22-3垂直的判定及其性质专题训练
2024学年初中数学几何(三角形全等-三垂直模型)模型专项练习(附答案)
2024学年初中数学几何（三角形全等-三垂直模型）模型专项练习 1．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G为AB的中点，过点G作DG⊥AB交AC于点D．（1）如图1，连接CG，若CG＝，BC＝3，求DG的长；（2）如图2，过点D作DE⊥BD，连接AE，以点E为直角顶点，AE为直角边向外作等腰直角三角形AEF，使得点F刚好落在BD的延长线上，求证：BC＝DE+DF．2．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，若AB＝8，点D是AC边上的中点，求S△BCD；（2）如图2，若BD是△ABC的角平分线，请写出线段AB、AD、BC三者之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若D、E是AC边上两点，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB＝∠CEG．3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD．过点C作CE⊥AB于点E．（1）若AB＝10，BD＝2，求CE的长；（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝30°，求证：CF＝AE+DF； （3）如图3，设D为BC延长线上一点，其它条件不变，直线CE与直线AD交于点F，若∠F＝30°，请直接写出线段CF，AE，DF之间的关系，不需要说明理由．参考答案1.在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G为AB的中点，过点G作DG⊥AB交AC于点D．（1）如图1，连接CG，若CG ＝，BC＝3，求DG的长；（2）如图2，过点D作DE⊥BD，连接AE，以点E为直角顶点，AE为直角边向外作等腰直角三角形AEF，使得点F刚好落在BD的延长线上，求证：BC＝DE+DF．【详细解答】（1）解：∵∠BCA＝90°，G是AB的中点，∴CG＝BG＝AG ＝，∴AB＝5，∵BC＝3，由勾股定理得：AC＝4，∵DG⊥AB，∴tan A ＝，∴，∴DG ＝；（2）证明：过点A作DE的延长线的垂线相交于K，易证△FDE≌△EKA（AAS），∴EF＝EK，BD//AK∴∠BDA＝∠KAB，∵G为AB的中点，过点G作DG⊥AB∴BD=DA，∠DBA=∠DAB∴∠CDB＝2∠DAB＝∠DAK，∴△BCD≌△DKA（AAS），∴BC＝DK，12∴BC ＝DE +DF ．2．已知，△ABC 中，∠BAC ＝．（1）如图1，若AB ＝8，点D 是AC 边上的中点，求S △BCD ；（2）如图2，若BD 是△ABC 的角平分线，请写出线段AB 、AD 、BC 三者之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若D 、E 是AC 边上两点，且AD ＝CE ，AF ⊥BD 交BD 、BC 于F 、G ，连接BE 、GE ，求证：∠ADB ＝∠CEG ．【详细解答】解：（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝8，∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD ＝AC ＝4，∴S △BCD ＝S △ABD ＝AD •AB ＝×8×4＝16；（2）数量关系为：BC ＝AB +AD ．理由如下：如图2，过D 作DE ⊥BC 于E ，又∵∠BAC ＝90°，∴∠BED ＝∠BAC ＝90°，∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠EBD ，又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD ，∴AB ＝EB ，AD ＝DE ，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，又∵∠CED＝90°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝45°＝∠C，∴CE＝DE，又∵AB＝EB，AD＝DE，∴BC＝BE+CE＝AB+DE＝AB+AD；（3）如图3，过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H， 又∵∠BAC＝90°，∴∠HCA＝∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠ABD+∠ADF＝90°，∴∠ABD＝∠DAF，又∵AB＝AC，∠HCA＝∠DAB，∴△ABD≌△CAH，∴AD＝CH，∠ADB＝∠H．又∵AD＝CE，∴CH＝CE．∵∠ACB＝45°，∠ACH＝90°，∴∠BCH＝∠ACB＝45°，又∵GC＝GC，CH＝CE，∴△ECG≌△HCG，∴∠CEG＝∠H，又∵∠ADB＝∠H，∴∠ADB＝∠CEG．33．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD．过点C作CE⊥AB于点E．（1）若AB＝10，BD＝2，求CE的长；（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝30°，求证：CF＝AE +DF；（3）如图3，设D为BC延长线上一点，其它条件不变，直线CE与直线AD交于点F，若∠F＝30°，请直接写出线段CF，AE，DF之间的关系，不需要说明理由．【详细解答】（1）解：如图1中，设AC＝CD＝x．在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝x，BC＝CD+BD＝x+2，∵AB2＝AC2+BC2，∴102＝x2+（x+2）2，解得x＝6或﹣8（舍弃），∴AC＝6．∵•AC•BC ＝•AB•CE，∴CE ＝＝．4（2）证明：如图2中，作DH⊥CF于H．∵∠ACD＝∠AEC＝∠DHC＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∵∠ACE+∠BCE＝90°， ∴∠CAE＝∠DCH，在△ACE和∠CDH中，，∴△ACE≌△CDH，∴AE＝CH，在Rt△DHF中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°，∴HF＝DF•cos30°＝DF，∴CF＝CH+FH＝AE +DF．（3）解：结论：CF ＝DF﹣AE．理由：如图3中，作DH⊥FC于H．同法可证△DCH≌△CAE，∴AE＝CH，在Rt△DHF中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°，5∴HF＝DF•cos30°＝DF，∴CF＝FH﹣CH＝DF﹣AE．6。
平行垂直练习题及答案
平行垂直练习题及答案在数学学科中，平行和垂直是基本的几何概念。
理解和掌握平行和垂直的性质对于解决几何问题至关重要，因此平行和垂直的练习题是学习过程中必不可少的。
本文将提供一些平行和垂直的练习题，并附上详细的解答。
练习题一：判断平行关系1. 已知线段AB和线段CD的中点分别为E和F，若AE=CF且BE=DF，试判断AB和CD的关系。
2. ∠ABC = ∠PQR，∠BCD = ∠QRS，若线段AB和线段PQ平行，试判断线段CD和线段RS的关系。
3. 已知线段AB平行于线段CD，∠EAC = 70°，若∠ACD = x°，试判断∠ECA和∠ADC的大小关系。
答案一：1. 根据条件可知AE=CF，BE=DF，又根据中点划分线段的性质，且E和F分别是线段AB和线段CD的中点，所以EF=EF。
根据SAS准则可得△AEB≌△CFD，根据三角形的等边性质可知线段AB和线段CD平行。
2. 根据条件可知∠ABC = ∠PQR，∠BCD = ∠QRS，又根据等角定理可得△ABC ≌△PQR。
根据三角形的等边性质可知线段AB和线段PQ平行，所以线段CD和线段RS平行。
3. 已知线段AB平行于线段CD，所以利用平行线性质可得∠ECA = ∠ACD。
又根据答案一的证明可知线段AB和线段CD平行，所以△EAC ≌△ACD。
根据三角形的等边性质可知∠ECA = ∠ADC。
练习题二：判断垂直关系1. 线段AB与线段CD相交于点O，若∠AOB = 70°，∠COB = 110°，试判断线段AB和线段CD的关系。
2. 直线l与平面P相交于点A，若直线l垂直于线段AB，试判断直线l与平面P的关系。
3. 已知直线l垂直于平面P，线段AB在平面P内且与直线l相交于点C，试判断线段AB与平面P的关系。
答案二：1. ∠AOB = 70°，∠COB = 110°，根据角和定理可知∠AOB +∠COB = 180°。
判断垂直线练习题
判断垂直线练习题垂直线是几何学中的一个重要概念，它在我们的日常生活和各个领域中都起着重要的作用。
判断垂直线的能力是我们几何学基础中的一个关键技能。
下面，我们将介绍几道判断垂直线的练习题，帮助您加深对垂直线的理解。
练习题一：已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,1)，点B的坐标为(3,5)，点C的坐标为(7,5)。
判断线段AB和线段BC是否垂直，并给出理由。
解析：通过观察可以发现，线段AB与线段BC的斜率分别为：斜率AB = (5-1)/(3-3) = (4/0)斜率BC = (5-5)/(7-3) = (0/4)可以看出，斜率AB不存在，而斜率BC为0。
由于两条直线的斜率乘积为0时，两条直线垂直。
所以，线段AB和线段BC是垂直的。
练习题二：已知在平面直角坐标系中，点D的坐标为(2,3)，点E的坐标为(5,7)，以及点F的坐标为(-1,1)。
判断线段DE和线段EF是否垂直，并给出理由。
解析：同样地，我们可以求出线段DE和线段EF的斜率：斜率DE = (7-3)/(5-2) = 4/3斜率EF = (1-7)/(-1-5) = -6由于斜率DE和斜率EF不相等，所以线段DE和线段EF不垂直。
练习题三：已知在平面直角坐标系中，点G的坐标为(-2,4)，点H的坐标为(4,-2)。
判断线段GH和x轴是否垂直，并给出理由。
解析：线段GH与x轴垂直意味着线段GH的斜率为0。
我们可以计算出斜率GH：斜率GH = (-2-4)/(4-(-2)) = -6/6 = -1由于斜率GH不为0，所以线段GH与x轴不垂直。
通过以上几道练习题，我们可以看出判断垂直线的关键就是计算直线的斜率。
若两条线段的斜率为互为倒数或其中一条直线的斜率为0时，则它们是垂直的。
掌握这一方法，我们可以准确地判断直线之间的垂直关系。
总结起来，判断垂直线的练习题要点是计算两条直线的斜率，若斜率满足互为倒数或其中一条直线的斜率为0的条件，则它们是垂直关系。
直线、平面垂直的判定及其性质经典例题
直线、平面垂直的判定及其性质经典例题经典例题透析类型一、直线和平面垂直的定义1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．A．0B．1 C．2 D．3答案：B解析：当内的无数条直线平行时，与不一定垂直，故①不对；当与内的一条直线垂直时，不能保证与垂直，故②不对；当与不垂直时，可能与内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．故选B．总结升华：注意直线和平面垂直定义中的关键词语．举一反三：【变式1】（2010 山东）在空间，下列命题正确的是A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D解析：A项，平行直线的平行投影也可以是两条平行线；B项，平行于同一直线的两个平面可平行、可相交；C项，垂直于同一平面的两个平面可平行、可相交；D项，正确．总结升华：本题主要考察对基础知识的掌握．类型二、直线和直线、平面垂直的判定2．（2011 广东理18）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD 平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．解析：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD．∵PA=PD，∴，在中，，∴为等边三角形，∴，∴AD⊥平面PBG，∴又PB//EF，得，又∵DE//GB，得AD⊥DE，又，∴AD⊥平面DEF．（2）为二面角P—AD—B的平面角，在，在中，总结升华：要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和这条直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.举一反三：【变式1】如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．求证：平面CBD ⊥平面BDM．证明：如下图，连接、、，则．∵，∴为等腰三角形．又知D为其底边的中点，∴．∵，，∴．又，∴．∵为直角三角形，D为的中点，∴，．又，，∴．．即CD⊥DM．∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM．