2018年高考数学一轮复习课件：第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第56讲
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第九章 计数原理与概率、随机变量及其分
布 第56讲 排列与组合
第一页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
考纲要求 考情分析
命题趋势
1.理解排列、 2016，全国 组合的概念 卷Ⅲ，12T
．
2016，四川
2．能利用
卷，4T
计数原理推 2014，辽宁
导排列数公 卷，6T
两个计数原理与排 列、组合的综合问 题是高考的热点， 以考查基本概念、 基本方法(如“含 ”“不含”问题、
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 4．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数， 试问：
• (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ • (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？ • (解3析)(：1()1中)分三的步完七成位：第数一步中，在，4 个偶偶数数中排取 3在个，一有起C34种，情况奇；第数二也步， 在 5排个奇在数中一取起4 个的，有有C45种几情个况；？第三步，3 个偶数，4 个奇数进行排列，有 A77种
(2)把 6 本不同的书分成 4 组，每组至少 1 本的分法有 2 种． ①有 1 组 3 本，其余 3 组每组 1 本，不同的分法共有C36CA13C33 21C11＝20(种)； ②有 2 组每组 2 本，其余 2 组每组 1 本，不同的分法共有CA26C22 24·CA12C22 11＝45(种)．所 以不同的分组方法共有 20＋45＝65(种)．然后把分好的 4 组书分给 4 个人，所以不同 的分法共有 65×A44＝1 560(种)．
第七页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字C 的四位 偶数的个数为( )
• A．8 B．24 • C解．析：4C812×A34＝D2．×4×132×02＝48.
第八页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果 B必须在A的右B侧(A，B可以不相邻)，那么不 同的排法共有( )
第十二页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 【例1】 (1)3名男生，4名女生，选其2中5205人排 成一排，则有__________种不同的排法．
• (2)将某大学4名大四学生，安排到某城市的甲、 乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每 所1学8 校都分一名学生，且学生A不分到甲 校 种解(2)析先．．：将(则1A)问分不题配即到同为乙从校的，7 个再实元分习素配中另安选外出3排个5 个学方全生排，案出有共，A有33种有A，57＝同_2理_5_可20_得种_，排_将法_A．_分_配_到
＝66 种不同的取法． (2)只需从 A，B，C 之外的 9 人中选择 2 人，即有 C29＝36 种选法．
第十五页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
•三 排列组合的综合问题
• 利用先选后排法解决问题的三个步骤
第一步 — 选元素，即选出符合条件的元素 |
第二步 — 进行排列，即把选出的元素按要求进行排列 | 计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算
丙校、丁校各有 A33种，则共有 3A33＝18 种．
第十三页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
•二 组合问题
• (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题 型．“含”，则先将这些元素取出，再由另 外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔 除，再从剩下的元素中去选取．
• (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型， 考虑逆向思维，用间接法处理．
Cnm＝Cnn－m；Cnm＋1＝_C__nm_＋__C_mn_－_1_
第六页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2)Amn ＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m)．( × ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．( × ) (4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同 的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( √ ) (5)C22＋C23＋C24＋…＋C2n＝C3n＋1.( √ )
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 1．从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字 组成一个没有重9复6 数字且能被3整除的四位数， 这解析样：依的题四意，位只需数组成有的_四_位_数_各_位_数_字_的_和_个能被．3 整除．将这 6 个数字按
照被 3 除和余数分类，共分为 3 类：{0,3}，{1,4}，{2,5}，若四位数含 0，则另外 3 个数字分别为 1,4 之一，2,5 之一，3，此时有 C12C12C13A33＝72 种；若四位数不含 0， 则 4 个数字为 1,2,4,5，此时有 A44＝24 种，由分类计数原理，这样的四位数有 72＋24 ＝96 个．
第十一页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
•一 排列问题
• (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时 有位置分析法、元素分析法，在实际进行排 列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排 有限制条件的元素或有限制条件的位置，对 于分类过多的问题可以采用间接法．
• (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用
的则有六A34位个，数2,3 ？去排四个空档，有 A24个，即有 A34A24个；
而 0 在首位时，有 A23A23个， 即有 A34A24－A23A23＝252 个含有 2,3，但它们不相邻的五位数； (2)在六个位置先排 0,4,5，先不考虑 0 是否在首位，则有 A36个，去掉 0 在首位， 即有 A36－A25个，0,4,5 三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3 必须由大到小 进入相应位置，并不能自由排列，所以有 A36－A25＝100 个六位数 另：用倍缩法得AA51A33 55＝100.
