德拜势中类氢原子能级近似解析式与幂级数求解

第 19 卷第 2 期 2))2 年 * 月
原子与分子物理学报
+,-./0/ 1234.56 27 5829-+ 5.: 926/+3654 ;,<0-+0
文章编号：1)))?)@A（* 2))2）)2?)1BA?)C
Vol. 19，( . 2 5=>. ，2))2
德拜势中类氢原子能级近似解析式与 幂 级 数 求 解*
P）！
（12）
x = 1（/ z∧）
（12' ）
对于 1 s - 7 i 态，由（12）式可进一步得到更为明晰的解析式，见表 1。
当 l = n - 1 时，n - l - 1 = 0，这时（12）式中 S = P = 0，很容易算出 fnn-（1 x）的简捷表达式 fnn-（1 x）= 1（/ 1 + nx / 2）2n
（8）
∫ Δεnl = φ*n（l →r ）ΔH^φn（l →r ）（d →r ） v
将归一化的类氢原子在库仑场中的径向波函数［2，3］
（9）
[ ] ( ) Rn（l r）=
（ n + l）！ （ n - l - 1）！ 1 / 2 2n
2z n
l+3/2
r - Zr / n ×
( ) Σ n- l-1 （ - 1）S S
1120（/ 1 + 5 x / 2）8 - 560（/ 1 + 5 x / 2）9 + 126（/ 1 + 5 x / 2）10
5p
20（/ 1 + 5 x / 2）4 - 120（/ 1 + 5 x / 2）5 + 345（/ 1 + 5 x / 2）6 - 580（/ 1 + 5 x / 2）7 + 588（/ 1 + 5 x / 2）8 - 336（/ 1 + 5 x / 2）9 +
微扰展开法，束缚态本征值 Enl 为
Enl = εnl + Δεnl
（7）
其中εnl 为类氢原子在库仑势中的能量本征值，H^ 0φnl = εnφl nl，φnl 为相应的本征波函数，包括角度部分波函数
（球函数）和径向波函数 Rn（l r）若选取 Ryd 单位，则
εnl = - Z / n2
（Ryd）
+
1 nx / 2）2n
（Ryd）
（14'）
利用表 1 解析式及（14）式，可计算出类氢原子 1 s - 7 i 各定态的能级，计算结果见表 2。当 n > 7 时，可直接利
用（14）式和（12）式进行计算。
表 1 fn（l x）的解析表达式
nl
fn（l x）
1s
1（/ 1 + x / 2）2
2s
2（/ 1 + x）2 - 4（/ 1 + x）3 + 3（/ 1 + x）4
能量自洽法，求出了相当于二阶修正的德拜势下类氢原子的能级值，并就其计算结果与数值解进行了比较。
同时，讨论了相应的临界束缚能态与截断条件。
关键词：德拜势；递推关系；能量自洽法；临界束缚能态
中图分类号：2BA2
文献标识码：5
1 引言
等离子体环境对处于其中离子的屏蔽问题在许 多物理学领域都具有很重要的意义。很长时间以来 在惯性约束聚变（-+7）和 O 射线激光研究中所采用 的是孤子原子模型，尚未将等离子体环境的影响考 虑进去，因而很有必要考虑靶离子在屏蔽下的行为。 因为等离子中自由电子等对离子的屏蔽，离子所受 库仑力及电势将受到影响。由于德拜势（:DEFD）广 泛应用于超导的 6oNMoN 理论，核力的 <PQPG 理论， 凝聚态中的 :DEFD?,RKQDl 理论，通常对类氢原子在 高温 低 密 度 等 离 子 体 中 的 屏 蔽 物 理 模 型 均 采 用 :DEFD 势。
2 德拜势中原子能级的近似解析式
对于高温气体离子间的相互作用，通常可用德
拜一休克耳（:DEFD?,RKQDl）势描述，某一具有 Ze 电
荷的离子，由于相邻的其他带电粒子存在，在 Ze 周
围形成一个非均匀的带电云，起着静电屏蔽的作用，
使得静电势 Ze / r 有所降低，这时静电势能可表为
V
=
Ze2 r
6p