又∵，∴平面CBD⊥平面BDM．总结升华：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.所以证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.类型三、直线和平面所成的角3．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角．解析：∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴△AOB、△AOC为正三角形，∴．∵，∴，∴△ABC为直角三角形．同理△BOC也为直角三角形．过A作AH垂直平面于H，连接OH，∵AO=AB=AC，∴OH=BH=CH，H为△BOC的外心．∴H在BC上，且H为BC的中点．∵Rt△AOH中，，∴，∴∠AOH=45°．即AO和平面所成角为45°．总结升华：(1)确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．(2)求斜线与平面所成的角的程序：①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求解；③把该角放入三角形计算．(3)直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种情况．举一反三：【变式1】（2011 全国大纲19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求与平面所成角的大小．解析：（I）取AB中点E，连结DE、SE，∴四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，∵侧面为等边三角形∴又∵SD=1，，∴为直角．又∵，∴AB⊥平面SDE，∴．又SD与两条相交直线AB、SE都垂直．∴SD⊥平面SAB．（II）作垂足为F，FG⊥BC，垂足为G，连结SG∵AB⊥平面SDE，∴平面ABCD⊥平面SED．∴SF⊥平面ABCD，∵∴，又∵FG⊥BC，∴BC⊥平面SFG，∵∴平面SBC⊥平面SFG．作，H为垂足，则FH⊥平面SBC．又∵在中，，在中，∴，即F到平面SBC的距离为．∵ED//BC，∴ED//平面SBC，∴E到平面SBC的距离d也是．设AB与平面SBC所成的角为α，则．∴与平面所成的角为．【变式2】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是________．答案：解析：如下图．由题取AC中点O，连接BO．则BO⊥平面．故为与平面所成角．又在中，，．∴，∴．类型四、二面角4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小．解析：取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC．又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC，∴DE⊥BC．∴∠AED为二面角的平面角．又∵△ABC≌△BDC，∴AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=，BE=1，∴，同理．在△AED中，∵，，∴，∴∠AED=90°．∴以面BCD和面ABC为面的二面角大小为90°．总结升华：确定二面角的平面角，常常用定义来确定．举一反三：【变式1】已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且．求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小．解析：如图，在平面内延长DE和交于点F，则F是面与面的公共点，为这两个平面的交线，∴所求二面角就是的平面角．∵，且，∴E、分别DF和A1F的中点．∵，∴．又面，面，∴面，而面．∴．∴是二面角的平面角，由已知，∴．总结升华：当所求的二面角没有给出它的棱时，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小即可．类型五、平面与平面垂直的判定5．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示．求证：平面ABD⊥平面BCD．证明：∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．在△ABD中，，，∴．同理．在△AEC中，，，由于，∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°．∴平面ABD⊥平面BCD．总结升华：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直．举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．证明：∵AB=BC，CD=AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF．总结升华：证面面垂直的方法：(1)证明两平面构成的二面角的平面角为90°；(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题.【变式2】如图所示，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB；证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角．又∵二面角B-AO-C是直二面角．∴CO⊥BO．又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB．又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．【变式3】过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面BPC．证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，，，，在△PEA中，，，∴，平面ABC⊥平面BPC．类型六、综合应用6．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．证明：(1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．总结升华：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN⊥平面ECA，应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．思路点拨：要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E为PD的中点．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．总结升华：本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直是转化规律．。
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
八年级上册——《垂直线段》证明题题型归类训练
八年级上册——《垂直线段》证明题题型归类训练本文档旨在提供八年级上册《垂直线段》证明题题型的归类训练，以帮助学生巩固知识点并提高解题能力。
1. 直角三角形证明题型1.1 两直线段垂直的证明问题描述：已知直角三角形的两条边AB和BC，如何证明线段AB和BC垂直？解决方法：根据直角三角形的性质，我们可以证明线段AB和BC是垂直的。
具体证明步骤如下：1. 证明∠ABC=90度：通过角的定义，可以证明∠ABC是直角，即∠ABC=90度。
2. 证明∠ABC和∠CBA为直角：根据直角三角形的性质，直角的两个角均为直角，所以∠ABC和∠CBA也都是直角。
3. 结论：根据垂直线段的定义，线段AB和BC是垂直的。
1.2 判断垂直线段的证明问题描述：已知三条线段AB、BC和CD，如何证明线段AB 和CD垂直？解决方法：根据线段的垂直性质，我们可以证明线段AB和CD是垂直的。
具体证明步骤如下：1. 证明∠ABC和∠BCD为直角：通过直角的定义，可以证明∠ABC和∠BCD是直角，即∠ABC=90度，∠BCD=90度。
2. 结论：根据垂直线段的定义，线段AB和CD是垂直的。
2. 垂直平分线证明题型2.1 垂直平分线的性质证明问题描述：已知线段AB和CD的中点为O，如何证明线段AB和CD由O垂直平分？解决方法：根据垂直平分线的性质，我们可以证明线段AB和CD由O垂直平分。
具体证明步骤如下：1. 证明OA=OB和OC=OD：通过线段的中点性质，可以证明OA=OB和OC=OD。
2. 证明∠AOB=∠COD：通过角的定义，可以证明∠AOB=∠COD。
3. 结论：根据垂直平分线的定义，线段AB和CD由O垂直平分。
总结本文档对八年级上册《垂直线段》证明题题型进行了归类训练，包括直角三角形的证明题型和垂直平分线的证明题型。
通过研究和掌握这些题型的解题方法，学生能够更好地理解垂直线段的性质，并提高解题能力。
以上为本文档的内容，希望能对学生的学习和复习有所帮助。
(完整版)立体几何证明垂直专项含练习题及答案.doc
精品字里行间精品文档立体几何证明 ------ 垂直一. 复习引入1.空间两条直线的位置关系有： _________,_________,_________三种。
2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相 _________.3.直线与平面的位置关系有 _____________,_____________,_____________三种。
4.直线与平面平行判定定理 : 如果 _________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _________________________.6.两个平面的位置关系 :_________,_________.7.判定定理 1：如果一个平面内有 _____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 .10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 _____于另一个平面 . 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ⊥α图形判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 .条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这l ⊥m， l ⊥n，m∩n＝B，m ，一直线总有 l ⊥αn结论l ⊥l ⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ .与棱垂直Ⅱ .二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直直.图形结果α∩β =lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（ 1）通过“平移”。
2022届高考一轮复习第8章立体几何第5节直线与平面垂直的判定及其性质课时跟踪检测理含解