• (3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名， 一所2名，一所3名，则有__________种不同
第十九页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
解析：(1)先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C26AC2433C22种方法，再将 3 组毕业生分 到 3 所学校，有 A33＝6 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有C26AC2433C22·A33＝ 90 种不同的分派方法．
第二十页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
(3)将 6 名教师分组，分三步完成： 第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种分法； 第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种分法； 第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C33种分法． 根据分步乘法计数原理，共有 C16C25C33＝60 种分法． 再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A33＝6 种分法， 故共有 60×6＝360 种不同的分法．
复数字的四位数； 第 2 类，取 0，此时 2 和 4 只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四
位数，根据分步乘法计数原理可知，共有 C12C23·(A44－A33)＝108(个)没有重复数字的四 位数．根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有 72＋108＝180(个)．
第十七页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 2．排列数与组合数
• (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有不同排Anm列的个数叫做从n
个不同元素中取出m个元素的排列数所，有不用同组合
________表示．
Cnm
• (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的______________的个数，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的组合数， 用__________表示．
• 【例4】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教 育，在全国重点师范大学免费培养教育专业 师范生，毕业后要分到相9应0 的地区任教．现 有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均
1 5分60配到3所学校去任教，有__________种不同 的分派方法．
• 3(620)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人， 每人至少1本的不同分法共有__________种 (用数字作答)．
• A．24种 B．60种 • C解．析：9可0先种排 C，D，ED三．人，1共2有0A种35种，剩余 A，B 两人只有一种排法．故满
足条件的排法共有 A35×1＝60 种．
第九页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 4．方程3A＝2A＋65A的解为__________.
解析：由排列数公式可知 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3 且 x∈N ，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 即 3x2－17x＋10＝0，解得 x＝5 或23(舍去)，∴x＝5.
第五页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 3．排列数、组合数的公式及性质
Anm＝___n_(_n_－__1__)(_n_－___2_)_…__(_n_－__m__＋__1_)＝n－n！m！ 公式 Cnm＝AAmnmm＝n__n_－__1__n_－__m2_！_…___n_－__m_＋__1____＝m！nn！－m！ 性质 0！＝____1____；Ann＝__n_！____
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 2．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字 大的正整数(如1 458)，若把四1 3位59“渐升数” 按从小到大的顺序排列，则第30个数为
_解_析_：_“_渐__升_数_”_由.小到大排列，形如
的“渐升数”共有 6＋
5＋4＋3＋2＋1＝21 个；
形如
的“渐升数”共有 5 个；
第二页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
栏目导 航
板块一 板块二 板块三 板块四
第三页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 1．排列与组合的概念
名称 排列 组合
从n个不同元 素中取出 m(m≤n)个元 素
定义 一定按的照顺序
_____________排 成一列
合成一组
第四页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
第十页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
5．已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，则 C8m＝_____2_8____. 解析：由已知得 m 的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}， m！55－！m！－m！66－！m！＝7×170－×m7！！m！， 整理可得 m2－23m＋42＝0，解得 m＝21(舍去)或 m＝2. 故 C8m＝C28＝28.
第十四页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 【例2】 (1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同 时取4个不同D 的数，其和为偶数，则不同的取 法的种数是( )
• A．60 B．63 • C．65 D．66 • (326)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，
B解，析：C(1三)因为人1,2必,3，须…，入9 中选共有，4 个则不同有的_偶_数_和_5_个_不_同_的_奇_种数，不要使同和为 偶数选，则法4 个．数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有 C45＋C44＋C25C24
•四 分组分配问题
• 分组分配问题的处理策略 • (1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分
配，在分组时，通常有三种类型：①不均匀 分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意 各种分组类型中，不同分组方法的差异． • (2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方 法是采用“隔板法”．数”共有 4 个，故此时共有 21＋5＋4＝30 个，
因此从小到大顺序排列的四位“渐升数”的第 30 个数为 1 359.
