四川省泸县一中2022_2022学年高二数学下学期第二次月考试题理202222210181

四川省泸县一中2022-2022学年高二数学下学期第二次月考试题 理
考前须知：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷 选择题〔60分〕
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给的四个选项中，只有一项为哪
一项符合题目要求的。

1．假设复数17
4a i
-
-〔,a R i ∈是虚数单位〕是纯虚数，那么实数a 的值为 A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 2．函数()2x
f x e =，那么
A ． ()()'2f x f x =+
B ．()()'f x f x =
C ．()()'3f x f x =
D ．()()'2f x f x =
3．“k =
:(2)l y k x =+与圆22
1x y +=相切〞的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．点 P (3,4) 在角α的终边上，那么cos 2πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值为 A ．
3
5
B ．
35 C ．
45
D ．45
-
5．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次〔每次1件〕，假设X 表示取得次品的次数，那么(2)P X ≤= A ．38
B ．
1314
C ．
45
D ．
78
6．设1a b >>，那么以下不等式成立的是 A ．ln ln a b b a > B ．ln ln a b b a <
C ．b a ae be >
D ．b a ae be <
7．4)11
(++
x
x 的展开式中常数项为
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
8．某宾馆安排,,,,A B C D E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且,A B 不能住同一房间，那么不同的安排方法有种数为 A ．64
B ．84
C ．114
D ．144
9．a ，b 为正实数，向量m =〔a ，a-4〕向量n =〔b ，1-b 〕假设m n ，那么a+b 的最小值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．
92
10．假设3x = 是函数2()(1)x
f x x ax e =++ 的极值点，那么()f x 的极大值为
A ．2e -
B ．32e -
C ．322e -
D ．16e -
11．在
中，角、、所对的边分别为、、，假设
，且
，那么
以下关系一定不成立的是 A ．
B ．
C ．
D ．
12．设函数()()2
2
1611ax x
x x x x f x =+-
+++，假设0x >时，()0f x >，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,∞+
B ．(),12-∞
C ．(),0-∞
D ．()12,+∞
第II 卷 非选择题〔90分〕
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13．某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y 的统计数据如下表： 使用年限x 〔单位：年〕
2 3 4 5
6
维修费用y 〔单位：万元〕 1.5
4.5
5.5
6.5
7.0
根据上表可得回归直线方程为y = 1.3x =+a ，据此模型预测，假设使用年限为14年，估计维修费约为 __________万元．
14．假设一个样本空间{}6,5,4,3,2,1=Ω，令事件{}5,3,2=A ，()6,5,4,2,1=B ， 那么()
=A B P ___________ ．
15．集合M ＝{(x ，y) 22|11x y -≤≤⎧⎨-<<⎩
}，那么在集合M 中任取一点P ，那么点P 到直线x ＋y ＝0
的距离不小于
2
的概率为________． 16．设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA
为半径的圆交l 于,B D 两点，假设90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为方程为__________．
三．解答题：共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：共60分。