第八章立体几何第五节直线与平面垂直的判定及其性质A级·基础过关|固根基|1.(2019届成都市二诊)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是( )A．若c⊂平面α，则a⊥αB．若c⊥平面α，则a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析：选C 对于A，直线a可以在平面α内，也可以与平面α相交；对于B，直线a可以在平面α内，或者b在平面α内；对于D，如果a⊥α，b⊥α，则有a∥b，与条件中两直线异面矛盾．2．(2019届武汉市调研测试)已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选C 构造正方体ABCD－A1B1C1D1，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故①错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，设l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C．3．(2019届合肥市一检)平面α外有两条直线a，b，它们在平面α内的投影分别是直线m，n，则下列命题正确的是( )A．若a⊥b，则m⊥nB．若m⊥n，则a⊥bC．若m∥n，则a∥bD．若m与n相交，则a与b相交或异面解析：选D 对于选项A，当直线a，b相交，且所在平面与平面α垂直时，直线m，n重合，故A 不正确；对于选项B，不妨在正方体ABCD－A1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，AD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，AD，记为m，n，此时m⊥n，但a与b不垂直，故B不正确；对于选项C，不妨在正方体ABCD－A1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，CD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，CD，记为m，n，此时m∥n，但a与b不平行，故C不正确；对于选项D，若m 与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故D正确．4．(2019届合肥市二检)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选C 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥S－ABCD，平面SCD⊥平面ABCD．因为AD⊥DC，BC⊥DC，且平面SCD∩平面ABCD＝DC，所以AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD．又由三视图知SC⊥SD，同时由AD⊥平面SCD，知AD⊥SC，又SD∩AD＝D，所以SC⊥平面SAD，所以平面SBC⊥平面SAD．综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对，故选C．5．(2019届湖北七市高三联考)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：选B 在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；只要m⊄α，过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B．6．(2019届贵阳监测)如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：选B 因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A、D正确；因为平面BPC⊥平面APC且平面BPC∩平面ACP＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC．又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；选项B中的条件不能判断出AP⊥BC，故选B．7．(2019届南昌市一模)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥BD；(2)求三棱锥B1－A1C1E的体积．解：(1)证明：因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD．如图，连接AC，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．由四棱台ABCD－A1B1C1D1知，A1，A，C，C1四点共面．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.所以BD⊥AA1.(2)连接BA1，BC1，CA1，CB1，由已知，得V三棱锥B1－A1C1E＝V三棱锥E－A1B1C1＝12V三棱锥B－A1B1C1＝12V三棱锥C－A1B1C1，又V三棱锥C－A1B1C1＝13S△A1B1C1·CC1＝13×12×22×sin 120°×4＝433，所以三棱锥B1－A1C1E的体积V三棱锥B1－A1C1E＝233.8．(2019届广州市调研测试)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB ＝2，BC＝EF＝1，AE＝6，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．(1)求证：FG∥平面BED；(2)求证：BD⊥平面AED ．证明：(1)如图，取BD 的中点O ，连接OE ，OG ，在△BCD 中，因为G 是BC 的中点， 所以OG∥DC 且OG ＝12DC ＝1.因为EF∥AB，AB∥DC，EF ＝1， 所以EF∥OG 且EF ＝OG ， 所以四边形OGFE 是平行四边形， 所以FG∥OE.又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG∥平面BED ．(2)在△ABD 中，AD ＝1，AB ＝2，∠BAD＝60°， 由余弦定理得BD ＝12＋22－2×1×2×12＝ 3.因为BD 2＋AD 2＝3＋1＝4＝AB 2， 所以BD⊥AD．因为平面AED⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED∩平面ABCD ＝AD ， 所以BD⊥平面AED ．9．(2019届贵阳市高三第一次适应性考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD ，Q ，M 分别为AD ，PC 的中点，PA ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PBC⊥平面PQB ； (2)求三棱锥P －QMB 的体积．解：(1)证明：∵AD∥BC，Q 为AD 的中点，BC ＝12AD ，∴BC ═∥QD ， ∴四边形BCDQ 为平行四边形． ∵∠ADC ＝90°，∴BC⊥BQ.∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ⊥AD，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，∴PQ⊥BC．又PQ∩BQ＝Q ，∴BC⊥平面PQB ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PQB ．(2)解法一：∵在Rt △PQB 中，PQ ＝PA 2－AQ 2＝3，BQ ＝CD ＝3，∴S △PQB ＝12PQ ·QB ＝32.由(1)知BC⊥平面PQB ，连接QC ， ∴V 三棱锥C －PQB ＝13S △PQB ×BC ＝13×32×1＝12.又M 是线段PC 的中点，∴V 三棱锥P －QMB ＝V 三棱锥M －PQB ＝12V 三棱锥C －PQB ＝12×12＝14，故三棱锥P －QMB 的体积为14.解法二：如图，连接QC ，记QC 的中点为E ，连接ME.在△PQC 中，∵M 为PC 的中点，E 为QC 的中点，∴ME 为△PQC 的中位线，则ME ＝12PQ 且PQ∥ME.由(1)可知PQ⊥平面ABCD ， ∴ME ⊥平面ABCD ．在△PAD 中，∵PA＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点， ∴PQ ＝ 3.∵BC ＝12AD ＝1，AD∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形BCDQ 为长方形． 又CD ＝3，∴QB＝3， ∴S △BQC ＝12BC ·QB ＝32.∴V三棱锥P －QMB＝V三棱锥P －BQC－V三棱锥M －BQC＝13(PQ －ME)×S △BQC ＝13×12PQ ×S △BQC ＝16×3×32＝14，故三棱锥P －QMB 的体积为14.B 级·素养提升 |练能力|10.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E.要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF.由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h.又2×2＝h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.在Rt △DB 1F 中，由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，解得x＝12，即线段B 1F 的长为12. 11．(2019届武汉调研)在矩形ABCD 中，AB<BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直． 其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE⊥BD 于E ，连接CE ，则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD ，BD⊥AC，AE∩AC＝A ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，CE 与BD 不垂直，故假设不成立，①不正确；②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，CD∩AD＝D ，∴AB⊥平面ACD ，∴AB⊥AC，由AB<BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假设成立，②正确；③假设AD⊥BC，∵CD⊥BC，AD∩CD＝D ，∴BC⊥平面ACD ，∴BC⊥AC，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB<BC ，故矛盾，假设不成立，③不正确．综上，填②.答案：②12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD ．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD ，所以PA⊥BD．又PA∩AC ＝A ，所以BD⊥平面PAC ，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD ．又PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD⊥平面PCD ．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)(答案不唯一)13．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为线段EC 上(端点除外)一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD 内过点D 作DK⊥AB，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：如图①所示，过点K 作KM⊥AF 于点M ，连接DM ，易得DM⊥AF，与折前的图形对比，可知折前的图形中D ，M ，K 三点共线且DK⊥AF(如图②所示)，于是△DAK∽△FDA，所以AK AD ＝AD DF ，即t 1＝1DF ，所以t＝1DF .又DF∈(1，2)，故t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB＝60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD ； (2)求证：AD⊥PB；(3)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF⊥平面ABCD ？并证明你的结论． 解：(1)证明：在菱形ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为AD 的中点， 所以BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，BG ⊂平面ABCD ， 所以BG⊥平面PAD ．(2)证明：如图，连接PG ，因为△PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，所以PG⊥AD． 由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G ，所以AD⊥平面PGB ．因为PB ⊂平面PGB ，所以AD⊥PB． (3)当F 为PC 的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD ． 证明：如图，取PC 的中点F ，连接DE ，EF ，DF.在△PBC 中，FE∥PB，又FE ⊂平面DEF ，PB ⊄平面DEF ，所以PB∥平面DEF.在菱形ABCD 中，GB∥DE，又DE ⊂平面DEF ，GB ⊄平面DEF ，所以GB∥平面DEF.又PB ⊂平面PGB ，GB ⊂平面PGB ，PB∩GB＝B ，所以平面DEF∥平面PGB ．因为BG⊥平面PAD ，PG ⊂平面PAD ，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G ，所以PG⊥平面ABCD ． 又PG ⊂平面PGB ，所以平面PGB⊥平面ABCD ， 所以平面DEF⊥平面ABCD ．。
垂线的专项练习30题有答案ok
垂线在平面几何中的应用
第六章
垂线在三角形中的应用
定义：垂线是指与给定直线垂直的直线 性质：垂线与给定直线相交于一点，这一点称为垂足 判定：在同一平面内，过一点与给直线垂直的直线有且仅有一条 应用：在三角形中，垂线可以用于证明角平分线、高线、中线等性质
垂线在四边形中的应用