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 3．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数 字的自然数，求：
• (1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？ • (解2析)有：(1多)先不少考个虑 0数是否字在首1位,2，,30,1必,4,5须先排由三个大位到置，小顺序排列
第三步 — 方法总数
第十六页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 【例3】 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个 奇数和两个偶C数，组成没有重复数字的四位数 的个数为( ) • 解A析：．分3两0类0：第 1 类，不B取．0，2即1从61,2,3,4,5 中任C取．两个1奇8数0和两个偶数，组 成没有重复数字的四位数，根据D分．步乘1法6计2数原理可知，共有 C23C22A44＝72(个)没有重
布 第56讲 排列与组合
第一页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
考纲要求 考情分析
命题趋势
1.理解排列、 2016，全国 组合的概念 卷Ⅲ，12T
．
2016，四川
2．能利用
卷，4T
计数原理推 2014，辽宁
导排列数公 卷，6T
两个计数原理与排 列、组合的综合问 题是高考的热点， 以考查基本概念、 基本方法(如“含 ”“不含”问题、
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 4．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数， 试问：
• (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ • (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？ • (解3析)(：1()1中)分三的步完七成位：第数一步中，在，4 个偶偶数数中排取 3在个，一有起C34种，情况奇；第数二也步， 在 5排个奇在数中一取起4 个的，有有C45种几情个况；？第三步，3 个偶数，4 个奇数进行排列，有 A77种
(2)把 6 本不同的书分成 4 组，每组至少 1 本的分法有 2 种． ①有 1 组 3 本，其余 3 组每组 1 本，不同的分法共有C36CA13C33 21C11＝20(种)； ②有 2 组每组 2 本，其余 2 组每组 1 本，不同的分法共有CA26C22 24·CA12C22 11＝45(种)．所 以不同的分组方法共有 20＋45＝65(种)．然后把分好的 4 组书分给 4 个人，所以不同 的分法共有 65×A44＝1 560(种)．
第七页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字C 的四位 偶数的个数为( )
• A．8 B．24 • C解．析：4C812×A34＝D2．×4×132×02＝48.
第八页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果 B必须在A的右B侧(A，B可以不相邻)，那么不 同的排法共有( )
第十二页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 【例1】 (1)3名男生，4名女生，选其2中5205人排 成一排，则有__________种不同的排法．
• (2)将某大学4名大四学生，安排到某城市的甲、 乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每 所1学8 校都分一名学生，且学生A不分到甲 校 种解(2)析先．．：将(则1A)问分不题配即到同为乙从校的，7 个再实元分习素配中另安选外出3排个5 个学方全生排，案出有共，A有33种有A，57＝同_2理_5_可20_得种_，排_将法_A．_分_配_到
＝66 种不同的取法． (2)只需从 A，B，C 之外的 9 人中选择 2 人，即有 C29＝36 种选法．
第十五页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
•三 排列组合的综合问题
• 利用先选后排法解决问题的三个步骤
第一步 — 选元素，即选出符合条件的元素 |
第二步 — 进行排列，即把选出的元素按要求进行排列 | 计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算
丙校、丁校各有 A33种，则共有 3A33＝18 种．
第十三页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
•二 组合问题
• (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题 型．“含”，则先将这些元素取出，再由另 外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔 除，再从剩下的元素中去选取．
• (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型， 考虑逆向思维，用间接法处理．
Cnm＝Cnn－m；Cnm＋1＝_C__nm_＋__C_mn_－_1_
第六页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2)Amn ＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m)．( × ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．( × ) (4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同 的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( √ ) (5)C22＋C23＋C24＋…＋C2n＝C3n＋1.( √ )
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 1．从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字 组成一个没有重9复6 数字且能被3整除的四位数， 这解析样：依的题四意，位只需数组成有的_四_位_数_各_位_数_字_的_和_个能被．3 整除．将这 6 个数字按
照被 3 除和余数分类，共分为 3 类：{0,3}，{1,4}，{2,5}，若四位数含 0，则另外 3 个数字分别为 1,4 之一，2,5 之一，3，此时有 C12C12C13A33＝72 种；若四位数不含 0， 则 4 个数字为 1,2,4,5，此时有 A44＝24 种，由分类计数原理，这样的四位数有 72＋24 ＝96 个．
第十一页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
•一 排列问题
• (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时 有位置分析法、元素分析法，在实际进行排 列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排 有限制条件的元素或有限制条件的位置，对 于分类过多的问题可以采用间接法．
• (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用
的则有六A34位个，数2,3 ？去排四个空档，有 A24个，即有 A34A24个；
而 0 在首位时，有 A23A23个， 即有 A34A24－A23A23＝252 个含有 2,3，但它们不相邻的五位数； (2)在六个位置先排 0,4,5，先不考虑 0 是否在首位，则有 A36个，去掉 0 在首位， 即有 A36－A25个，0,4,5 三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3 必须由大到小 进入相应位置，并不能自由排列，所以有 A36－A25＝100 个六位数 另：用倍缩法得AA51A33 55＝100.
