O
从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量 积的含义及其物理意义、几何意义.（重点） 2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系. 3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的 一些简单应用.（重点） 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积 判断两个平面向量的垂直关系.（难点）
§2.5从力做的功到向量的数量积 课件高中数学必修4(北师大版)
∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角； 则__________ 0°≤θ ≤180° （2）范围：________________.
2.向量的数量积
已知两个向量a与b，它 们的夹角为θ ，我们把 |a||b|cosθ 叫做a与b 的数量积（或内积）.记 作a·b.即a·b= |a||b|cosθ 数量积a·b等于a的长度|a|与 b在a方向上的射影|b|cosθ 的 乘积或b的长度|b|与a在b方向 上射影|a|cosθ 的乘积 力对物体做功， 就是力F与其 作用下物体的 位移s的数量 积F·s
1.两个向量的数量积什么时候为正数，什么时候为零，什么时
候为负数？
提示：设向量a，b的夹角为θ，当0°≤θ<90°时，a· b>0，
即数量积为正数，当θ=90°,a· b=0，即数量积为0；当 90°<θ≤180°时，a· b<0，即数量积为负数.
2.对于向量a,b,c,等式(a· b)· c=a· (b· c)一定成立吗? 提示：不一定成立,∵若(a· b)· c≠0,其方向与c相同或相反,而 a· (b· c)≠0时其方向与a相同或相反,而a与c方向不一定相同,故
｜a·b|=|a||b||cos θ|；⑤错误，(a·b)2= (|a||b|cos θ)2=|a|2|b|2|cos θ|2；⑥正确，a与b是两个单位 向量，则a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2＝b２；⑦正确，若a⊥(b-
c),则a· (b-c)=a· b-a· c=0，所以a· b=a· c.综上知，③,⑥,⑦正确.
(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实 数,实数乘向量的乘法运算是有区别的,在书写时一定要把它们
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积
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【做一做
4-2】
若
e
1,e2
是夹角为
π 3
的单位向量,
且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则 a·b=( )
A.1
B.-4
C.−
7 2
D.
7 2
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 平面向量数量积的运算
【例 1】
如图,在▱ABCD 中,|������������| = 4, |������������| = 3,∠DAB=60°,求: (1)������������ ·������������; (2)������������ ·������������; (3)������������ ·������������; (4)������������ 在������������ 方向上的射影.
夹角为( )
A. π
B. π
C. π
D. π
6
4
3
2
答案:C
【做一做3-2】 已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,则|a-
b|=
.
解析:|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos 60°+|b|2=7,则
|a-b|= 7.
答案: 7
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4.运算律 (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)a·(b+c)=a·b+a·c. 【做一做4-1】 下列运算中不正确的是( ) A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c C.m(a+b)=ma+mb D.(a·b)c=a(b·c) 答案:D
高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积课件 北师大版
问题 引航
1.向量的夹角、投影与数量积的定义是什么？ 夹角的大小与向量的同向、反向及垂直关系 如何？数量积有什么重要性质及应遵循什么 运算律？ 2.三角形的内角一定是其两边所在向量的夹 角吗？向量的数量积与实数乘积有什么差异？
1.向量的夹角与投影 (1)夹角 ①定义：已知两个非零向量a和b，作 =a, =b,则
6
【要点探究】 知识点1 向量的数量积 1.写法及与实数乘积的区别 两向量a，b的数量积也称作内积，写成a·b，其应与代数中的 a，b的乘积ab区分开来，其中“·”是一种运算符号，不同于 实数的乘法符号.在向量运算中既不能省略，也不能用“×” 代替.
2.运算的结果 (1)向量线性运算的结果是一个向量，但两个向量的数量积是 一个数量. (2)由于0°≤θ ≤180°，所以a·b可以为正数、负数和零， 且当0°≤θ ＜90°时，a·b＞0；当θ =90°时，a·b=0；当 90°＜θ ≤180°时，a·b＜0.
_∠__A_O_B_=_θ__叫作向量a与b的夹角； OA OB
②范围：__0_°__≤__θ__≤__1_8_0_°_；
③大小与向量共线、垂直的关系：θ = 0°⇔a与b_同__向__， 180°⇔⊥a与b_反__向__， 90°⇔a___b.