垂线在矩形中的应用：利用垂线性质证明矩形的性质和定理。 垂线在菱形中的应用：利用垂线性质证明菱形的性质和定理。 垂线在正方形中的应用：利用垂线性质证明正方形的性质和定理。 垂线在等腰梯形中的应用：利用垂线性质证明等腰梯形的性质和定理。
● 答案：$\frac{y-1}{x-1} = \frac{0-1}{2-1} \Rightarrow y = -x + 2$
● 题目：已知直线$l$经过点$A(3,0)$和点$B(4,5)$，则直线$l$的方程为多少？ 答案：$\frac{y0}{x-3} = \frac{5-0}{4-3} \Rightarrow y = 5x - 15$
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汇报人：XX
● A.$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ B.$\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ C.$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ D.$\left(-3,-4\right)$
新高考一轮复习人教版 直线、平面垂直的判定和性质 作业
8.4直线、平面垂直的判定和性质基础篇固本夯基考点一直线与平面垂直的判定和性质1.(2022届湖北部分重点中学开学联考,3)已知a,b是两条不重合的直线,α为一个平面,且a⊥α,则“b⊥α”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2021浙江,6,4分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则()A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1答案A3.(多选)(2021新高考Ⅱ,10,5分)如图,下列各正方体中,O为下底面的中心,M,N为正方体的顶点,P为所在棱的中点,则满足MN⊥OP的是()答案 BC4.(2022届辽宁六校期初联考,20)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=45°,PD ⊥平面ABCD,AP ⊥BD.(1)证明:BC ⊥平面PDB;(2)若AB=√2,PB 与平面APD 所成角为45°,求二面角B-PC-D 的大小.解析 (1)证明:因为PD ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,BC ⊂平面ABCD,所以PD ⊥BD,PD ⊥BC,因为AP ⊥BD,又PD ∩AP=P,所以DB ⊥平面APD,又AD ⊂平面APD,所以BD ⊥AD,因为底面ABCD 为平行四边形,所以AD ∥BC,所以BC ⊥BD,因为PD ⊥BC,PD ∩BD=D,所以BC ⊥平面PDB.(2)由(1)可知BD ⊥AD,因为AB=√2,∠DAB=45°,所以AD=BD=1,因为DB ⊥平面APD,PB 与平面APD 所成角为45°,所以∠BPD=45°,所以PD=BD=1.以D 为坐标原点,DA,DB,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0),D(0,0,0),所以PA ⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),PC ⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,-1),PB ⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),DC⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),设平面PCD 的法向量为m=(x,y,z), 则{m ·PC ⃗⃗⃗ =−x +y −z =0,m ·DC⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0,令y=1,则m=(1,1,0),设平面PCB 的法向量为n=(a,b,c),则{n ·PC ⃗⃗⃗ =−a +b −c =0,n ·PB⃗⃗⃗⃗ =b −c =0,令c=1,则n=(0,1,1),所以cos<m,n>=m·n |m|·|n|=√2×√2=12,因为二面角B-PC-D 为锐二面角,所以二面角B-PC-D 的大小为π3.5.(2020课标Ⅰ理,18,12分)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE=AD.△ABC 是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,PO=√66DO.(1)证明:PA ⊥平面PBC; (2)求二面角B-PC-E 的余弦值.解析 (1)证明:设DO=a,由题设可得PO=√66a,AO=√33a,AB=a,PA=PB=PC=√22a.因此PA 2+PB 2=AB 2,从而PA ⊥PB.又PA 2+PC 2=AC 2,故PA ⊥PC.又PB ∩PC=P,所以PA ⊥平面PBC.(2)以O 为坐标原点,OE⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向,|OE ⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C (−√32,12,0),P (0,0,√22).所以EC⃗⃗⃗⃗ =(−√32,−12,0),EP⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√22).设m=(x,y,z)是平面PCE 的法向量,则{m ·EP ⃗⃗⃗ =0,m ·EC ⃗⃗⃗ =0,即{−y +√22z =0,−√32x −12y =0.可取m=(−√33,1,√2).由(1)知AP⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√22)是平面PCB 的一个法向量,记n=AP ⃗⃗⃗⃗ ,则cos<n,m>=n·m|n|·|m|=2√55. 易知二面角B-PC-E 的平面角为锐角, 所以二面角B-PC-E 的余弦值为2√55. 考点二 平面与平面垂直的判定和性质1.(多选)(2022届长沙长郡中学月考一,12)如图所示,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为CD 上一动点,现将△BEC 沿BE 折起至△BEF,在平面FBA 内作FG ⊥AB,G 为垂足.设CE=s,BG=t,则下列说法正确的是( )A.若BF ⊥平面AEF,则t=12B.若AF ⊥平面BEF,则s=23C.若平面BEF ⊥平面ABED,且s=1,则t=12D.若平面AFB ⊥平面ABED,且s=32,则t=34 答案 AC2. (2019课标Ⅲ理(文),8,5分)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD,M 是线段ED 的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN 是相交直线B.BM ≠EN,且直线BM,EN 是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN 是异面直线D.BM ≠EN,且直线BM,EN 是异面直线 答案 B3.(2022届重庆八中8月入学摸底,20)如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形,平面PAD ⊥平面ABCD,△PAD 是以PA 为斜边,且PA=2√2的等腰直角三角形,E,F 分别是棱PA,PC 的中点,M 是棱BC 上一点. (1)证明:平面DEM ⊥平面PAB;(2)若直线MF 与平面ABCD 所成角的正切值为√22,求锐二面角E-DM-F 的余弦值.解析 (1)证明:∵平面PAD ⊥平面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=DA,AB ⊥DA,AB ⊂平面ABCD,∴AB ⊥平面PAD,∴AB ⊥DE.在Rt △PAD 中,DP=DA,E 是PA 的中点,∴PA ⊥DE.又PA ∩AB=A,PA,AB ⊂平面PAB,∴DE ⊥平面PAB.又DE ⊂平面DEM,∴平面DEM ⊥平面PAB.(2)由题意得PD=AD=DC=2.取CD 的中点N,连接MN,FN.则NF ∥PD,NF=12PD=1,易知PD ⊥平面ABCD,∴NF ⊥平面ABCD,∴∠FMN 是直线MF 与平面ABCD 所成角,∴tan ∠FMN=1MN =√22,∴MN=√2,∴MC=1.∴M 是BC 的中点. 以D 为坐标原点,DA,DC,DP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(1,0,1),F(0,1,1),M(1,2,0),∴DE ⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),DF ⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DM ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0).设平面EDM 的法向量为m=(a,b,c),则{DE ⃗⃗⃗⃗ ·m =0,DM⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{a +c =0,a +2b =0,令a=-2,则m=(-2,1,2). 设平面DMF 的法向量为n=(x,y,z),则{DF ⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DM⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{y +z =0,x +2y =0, 令x=-2,则n=(-2,1,-1), ∴cos<m,n>=m·n |m|·|n|=3×√6=√66,∴锐二面角E-DM-F 的余弦值为√66. 4.(2021新高考Ⅱ,19,12分)在四棱锥Q-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,若AD=2,QD=QA=√5,QC=3. (1)证明:平面QAD ⊥平面ABCD; (2)求二面角B-QD-A 的余弦值.解析 (1)证明:取AD 的中点E,连接QE,CE.由于QD=QA,故QE ⊥AD.在Rt △QAE 中,QE=√QA 2−AE 2=√√22在Rt △CDE 中,CE=√DC 2+DE 2=√22+12=√5. 在△QCE 中,QE 2+CE 2=QC 2⇒QE ⊥CE,又∵CE ∩AD=E,CE 、AD ⊂平面ABCD,∴QE ⊥平面ABCD.又QE ⊂平面QAD,∴平面QAD ⊥平面ABCD.(2)以E 为坐标原点建系,如图所示,则B(2,-1,0),Q(0,0,2),D(0,1,0),A(0,-1,0),则BQ⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,2),BD ⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0).显然,平面QAD 的一个法向量为n 1=(1,0,0),设平面BQD 的法向量为n 2=(x,y,z),则{n 2·BQ⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BD⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−2x +y +2z =0,−2x +2y =0⇒x=y=2z,取n 2=(2,2,1).设二面角B-QD-A 的大小为θ,易知θ为锐角,则cos θ=|cos<n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=21×3=23,故二面角B-QD-A 的余弦值为23.5.(2021河北邯郸检测,19)如图,在三棱锥A-BCD 中,AB=AD=CD=12BC=2,E 为BC 的中点,BD ⊥CD,且AE=√2. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABD;(2)求平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值.解析 (1)证明:取BD 的中点O,连接OA,OE,则OA ⊥BD,OE=12CD=1,OE ∥CD.因为BD ⊥CD,BC=4,CD=2,所以BD=2√3,则OB=√3.又AB=AD=2,所以AO=1.在△AOE 中,EO=1,AO=1,AE=√2,所以AO 2+OE 2=AE 2,即OE ⊥AO,从而CD ⊥AO.又CD ⊥BD,BD ∩AO=O,所以CD ⊥平面ABD. 因为CD ⊂平面ACD,所以平面ACD ⊥平面ABD.