• (3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名， 一所2名，一所3名，则有__________种不同
第十九页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
解析：(1)先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C26AC2433C22种方法，再将 3 组毕业生分 到 3 所学校，有 A33＝6 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有C26AC2433C22·A33＝ 90 种不同的分派方法．
第二十页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
(3)将 6 名教师分组，分三步完成： 第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种分法； 第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种分法； 第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C33种分法． 根据分步乘法计数原理，共有 C16C25C33＝60 种分法． 再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A33＝6 种分法， 故共有 60×6＝360 种不同的分法．
复数字的四位数； 第 2 类，取 0，此时 2 和 4 只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四
位数，根据分步乘法计数原理可知，共有 C12C23·(A44－A33)＝108(个)没有重复数字的四 位数．根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有 72＋108＝180(个)．
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• 2．排列数与组合数
• (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有不同排Anm列的个数叫做从n
个不同元素中取出m个元素的排列数所，有不用同组合
________表示．
Cnm
• (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的______________的个数，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的组合数， 用__________表示．
• 【例4】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教 育，在全国重点师范大学免费培养教育专业 师范生，毕业后要分到相9应0 的地区任教．现 有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均
1 5分60配到3所学校去任教，有__________种不同 的分派方法．
• 3(620)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人， 每人至少1本的不同分法共有__________种 (用数字作答)．
• A．24种 B．60种 • C解．析：9可0先种排 C，D，ED三．人，1共2有0A种35种，剩余 A，B 两人只有一种排法．故满
足条件的排法共有 A35×1＝60 种．
第九页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 4．方程3A＝2A＋65A的解为__________.
解析：由排列数公式可知 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3 且 x∈N ，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 即 3x2－17x＋10＝0，解得 x＝5 或23(舍去)，∴x＝5.
第五页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 3．排列数、组合数的公式及性质
Anm＝___n_(_n_－__1__)(_n_－___2_)_…__(_n_－__m__＋__1_)＝n－n！m！ 公式 Cnm＝AAmnmm＝n__n_－__1__n_－__m2_！_…___n_－__m_＋__1____＝m！nn！－m！ 性质 0！＝____1____；Ann＝__n_！____
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 2．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字 大的正整数(如1 458)，若把四1 3位59“渐升数” 按从小到大的顺序排列，则第30个数为
_解_析_：_“_渐__升_数_”_由.小到大排列，形如
的“渐升数”共有 6＋
5＋4＋3＋2＋1＝21 个；
形如
的“渐升数”共有 5 个；
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栏目导 航
板块一 板块二 板块三 板块四
第三页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 1．排列与组合的概念
名称 排列 组合
从n个不同元 素中取出 m(m≤n)个元 素
定义 一定按的照顺序
_____________排 成一列
合成一组
第四页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
第十页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
5．已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，则 C8m＝_____2_8____. 解析：由已知得 m 的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}， m！55－！m！－m！66－！m！＝7×170－×m7！！m！， 整理可得 m2－23m＋42＝0，解得 m＝21(舍去)或 m＝2. 故 C8m＝C28＝28.
第十四页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 【例2】 (1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同 时取4个不同D 的数，其和为偶数，则不同的取 法的种数是( )
• A．60 B．63 • C．65 D．66 • (326)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，
B解，析：C(1三)因为人1,2必,3，须…，入9 中选共有，4 个则不同有的_偶_数_和_5_个_不_同_的_奇_种数，不要使同和为 偶数选，则法4 个．数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有 C45＋C44＋C25C24
•四 分组分配问题
• 分组分配问题的处理策略 • (1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分
配，在分组时，通常有三种类型：①不均匀 分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意 各种分组类型中，不同分组方法的差异． • (2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方 法是采用“隔板法”．数”共有 4 个，故此时共有 21＋5＋4＝30 个，
因此从小到大顺序排列的四位“渐升数”的第 30 个数为 1 359.
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 3．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数 字的自然数，求：
• (1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？ • (解2析)有：(1多)先不少考个虑 0数是否字在首1位,2，,30,1必,4,5须先排由三个大位到置，小顺序排列
第三步 — 方法总数
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• 【例3】 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个 奇数和两个偶C数，组成没有重复数字的四位数 的个数为( ) • 解A析：．分3两0类0：第 1 类，不B取．0，2即1从61,2,3,4,5 中任C取．两个1奇8数0和两个偶数，组 成没有重复数字的四位数，根据D分．步乘1法6计2数原理可知，共有 C23C22A44＝72(个)没有重