(2)投影
①定义：如图所示： =a， =b，过点B作BB1垂直于直线
(3)若a为零向量，则|a|=0，从而a·b=0，故零向量与任一向 量的数量积为0. (4)a·a=a2=|a|2. (5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值.
【微思考】 (1)影响数量积大小的因素有哪些？ 提示：影响数量积大小的因素有两个，向量的模及其夹角大小. (2)若a·b=0，是否一定有a⊥b?请说明理由. 提示：一定,因a,b中至少有一个为零向量时，我们规定了零向 量与任一向量垂直，因此一定正确.
(教师用书)高中数学 2.5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4
●教学建议 关于向量数量积的定义．两向量的数量积是两个向量之 间的一种乘法，与数的乘法是有区别的．教学时，要注意： (1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两 向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定； (2)当 a≠0 时，由 a· b＝0 不能推出 b 一定是零向量，这 是因为任一与 a 垂直的非零向量 b，都有 a· b＝0；
(3)|a|＝ a· a＝ a2. a· b (4)cos θ＝ (|a||b|≠0)． |a||b| (5)对任意两个向量 a，b，有|a· b|≤|a||b|，当且仅当 a∥ b 时等号成立．
向量数量积的运算律
已知向量 a，b，c 与实数 λ，则
a . (1)交换律：a· b＝ b·
b) ＝ a(λb) ． (2)结合律：(λa)· b＝ λ(a·
已知|a|＝5，|b|＝3，若(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a 与 b 的夹 角为 45° .分别求出 a· b.
【解】 (1)当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角为 0° ， ∴a· b＝|a ||b |cos 0° ＝5×3×1＝15. 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180° ， ∴a· b＝|a ||b |cos 180° ＝5×3×(－1)＝－15.
合数量积的运算律求解．
1 【自主解答】 (1)a· b＝|a||b|cos 120° ＝10×4×( － )＝－ 2 20. 1 (2)a 在 b 方向上的射影为|a |cos 120° ＝10×(－2)＝－5. (3)(a－2b)· (a＋b)＝a2＋a· b－2a· b－2b2 ＝a2－a· b－2b2＝|a|2－|a ||b|cos 120° －2|b |2 1 ＝100－10×4×(－2)－2×42＝88.
2.5从力做的功到向量的数量积(一)课件(北师大版必修4)
第11页，共25页。
研一研·问题探究、课堂更高效
证明 |a·b|≤|a||b|.
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ.
本 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
课
时 当且仅当|cos θ|＝1，
栏
目 开
即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”.
第15页，共25页。
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角为π3，求|a＋b|，
|a－b|.
解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝225.
本
|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2
课
时 栏 目
＝ 25＋2×225＋25＝5 3.
1.向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著
的区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量.
学习时必须透彻理解数量积概念的内涵.
第2页，共25页。
2.向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更
本 丰富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量
课 时
积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄.书写格式
栏
目 即 a·b＝ |a||b|cos θ .
开
关 (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
(3)射影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b
方向的射影(也叫投影)是|a|cos θ ，向量 b 在 a 方向上的射
影是 |b|cos θ .
第4页，共25页。
填一填·知识要点、记下疑难点
关 例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
高中数学第2章平面向量5从力做的功到向量的数量积课件北师大版必修4
第十九页，共36页。
【解】 因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4a2＋2a·b－6a·b－3b2＝61， 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又因为|a|＝4，|b|＝3，所以4×42－4a·b－3×32＝61， 所以a·b＝－6. |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a＋b|＝ 13.
第十一页，共36页。
【自主解答】 由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5. (1)a·b＝|a||b|cos θ＝4×5×cos 60°＝10. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21. (4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.
θ＝ 180°
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，记作 a⊥b θ＝90°
任一向量垂直
，规定 0 可与
第四页，共36页。
2.向量的数量积 (1)射影 |b|cos θ 叫作向量b在a方向上的投影数量(也叫投影)． (2)数量积 已知两个非零向量a与b，我们把 |a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记 作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ ，其中θ是a与b的夹角． (3)规定 零向量与任一向量的数量积为 0 .
【解析】 (1)×.两向量的数量积是一个数量．
(2)×.∵a·b＝|a||b|cos θ＝0，∴a＝0或b＝0或cos θ＝0.
(3)√.
(4)×.由数量积定义知，错；
(5)×.aa·2b＝|a||b|a|c2o| s
θ＝|b|c|ao|s
θ .