(2)由(1)知OB,OE,OA 两两垂直,如图,以O 为原点,分别以OB⃗⃗⃗⃗ ,OE ⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz,则B(√3,0,0),C(-√3,2,0),D(-√3,0,0),A(0,0,1),则AC⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,-1),BC ⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,2,0),设m=(x,y,z)是平面ABC 的法向量,可得{m ·AC⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BC⃗⃗⃗⃗ =0,即{−√3x +2y −z =0,−2√3x +2y =0,令x=1,得m=(1,√3,√3).设n=(x 1,y 1,z 1)是平面ACD 的法向量,因为DC ⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),AC ⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,-1),{n ·DC⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AC⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2y 1=0,−√3x 1+2y 1−z 1=0,令x 1=1,得n=(1,0,-√3).设平面ABC 与平面ACD 所成的锐二面角的大小为θ,则cos θ=|cos<m,n>|=|√7×2|=√77, 即平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为√77.6.(2018江苏,15,14分)在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB,AB 1⊥B 1C 1. 求证:(1)AB ∥平面A 1B 1C; (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC.证明 (1)在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C,A 1B 1⊂平面A 1B 1C, 所以AB ∥平面A 1B 1C.(2)在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,四边形ABB 1A 1为平行四边形,又因为AA 1=AB,所以四边形ABB 1A 1为菱形,所以AB 1⊥A 1B.因为AB 1⊥B 1C 1,BC ∥B 1C 1,所以AB 1⊥BC.又因为A 1B ∩BC=B,A 1B ⊂平面A 1BC,BC ⊂平面A 1BC,所以AB 1⊥平面A 1BC,又因为AB 1⊂平面ABB 1A 1,所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC.7.(2017课标Ⅰ理,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C 的余弦值.解析 (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB ⊥AP,CD ⊥PD.由于AB ∥CD,故AB ⊥PD, 又AP ∩PD=P,从而AB ⊥平面PAD.又AB ⊂平面PAB,所以平面PAB ⊥平面PAD. (2)在平面PAD 内作PF ⊥AD,垂足为F. 由(1)可知,AB ⊥平面PAD,故AB ⊥PF, 又AD ∩AB=A,所以PF ⊥平面ABCD.以 F 为坐标原点,FA ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|AB⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.由(1)及已知可得A (√22,0,0),P (0,0,√22),B (√22,1,0),C (−√22,1,0).所以PC⃗⃗⃗⃗ =(−√22,1,−√22),CB ⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,0),PA ⃗⃗⃗⃗ =(√22,0,−√22),AB⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 设n=(x 1,y 1,z 1)是平面PCB 的法向量, 则{n ·PC ⃗⃗⃗ =0,n ·CB⃗⃗⃗⃗ =0,即{−√22x 1+y 1−√22z 1=0,√2x 1=0.可取n=(0,-1,-√2).设m=(x 2,y 2,z 2)是平面PAB 的法向量, 则{m ·PA⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB⃗⃗⃗⃗ =0,即{√22x 2−√22z 2=0,y 2=0.可取m=(1,0,1).则cos<n,m>=n·m |n||m|=-√33.易知二面角A-PB-C 为钝二面角, 所以二面角A-PB-C 的余弦值为-√33.综合篇 知能转换A 组考法一 判断或证明直线与平面垂直的方法1.(2021新高考Ⅰ,20,12分)如图,在三棱锥A-BCD 中,平面ABD ⊥平面BCD,AB=AD,O 为BD 的中点. (1)证明:OA ⊥CD;(2)若△OCD 是边长为1的等边三角形,点E 在棱AD 上,DE=2EA,且二面角E-BC-D 的大小为45°,求三棱锥A-BCD 的体积.解析 (1)证明:在△ABD 中,∵AB=AD,O 为BD 的中点,∴AO ⊥BD,又∵平面ABD ⊥平面BCD,平面ABD ∩平面BCD=BD,AO ⊂平面ABD,∴AO ⊥平面BCD,又CD ⊂平面BCD,∴AO ⊥CD. (2)解法一:在△ABD 中,过E 作EN ∥AO 交BD 于N,则由AO ⊥平面BCD 得EN ⊥平面BCD,∴EN ⊥BC, ∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC ⊥BC.在△BCD 中,过N 作NM ∥CD 交BC 于M,则NM ⊥BC.连接EM,∵BC ⊥EN,BC ⊥NM,EN ∩NM=N,∴BC ⊥平面EMN,∴EM ⊥BC,∴∠EMN 为二面角E-BC-D 的平面角,又二面角E-BC-D 的大小为45°,∴∠EMN=45°,∴△EMN 为等腰直角三角形,又由DE=2EA 得DN=2NO,∴MN=23CD=23=EN=ND,∴AO=OD=1,∴V A-BCD =13S △BCD ·AO=13×12×1×√3×1=√36.故三棱锥A-BCD的体积为√36.解法二:由OC=OD=OB 得BC ⊥CD,由(1)知AO ⊥平面BCD,以C 为原点,CD ⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗ ,OA⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则C(0,0,0),B(0,√3,0),设AO=a. 则E (23,√33,23a ),∴CB ⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),CE⃗⃗⃗⃗ =(23,√33,23a ),设平面EBC 的法向量为n=(x,y,z),则{n ·CB ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CE ⃗⃗⃗ =0,即{√3y =0,23x +√33y +23az =0,令x=a,则z=-1, ∴n=(a,0,-1),易知平面BCD 的一个法向量为m=(0,0,1), 由题可知|cos<m,n>|=|m·n |m|·|n||=|√2|=√22, ∴a=1,即AO=1.∴V A-BCD =13S △BCD ·AO=13×12×1×√3×1=√36,故三棱锥A-BCD 的体积为√36.2.(2020山东菏泽期末,19)如图,点C 是以AB 为直径的圆上的动点(异于A,B),已知AB=2,AE=√7,四边形BEDC 为矩形,平面ABC ⊥平面BCDE.设平面EAD 与平面ABC 的交线为l.(1)证明:l ⊥平面ACD;(2)当三棱锥A-BCE 的体积最大时,求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.解析 (1)证明:因为四边形BEDC 为矩形,所以CD ⊥CB,因为∠ACB 是以AB 为直径的圆的圆周角,所以BC ⊥AC,因为AC ∩DC=C,AC,DC ⊂平面ACD,所以BC ⊥平面ACD.因为ED ∥BC,BC ⊄平面ADE,DE ⊂平面ADE,所以BC ∥平面ADE.由平面EAD 与平面ABC 的交线为l,得l ∥BC.因此l ⊥平面ACD.(2)在△ABC 中,设AC=x(0<x<2),则BC=√4−x 2,所以S △ABC =12AC ·BC=12x ·√4−x 2,由题意得BE ⊥平面ABC,则BE ⊥AB.在Rt △BAE 中,AE=√7,AB=2,所以BE=√3,所以V A-BCE =V E-ABC =13S △ABC ·BE=√36x ·√4−x 2=√36√x 2(4−x 2)≤√36·x 2+4−x 22=√33,当且仅当x 2=4-x 2,即x=√2时,三棱锥A-BCE 的体积取最大值√33. 因为BE ∥CD,所以CD ⊥平面ABC.如图,以C 为坐标原点,以CA,CB,CD 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(√2,0,0),D(0,0,√3),E(0,√2,√3),所以AD⃗⃗⃗⃗ =(-√2,0,√3),DE ⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0),易知平面ABC 的一个法向量为n 1=(0,0,√3),设平面ADE 的法向量为n 2=(x,y,z),则{n 2·AD⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·DE⃗⃗⃗⃗ =0,所以{−√2x +√3z =0,√2y =0,取x=√3,则z=√2,则n 2=(√3,0,√2),所以cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=√6√3×√5=√105,故平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为√105.3.(2020新高考Ⅰ,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD.设平面PAD 与平面PBC 的交线为l.(1)证明:l ⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q 为l 上的点,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.解析 (1)证明:因为PD ⊥底面ABCD,所以PD ⊥AD.又底面ABCD 为正方形,所以AD ⊥DC.因为PD ∩DC=D,所以AD ⊥平面PDC.因为AD ∥BC,AD ⊄平面PBC,所以AD ∥平面PBC.由已知得l ∥AD.因此l ⊥平面PDC.(2)以D 为坐标原点,DA⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),则DC⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则DQ⃗⃗⃗⃗ =(a,0,1). 设n=(x,y,z)是平面QCD 的法向量,则{n ·DQ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DC⃗⃗⃗⃗ =0,即{ax +z =0,y =0.可取n=(-1,0,a).所以cos<n,PB⃗⃗⃗⃗ >=n·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |n|·|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√1+a 2. 设PB 与平面QCD 所成角为θ,则sin θ=√33×√1+a 2=√33√1+2a a 2+1.因为√33√1+2a a 2+1≤√63,当且仅当a=1时等号成立,所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63.考法二 判断或证明平面与平面垂直的方法1.(2022届山东青岛开学考试,19)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD,PA=AB=2,∠ABC=60°,E 为BC 的中点,F 为PC 的中点. (1)证明:平面AEF ⊥平面PAD;(2)求平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值.