17．〔12分〕某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量〔单位：克〕，整理后得到如下的频率分布直方图〔其中重量的分组区间分别为〔490，495]，〔495，500]，〔500，505]，〔505，510]，〔510，515]〕 〔Ⅰ〕假设从这40件产品中任取两件，设X 为重量超过505克 的产品数量，求随机变量X 的分布列；
〔Ⅱ〕假设将该群体分别近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率． 18．〔12分〕函数2
3()3ln 2
f x x a x b =
-+， 〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间; 〔Ⅱ〕求函数()f x 的极值.
19．〔12分〕如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面111A AC C ⊥底面ABC ，四边形11AAC C
为菱形，ABC 是边长为2的等边三角形，160A AC ︒
∠=，点O 为AC 的中点.
〔Ⅰ〕假设平面11A B C 与平面ABC 交于直线l ，求证：//l AB ； 〔Ⅱ〕求二面角11C A B C --的余弦值.
20．〔12分〕在圆:O 2
2
4x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当
点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 形成轨迹C ． 〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程；
〔Ⅱ〕假设直线y x =与曲线C 交于AB 两点，Q 为曲线C 上一动点，求ABQ △面积的最大值
21．〔12分〕函数2
21()(1)2
x
f x x a e ax a x =---
+，其中e a <. 〔Ⅰ〕假设2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕假设()f x 在(1,2)内只有一个零点，求a 的取值范围.
〔二〕选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，那么按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕
曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，在同一平面直角坐标系中，将曲线1C 上
的点按坐标变换3
23
232x x y y ⎧='=+'+⎪⎨⎪⎩
得到曲线2C ，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
〔Ⅰ〕求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕假设直线()π
3
R θρ=∈与曲线1C 交于,M N 两点，与曲线2C 交于,P Q 两点，求
MN PQ 的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕 设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： 〔Ⅰ〕ab+bc+ac ≤
1
3
； 〔Ⅱ〕222
1a b c b c a
++≥.
2022年春四川省泸县第一中学高二第二学月考试
理科数学试题参考答案
1．D 2．B 3．A 4．D 5．D 6．D 7．B 8．C 9．D 10．D 11．B 12．B 13．18 14．
32 15．2
1 16．x y 62
= 17．〔1〕根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为[〔0．001+0．005〕5]40=12
由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1， 2
，
．
∴随机变量X 的分布列为 X 0
1
2
P
由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0．3
设Y 为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，那么Y~B 〔5，0．3〕． 故所求概率为
18．〔1〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
因为2'
33()
()3a x a f x x x x
-=-=
， 当0a ≤时，'
()0f x >在0x >恒成立，所以()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，
当0a >时，'()0f x x a >⇒>()f x 的单调递增区间是(,)a +∞，
'()00f x x a <⇒<<，所以()f x 的单调递减区间是)a ．
〔2〕由〔1〕得：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，所以()f x 无极值， 当0a >时，()f x 的极小值为33
()22
f a a a a b =
-+，无极大值． 19．〔1〕证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，11A B ⊄平面ABC . 所以11//A B 平面ABC ，且11A B ⊆平面11A B C 平面11A B C
平面=ABC l 所以11//l A B ，所以//l AB .
〔2〕由四边形11AAC C 为菱形，且160A AC ︒
∠=
所以1A BC 为等边三角形且点O 为AC 的中点..
那么1A O AC ⊥，又侧面111A AC C ⊥底面ABC . 面111A A C C
底面ABC AC =.所以1A O ⊥平面ABC .
又ABC 是等边三角形，且点O 为AC 的中点.. 那么BO AC ⊥. 所以1||||3OA OB ==. 以1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 所以()(
)()()()
110,0,0,3,0,0,0,1,0,0,2,3,,0,0,3O B
C C A
设面11A BC 的一个法向量为()111,,n x y z =.
那么11100BA n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即111
33020x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取()1,0,1n =
设面1A BC 的一个法向量为()222,,m x y z =.()()
13,0,3,3,1,0BA BC =-=-
那么100BA m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即111133030
x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩取()
1,3,1m =
所以25cos ,525n m n m n m
⋅=
=
=⨯⋅.所以二面角11C A B C --的余弦值为55
.
20．设(),M x y ，由题意(),0D x ，()
1,0P x M 为线段PD 的中点，
102y y ∴+=即12y y =又()1,P x y 在圆224x y +=上，2214x y ∴+=
2
2
44x y ∴+=，即2
2
14
y x +=，
所以轨迹C 为椭圆，且方程为22
14y x +=.联立直线y x =和椭圆2
2
14
y x +=，
得到2
54x =，即255x =±即有25252525,,,5555A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设过Q 且与直线y x =平行的直线为y x t =+， 当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大， 将y x t =+代入椭圆方程得：2258440x tx t ++-=
由相切的条件得(
)
2
2
6445440t t ∆=-⨯⨯-=解得5t =±，
那么所求直线为y x =
y x =- 故与直线y x =
的距离为d =
=， 那么ABQ △
的面积的最大值为122S =
=. 21．解：〔1〕
22,()(3)e 4,(0)3x a f x x x x f =∴=--+∴=-,
()(2)e 24x f x x x '=--+，那么(0)2f '=，故所求切线方程为23y x =-；
〔2〕()
()()e x
f x x a a '=--，当10<<a 时，()0f x '>对(1,2)x ∈恒成立 ，
那么()f x 在(1,2)上单调递增，从而()
21(1)e 02(2)(1)e 20f a a f a a ⎧⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-->⎩
，那么(0,1)a ∈， 当12a <<时，()f x 在(1,)a 上单调递减，在(,2)a 上单调递增，
121(1)e 0,()0,(2)02a f a a f a f <<⎧⎛
⎫=--<∴<∴⎨ ⎪>⎝⎭⎩
那么a ∈∅ ，
当e a <≤2时， ()0f x '<对(1,2)x ∈恒成立，那么()f x 在(1,2)上单调递减，
(1)0,()f f x <∴在〔1，2〕内没有零点 ，综上，a 的取值范围为〔0，1〕.
22．〔1〕曲线1C
的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
〔α为参数〕，消去参数α得22143x y
+=.
又cos ,sin ,x y ρθρθ== 2
2
2
2
3cos 4sin 12ρθρθ∴+=，
即曲线1C 的极坐标方程为()22
3sin 12ρθ+=.
又由322x x y ⎧='=+'+⎪⎨⎪⎩
得(
)232x x y y ，⎧
=-⎪⎪'⎨'⎪=-⎪⎩
代入22
143
x y
+=
得
(
()2
2
21,9
9
x y ''--+
=∴曲线2C
的直角坐标方程为
(
()2
2
29x y -+-=.
〔2〕将π3θ=
代入()
22
3sin 12ρθ+=
，得216,5MN ρρ=∴=∴=.
又直线的参数方程为1
2
32
x t y t ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
〔t 为参数〕，代入()
()2
2
2329x y -+-=，整理得
24370t t -+=，
分别记,P Q 两点对应的参数为12,t t ，那么
1212
437t t t t ⎧+=⎪
⎨
⋅=⎪⎩，()
2
121212425PQ t t t t t t ∴=-=+-=，4
5
MN PQ
∴
=
. 23．〔Ⅰ〕由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：
222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得
，即
2222221a b c ab bc ca +++++=，
所以3()1ab bc ca ++≤，即13
ab bc ca ++≤
. 〔Ⅱ〕因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，2
2c a c a +≥，
所以222
()2()a b c a b c a b c b c a
+++++≥++，
即222a b c a b c b c a
++≥++，所以222
1a b c b c a ++≥.。