解析 (1)证明:连接AC,因为四边形ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 所以△ABC 为等边三角形,又E 为BC 的中点,所以AE 平分∠BAC, 所以∠EAD=180°-60°-60°2=90°,所以AE ⊥AD,又因为PA ⊥平面ABCD,所以PA ⊥AE, 又PA ∩AD=A,所以AE ⊥平面PAD,又AE ⊂平面AEF,所以平面AEF ⊥平面PAD. (2)由题意及(1)建立空间直角坐标系如图所示, 则A(0,0,0),因为PA=AB=2,所以E(√3,0,0),P(0,0,2),C(√3,1,0),D(0,2,0),F (√32,12,1),设平面AEF 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),因为AE ⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0),AF ⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,1),所以{√3x 1=0,√32x 1+12y 1+z 1=0,可取n 1=(0,2,-1),设平面PCD 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),因为PD ⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), 所以{2y 2−2z 2=0,−√3x 2+y 2=0,可取n 2=(1,√3,√3),所以cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=√3√5×√7=√10535,所以平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值为√10535.2.(2018北京文,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD,PA ⊥PD,PA=PD,E,F 分别为AD,PB 的中点. (1)求证:PE ⊥BC;(2)求证:平面PAB ⊥平面PCD; (3)求证:EF ∥平面PCD.证明 (1)在△PAD 中,因为PA=PD,E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD.因为底面ABCD 为矩形,所以BC ∥AD.所以PE ⊥BC.(2)因为底面ABCD 为矩形,所以AB ⊥AD.又因为平面PAD ⊥平面ABCD,所以AB ⊥平面PAD.所以AB ⊥PD.又因为PA ⊥PD,PA ∩AB=A,所以PD ⊥平面PAB.又PD ⊂平面PCD,所以平面PAB ⊥平面PCD.(3)取PC 的中点G,连接FG,DG.因为F,G 分别为PB,PC 的中点,所以FG ∥BC,FG=12BC.因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,所以DE ∥BC,DE=12BC.所以DE ∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG 为平行四边形.所以EF ∥DG.又因为EF ⊄平面PCD,DG ⊂平面PCD,所以EF ∥平面PCD.3.(2020南京航空航天大学附中期中,20)一副标准的三角板(如图1)中,∠ABC 为直角,∠A=60°,∠DEF 为直角,DE=EF,BC=DF,把BC 与DF 重合,拼成一个三棱锥(如图2).设M 是AC 的中点,N 是BC 的中点. (1)求证:平面ABC ⊥平面EMN;(2)设平面ABE ∩平面MNE=l,求证:l ∥AB;(3)若AC=4,且二面角E-BC-A 为直二面角,求直线EM 与平面ABE 所成角的正弦值.图1图2解析 (1)证明:因为M 是AC 的中点,N 是BC 的中点,所以MN ∥AB,因为AB ⊥BC,所以MN ⊥BC,因为BE ⊥EC,BE=EC,N 是BC 的中点,所以EN ⊥BC,又MN ⊥BC,MN ∩EN=N,MN ⊂平面EMN,EN ⊂平面EMN,所以BC ⊥平面EMN, 又因为BC ⊂平面ABC,所以平面ABC ⊥平面EMN.(2)证明:由(1)知MN ∥AB,又AB ⊂平面ABE,MN ⊄平面ABE,所以MN ∥平面ABE,又平面ABE ∩平面MNE=l,MN ⊂平面MNE,所以MN ∥l,所以l ∥AB.(3)由(1)知EN ⊥BC,MN ⊥BC,所以∠ENM 为二面角E-BC-A 的平面角,又二面角E-BC-A 为直二面角,所以∠ENM=90°,以N 为坐标原点,以NM 、NC 、NE 所在直线分别为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系N-xyz,如图所示,因为AC=4,∠BAC=60°,所以AB=2,BC=2√3,则NE=√3,所以A(2,-√3,0),B(0,-√3,0),C(0,√3,0),E(0,0,√3),M(1,0,0),则EM⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√3),BE ⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,√3),BA ⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0), 设平面ABE 的法向量为m=(x,y,z),则{m ·BE⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BA⃗⃗⃗⃗ =0,即{(x,y,z)·(0,√3,√3)=0,(x,y,z)·(2,0,0)=0,即{√3y +√3z =0,2x =0,令y=1,则z=-1,则m=(0,1,-1),设直线EM 与平面ABE 所成角为θ(0≤θ≤π2),则sin θ=|cos<m,EM⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m·EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m|·|EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√32√2=√64,所以直线EM 与平面ABE 所成角的正弦值为√64. 4.(2018课标Ⅲ理,19,12分)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直,M 是CD ⏜上异于C,D 的点.(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC 体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.解析 (1)证明:由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC ⊥CD,BC ⊂平面ABCD,所以BC ⊥平面CMD,故BC ⊥DM.因为M 为CD⏜上异于C,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM.又BC ∩CM=C,所以DM ⊥平面BMC.而DM ⊂平面AMD,故平面AMD ⊥平面BMC.(2)以D 为坐标原点,DA⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则D(0,0,0).当三棱锥M-ABC 体积最大时,M 为CD⏜的中点.由题设得A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),AB ⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DA ⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0).设n=(x,y,z)是平面MAB 的法向量,则{n ·AM⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB⃗⃗⃗⃗ =0,即{−2x +y +z =0,2y =0,可取n=(1,0,2).DA⃗⃗⃗⃗ 是平面MCD 的法向量, 因此cos<n,DA ⃗⃗⃗⃗ >=n·DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n||DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55,sin<n,DA ⃗⃗⃗⃗ >=2√55. 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是2√55.考法三 翻折问题的处理方法1.(多选)(2022届湖北部分学校11月质量检测,12)如图,边长为2的正方形ABCD 中,E,F 分别是AB,BC 的中点,将△ADE,△CDF,△BEF 分别沿DE,DF,EF 折起,使A,B,C 重合于点P,则下列结论正确的是( )A.PD ⊥EFB.点P 到平面DEF 的距离为23C.三棱锥P-DEF 的外接球的体积为2√6πD.二面角P-EF-D 的余弦值为-13 答案 AB2.(2020江苏徐州期中,14)在平面四边形ABCD 中,AB=CD=1,BC=√2,AD=2,∠ABC=90°,将△ABC 沿AC 折起,得到三棱锥B-ACD,当三棱锥B-ACD 的体积最大时,三棱锥外接球的体积为 . 答案4π33.(2021山东潍坊期中,15)如图,已知菱形ABCD 的边长为3,∠BAD=60°,E 为对角线AC 上一点,AC=6AE.将△ABD 沿BD 翻折到△A'BD 的位置,E 记为E'且二面角A'-BD-C 的大小为120°,则三棱锥A'-BCD 的外接球的半径为 ;过E'作平面α与该外接球相交,所得截面面积的最小值为 .答案√212;94π4.(2019课标Ⅲ理,19,12分)图1是由矩形ADEB,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC 折起使得BE 与BF 重合,连接DG,如图2. (1)证明:图2中的A,C,G,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE; (2)求图2中的二面角B-CG-A 的大小.解析 (1)证明:由已知得AD ∥BE,CG ∥BE,所以AD ∥CG,故AD,CG 确定一个平面,从而A,C,G,D 四点共面. 由已知得AB ⊥BE,AB ⊥BC,又BE ∩BC=B,故AB ⊥平面BCGE.又因为AB ⊂平面ABC,所以平面ABC ⊥平面BCGE.(2)作EH ⊥BC,垂足为H.因为EH ⊂平面BCGE,平面BCGE ⊥平面ABC,所以EH ⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE 的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=√3.以H 为坐标原点,HC ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,√3),则CG⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,0).设平面ACGD 的法向量为n=(x,y,z), 则{CG ⃗⃗⃗⃗ ·n =0,AC⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x +√3z =0,2x −y =0,所以可取n=(3,6,-√3). 又平面BCGE 的法向量可取为m=(0,1,0), 所以cos<n,m>=n·m |n||m|=√32. 因此二面角B-CG-A 的大小为30°.5.(2018课标Ⅰ理,18,12分)如图,四边形ABCD 为正方形,E,F 分别为AD,BC 的中点,以DF 为折痕把△DFC 折起,使点C 到达点P 的位置,且PF ⊥BF. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.解析 (1)证明:由已知可得BF ⊥EF,又已知BF ⊥PF,且PF 、EF ⊂平面PEF,PF ∩EF=F, 所以BF ⊥平面PEF,又BF ⊂平面ABFD,所以平面PEF ⊥平面ABFD.(2)作PH ⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH ⊥平面ABFD.以H 为坐标原点,HF⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向,|BF ⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则H(0,0,0).由(1)可得,DE ⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=√3, 又PF=1,EF=2,故PE 2+PF 2=EF 2,故PE ⊥PF,可得PH=√32,EH=32,则P (0,0,√32),D (−1,−32,0),DP⃗⃗⃗⃗ =(1,32,√32),易知HP⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√32)为平面ABFD 的一个法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ,则sin θ=|HP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=34√3=√34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为√34.B 组1.(多选)(2021福建厦门三模,10)连接正方体每个面的中心构成一个正八面体(如图),则下列说法中正确的是( )A.以正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体B.直线AE 与CF 是异面直线C.平面ABF ⊥平面ABED.平面ABF ∥平面CDE 1.答案 AD3.(多选)(2022届福州三中月考,11)如图,已知圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,底面圆O的直径为2.C是圆O上异于A,B的一点,D为弦AC的中点,E为线段PB上异于P,B的点,以下结论中正确的是()A.直线AC⊥平面PDOB.CE与PD一定为异面直线C.直线CE可能平行于平面PDOD.若BC=√2,则CE+AE的最小值为√3+1答案ABD。
垂线定理练习题
垂线定理练习题垂线定理是解析几何中常见的几何定理之一，通过该定理可以得到两条直线的垂直关系。
本文将通过一些练习题来巩固对垂线定理的理解与运用。
练习一：垂直的线段已知直线AB上的点C，点C到线段AB的中点M引垂线CD，且DM = 8 cm，求线段AB的长度。
解析：根据垂线定理，DM垂直于AB，则AM = BM = 2DM = 16 cm。
由于M是线段AB的中点，所以线段AB的长度为2AM，即2 × 16 cm = 32 cm。
练习二：垂直平分线已知线段AB上的一点C，以C为中点，作垂直线段CD平分线段AB，若BD = 12 cm，求线段AB的长度。
解析：由于CD垂直于AB，根据垂线定理可以得知AM = MB。
由于C是线段AB的中点，所以AM = MC = CD + MD = 12 cm + 6 cm = 18 cm。
因此，线段AB的长度为2AM，即2 × 18 cm = 36 cm。
练习三：垂直二等分线已知线段AB上的一点C，以C为中点，作垂线CE二等分线段AB，若AC = 10 cm，求线段AB的长度。
解析：由于CE垂直于AB，根据垂线定理可以得知AC = BC。
又已知AC = 10 cm，所以BC = 10 cm。
因此，线段AB的长度为AC + BC = 10 cm + 10 cm = 20 cm。
练习四：垂线长度与交点距离的比例关系已知线段AB上的一点C，以C为中点，作垂线CD交线段AB于点D，若线段AD = 4 cm，线段CD = 6 cm，求线段AB的长度。
解析：根据垂线定理，CD垂直于AB，可得到三角形ACD和BDC为直角三角形。
由于线段AD = 4 cm，线段CD = 6 cm，根据勾股定理可以得知AC = 2 cm，BC = 8 cm。
所以，线段AB的长度为AC + BC = 2 cm + 8 cm = 10 cm。
练习五：垂线段的长度比例已知直线AB上的点C，点C到直线AB的垂线段CD长度为4 cm，点C到直线AB延长线的垂线段CE长度为12 cm，求CD和CE的比值。
初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题（附答案）
初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题（附答案）第一篇：初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题(附答案) 三角形中垂线性质及相关练习题（附答案）三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。
首先我们证明这个问题。
已知：如图8-21所示，PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。
求证：PD、NE、MF交于一点O。
思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。
然后再证明D是BC 的中点。
证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。
∵MF⊥AB于F，AF=FB；∴OA=OB；∵NE⊥AC于E，AE=EC；∴OA=OC；∴OB=OC；∵OD⊥BC于D；∴ POD是BC边上的中垂线。
∴ NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。
结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。
第1页（共4页）相关练习题：一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=_________度.三、作图题11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.答案：一、1.√2.√3.√4.×二、1.==2.===5050801003.=AC4.==72°5.BEDCEDBADCAD等腰6.60°三、1.略（2）内部斜边的中点外部四、类比联想：略第二篇：初中数学三角形证明（范文）1.如图△ABC，∠AFD＝158°，求∠EDF的度数。
线面垂直的性质定理习题含详细答案
3.过一点有几条直线与平面垂直？ 提示：有且只有一条.假设过一点有两条直线与平面垂直，由 两条直线均与同一平面垂直的性质定理可得这两条直线平行， 应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.
4.垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_____. 【解析】垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可由两个平 面平行的判定定理推得. 答案：平行
(2)如图，连接AD1,AE,D1E,
D1
C1
设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N， A1
B1
连接MN.
M
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E∥平面A1BD，需使
D
E C
N
MN∥D1E，
A
B
又M是AD1的中点，∴N是AE的中点，又易知△ABN≌△EDN，
∴AB=DE.即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
3.点P到平面四边形ABCD四个顶点的距离相等，那么四边形
ABCD是( )
(A)某圆的内接四边形 (B)某圆的外切四边形
(C)正方形
(D)任意四边形
4.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，那么PA与BD的位置关系是 _____.
5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且 AB∥CE. 求证：CE⊥平面PAD.
线面平行
∵FD∥CG, CG⊂平面ABC， ∴DF∥平面ABC.
【思考】解答题1，2的关键是什么？ 提示：(1)解答题1的关键是利用题中的垂直关系证得a与l垂直 于同一个平面. (2)解答题2的关键是在平面ABC中找一直线与直线DF平行.
线面垂直的性质的综合应用 【技法点拨】线面垂直与平行的相互转化 (1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平 行可以相互转化.每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与 平行开始转化为另一种垂直与平行，最终到达目的的. (2)转化关系： 线线垂直 判定 定定 义 理 线面垂直 性定 质理 定 理 线线平行
垂直线的性质与判定练习题(精选)
垂直线的性质与判定练习题(精选)1. 基础知识垂直线是指两条直线相交且交角为直角的线段。
垂直线具有以下性质：- 如果两条直线是垂直线，则它们的斜率乘积为-1。
- 垂直线上任意一点到另一条直线的距离为最短距离。
- 垂直线与水平线的交点处形成直角。
2. 判定练题2.1 判断直线是否垂直下面是一些判定是否为垂直线的练题，请根据给定的条件判断直线是否垂直。
2.1.1 给定两点判断由两点确定的直线是否垂直。
- 点1坐标: (2, 3)，点2坐标: (-4, -6)- 点1坐标: (0, 5)，点2坐标: (5, 0)- 点1坐标: (1, 2)，点2坐标: (2, 4)2.1.2 给定斜率判断由斜率确定的直线是否垂直。
- 直线斜率为 2- 直线斜率为 -0.5- 直线斜率为 02.2 证明垂直关系下面是一些证明两条直线垂直的练题，请根据给定的条件证明直线的垂直关系。
2.2.1 证明两直线垂直给定直线l和直线m，已知它们的斜率分别为-2和1/2。
请证明直线l和直线m是垂直的。
2.2.2 证明三点共线给定三个点A(2, 3)，B(4, 1)和C(6, -1)，请证明点A、B和C是共线的，并判断AB和BC之间的关系。
2.3 推导垂直条件下面是一些推导直线垂直条件的练题，请根据给定的条件推导出直线垂直的结论。
2.3.1 推导垂直条件如果直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，并且k1 * k2 = -1，那么直线l1和直线l2是垂直的。
请推导出这一结论。
2.3.2 推导垂直条件如果直线l1过点A(2, 3)，直线l2过点B(5, -2)，且直线l1和直线l2垂直，那么它们的斜率满足什么条件？请推导出这一结论。
参考答案2.1.1 给定两点- 点1坐标: (2, 3)，点2坐标: (-4, -6)：垂直线- 点1坐标: (0, 5)，点2坐标: (5, 0)：非垂直线- 点1坐标: (1, 2)，点2坐标: (2, 4)：非垂直线2.1.2 给定斜率- 直线斜率为 2：非垂直线- 直线斜率为 -0.5：非垂直线- 直线斜率为 0：垂直线2.2.1 证明两直线垂直直线l的斜率为-2，直线m的斜率为1/2。
垂直的判定和性质专题及答案
垂直的判定和性质专题垂直的判断方法及性质汇总：一、判定线面垂直的方法1. 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2. 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4. 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5. 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6. 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面二、判定两线垂直的方法1. 定义：成90 角2. 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3. 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4. 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5. 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直三、判定面面垂直的方法1. 定义：两面成直二面角,则两面垂直2. 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面四、面面垂直的性质1. 二面角的平面角为902. 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3. 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面专题训练：一．选择题：1．已知直线l⊥平面α，给出：① 若直线m⊥l，则m// α；② 若直线m⊥α，则m//l ；③若直线m//α，则m⊥l；④ 若直线m// l，则m⊥α。
以上判断正确的是 B（A）①②③（B）②③④（C）①③④（D ）①②④2．下列命题正确的是 B（A）垂直于同一直线的两条直线平行（B）垂直于同一直线的两条直线垂直（C）垂直于同一平面的两条直线平行（D ）平行于同一平面的两条直线平行3. 设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，且P 到△ABC 各边的距离相等，那么△ABC C（A）是非等腰三角形（B）是等腰直角三角形（C）是等边三角形（D）不是A、B、C 中所述的三角形4. 正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，PA =12，那么P 到对角线BD 的距离是 D （A）12 3 （B）12 2 （C）6 3 （D ）6 65. 如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 D（A）l α（B）l⊥α（C）l// α（D）l α或l //α6. 已知直线a, b 和平面α，下列推论错误的是 Da（A） a bba b （B）aba // ba //（C）b a // 或a （D ）ba// b7. 直线a⊥b，且a// 平面α，则b 与α的位置关系是 D（A）b α（B）b α（C）b// α或b α（D ）b 与α相交或b//α或b α8. 若a, b 是异面直线，那么经过 b 的所有平面中 A（A）只有一个平面与α平行（B）只有一个平面与α垂直（C）有无数个平面与α平行（D）有无数个平面与α垂直9. 如图，正方体ABCD －A1B1C1D1中，点P 在侧面BB1C1C及其面界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P 的轨迹是 A（A）线段B1C （B）线段BC1（C）BB 1 中点与CC 1中点连成的线段（D）BC 中点与B1C1 中点连成的线段10. 正方体ABCD －A1B1C1D 1 中，E 为A1C1 的中点，则直线CE 垂直于B（A）AC （B）BD （C）A1D1（D）AA 111. 在△ ABC 中，AB=AC=5，BC =6，PA⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是D （A） 5 （B）2 5 （C）3 5 （D）4 512．如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1 中，∠BAC =90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC 上的射影H 必在 A（A）直线AB 上（B）直线BC 上（C）直线CA 上（D）△ABC 内部二．填空题：1. 平面α外一点 A 到平面α上各点的线段中，以OA 最短，那么OA 所在直线与平面α的位置关系是垂直。
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1、已知△ABC ，直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，求证：l ⊥BC2、如图，β⊥α⊥=βαPD PC AB ，， ，垂足分别为C 、D ， 求证：AB CD ⊥3、正方体ABCD -1111A B C D 中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 上的点，若1B MN ∠是直角，则1C MN ∠= ．4、（06北京文17）如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。
5、如图在正方体ABCD A B C D -1111中，M 是棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 为棱A B 11上任意一点，求证直线OP 与直线AM 垂直。
6、已知：a b 、为异面直线，a 上两点A B 、的距离为8，b 上两点C D 、的距离为6，AD BC 、的中点分别为M N 、，且MN =5。
求证：a b ⊥。
7、如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，求证：A 1C ⊥平面BDC 1 。
8、如图，在三棱锥P —ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、PC 、BC 的中点，且PA=PB ，AC=BC 、 （1）证明：AB ⊥PC ； （2）证明：PE//平面FGH9、在△ABC 中，∠B=90︒，SA ⊥平面ABC ，点A 在SB 、SC 上的射影分别是M 、N ，求证：MN SC ⊥。
10、如图， 在直三棱柱111C B A ABC -中，3=AC ，5AB =，4=BC ，41=AA ，点D 是AB 的中点， （I ）求证：1BC AC ⊥；（II ）求证：11//CDB AC 平面．11、设A 、B 两点到平面α的距离分别为2与6，则线段AB 的中点到平面α的距离为 ．12、如图，四边形BCDE 是正方形，AB ⊥面BCDE ，则图中所示7个平面中，有几对平面互相垂直?13、设正方体ABCD A B C D —1111，求二面角A B D A --111的余弦值。
14、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点．(1)证明//PA 平面EDB ；(2)求证：A C 1CAC1ASABCNMA BCA 1BD平面BDE ⊥平面PBC ．15、下列命题：①平行于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两直线平行； ③平行于同一直线的两平面平行； ④垂直于同一直线的两平面平行． 其中正确的有( )A ．①②④B ．②④C ．②③④D ．③④16、已知点P 是∆ABC 所在平面外一点，O 点是P 点在平面ABC 内的射影，若PA BC PB AC ⊥⊥且，求证：(1)O 为∆ABC 的垂心。
(2)PC AB ⊥。
17、如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
18、如图V A ⊥平面ABC ，点A 在平面VBC 内的射影为O ，求证：BC VO ⊥。
AA19、过锐角∆ABC 的垂心H 作PH ⊥平面ABC ，且使∠=︒APB 90。
求证：∆∆BPC APC 和都是直角三角形。
20、下面四个命题：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直。
（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直。
（3）一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面。
（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行，其中真命题个数为（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个21、设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ααβ⊥,⊥,则l β⊂B ．若l αα⊥,∥β,则l β⊥C ．若l ∥αα,∥β,则l β⊂D ．若l ∥ααβ,⊥,则l β⊥22、α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④m α⊥．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为 ．23、P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，连接PB ，P C ，P D ，AC ，BD ，则下列垂直关系正确的是( ) ①平面PAB ⊥平面PBC ②平面PAB ⊥平面PAD ③平面PAB ⊥平面PCD ④平面PAB ⊥平面PACA ．①②B ．①③C ．②③D ．②④ 24、（04北京理3题）设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ// 其中正确命题的序号是A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和④ 25、（04福建理5题）已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β． 其中真命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 26、（04上海13题）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是( ) (A)若l ⊂β且α⊥β，则l ⊥α． (B) 若l ⊥β且α∥β，则l ⊥α．(C)若l ⊥β且α⊥β，则l ∥α． (D) 若α∩β=m 且l ∥m ，则l ∥α．27、(05全国I -16）在正方体''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形 ③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 。
（写出所有正确结论的编号） 28、已知题：为平面，有下列四个命，，为直线，、γβαb a ①b a b a //////，则，αα ②βαγβγα//，则，⊥⊥③βαβα//////，则，a a ④αα////a b b a ，则，⊂其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．329、已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形PA ,⊥平面ABC ，P A =2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB AD ⊥ B ．平面PAB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面PAED ．直线P D 与平面ABC 所成的角为45 30、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )A ．4个B ．2个C ．3个D ．1个31、设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l 为直线，给出下列命题：①若α∥βαγ,⊥,则βγ⊥；②若αγβγ⊥,⊥,且l αβ⋂=,则l γ⊥；③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β． 上面命题中，真命题的序号为 ．(写出所有真命题的序号) 32、已知：直线a ⊥平面α， 平面β⊥α，a β⊄，求证：a ∥β．33、两相交平面α、β分别和平面γ垂直且交于a 、b ，平面α、β的交线为c ，证明交线c 垂直于平面γ。
34、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD .35、如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）．（1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积．36、在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E ．(1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求证：AE ⊥平面PDC ．αaβA BCDPMN37、平面ABC 外一点P 到△ABC 三边距离相等，O 是△ABC 内一点，且OP ⊥平面ABC ． 求证：点O 是△ABC 的内心．38、已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA=45︒。
求证：（1）MN ⊥CD ，（2）MN ⊥平面PCD解答1、证明：∵l ⊥AB ，l ⊥AC ，∴l 垂直于平面ABC ，又BC ⊂平面ABC 上，所以l 垂直于BC2、证明： PC AB ⊥⊂αα，而 ∴⊥PC AB （线面垂直的定义）同理，PD AB ⊥，而PC PD P =， ∴⊥AB 平面PCD （线面垂直的判定定理） 而CD ⊂平面PCD ∴⊥AB CD （线面垂直的定义）3、90 在正方体中11C B ,⊥平面11ABB A , 而MN ⊂平面11ABB A , ∴11C B MN ⊥． 又1B MN ∠是直角，即1MN MB ⊥, 而1111MB C B B ⋂=, ∴MN ⊥平面11MB C ． ∴1MN MC ⊥,即190C MN ∠=．4、证明：（1）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴CC 1⊥平面ADCD ， ∴BD ⊥CC 1，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，又∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1=C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1。
5、证明：分别作AD 和BC 的中点N N 12、，连N N 12，A N B N 1112，， 则可证OP ⊂面N N 12，B A 11， 又可证AM ⊥面N N B A 1211，∴⊥AM OP 。
6、证明：连结BD ，取BD 之中点G ，连结GM GN 、M N G 、、分别为AD BC BD 、、的中点 ∴MG AB //且MG AB GN CD ==124，// 且GN CD ==123∴∠M G N 是异面直线AB CD 、所成的角∆M G N 中， MG GN MN ===435，，显然MG GN MN 222+= ︒=∠∴90MGN ， 即a b 、所成角为90︒ ∴⊥a b7、证明：连结AC ，交BD 于点O∵AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ， ∵AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面A 1AC ，A 1C ⊂平面A 1ACAC1A∴BD ⊥A 1C ，同理，BC 1⊥ A 1C ，又∵BD ∩BC 1=B ，∴A 1C ⊥平面BDC 1 。