35（/ 1 + 3 x）4 - 280（/ 1 + 3 x）5 + 1120（/ 1 + 3 x）6 - 2800（/ 1 + 3 x）7 + 4676（/ 1 + 3 x）8 - 5264（/ 1 + 3 x）9 + 3864（/ 1 +
3 x）10 - 1680（/ 1 + 3 x）11 + 330（/ 1 + 3 x）12
6g
10（/ 1 + 3 x）10 - 20（/ 1 + 3 x）11 + 11（/ 1 + 3 x）12
6h
1（/ 1 + 3 x）12
…
7i
1（/ 1 + 7 x / 2）14
3 波函数幂级数解法中的递推关系
德拜势条件下采用原子单位（a . u）的定态薛定谔方程为 H^ψ =（ - ▽2 / 2 + V（ r））ψ = Eψ
在孤立原子模型中，原子（离子）具有无穷个束 缚态，即主量子数 n → S ，但在实际中，由于两个方 面的影响，即在密度一定时原子有效半径有限和外 场（表现为屏蔽）的存在，使得原子在一定物理条件 下具有最大（临界）束缚态，大家对此问题感兴趣的 原因是它在原子物理，凝聚态物理和天体物理上的 重要 应 用。 在 本 文 中，我 们 采 用 德 拜 势 来 求 解 0KJ>LMHNID> 方程以及相应的能级截断问题。
（ - 1）S+ （P 2 l + + 1 + S）！ （ n - l
S + P + 1）！ （1 + n / 2∧z）-（2l + S + P +2） - 1 - S）！P！ （2 l + 1 + P）！ （ n - l - 1
-
P）！
= 2nz2［2 1 - fn（l x）］
（11）其中Fra bibliotekΣ fnl
=（ n
+
l）！ （ n
-
l
n- l-1
- 1）！
S，P
S！ （2 l
（ - 1）S + （P 2 l + S + P + 1）！ （1 + nx / 2）-（2l + S + P +2） + 1 + S）！ （ n - l - 1 - S）！P！ （2 l + 1 + P）！ （ n - l - 1 -
e-
r
/∧
= H^ 0 + ΔH^
其中 H^ 0 为类氢原子在库仑势中的哈密顿算符：
H^ 0
=
-
ħ2 2m
▽2
-
Ze2 r
（4）
因而德拜势中定态薛定谔方程有如下形式 （H^ 0 + ΔH^ ）ψ = Eψ
（5）
其中
ΔH^ = Zre（2 1 - e- r /∧）
（6）
在高温低密度等离子中（ Ne < 1019cm3，德拜半径 ∧ 的值：∧ > 102，因而 | ΔH^ | 《 H^ 0，按 Rayleigh-Schrödinger
2p
1（/ 1 + x）4
3s
3（/ 1 + 3 x / 2）2 - 12（/ 1 + 3 x / 2）3 + 24（/ 1 + 3 x / 2）4 - 24（/ 1 + 3 x / 2）5 + 10（/ 1 + 3 x / 2）6
3p
4（/ 1 + 3 x / 2）4 - 8（/ 1 + 3 x / 2）5 + 5（/ 1 + 3 x / 2）6
由于德拜势debye泛应用于超导的london理论核力的yukua理论凝聚态中的debye2hckel理论通常对类氢原子在温低密度等离子体中的屏蔽物理模型均采用debye在孤立原子模型中原子离子具有无穷个束但在实际中由于两个方给出了德拜势中类氢原子能级能级一阶修采用波函数幂级数解法求出了相当于二阶修正的德拜势下类氢原子的能级德拜势中原子能级的近似解析式对于高温气体离子间的相互作用通常可用德debye2hckel势描述某一具有ze使得静电势ze这时静电势能可表为面的影响即在密度一定时原子有效半径有限和外ze场表现为屏蔽的存在使得原子在一定物理条件下具有最大临界束缚态大家对此问题感兴趣为德拜半径德拜屏蔽长度当其考虑自由电子的屏蔽作用时原因是它在原子物理凝聚态物理和天体物理上的重要schrdinger方程以及相应的能级截断问题本文的主要工作采用rayleigh2schrdinger其中ne为等离子中的电子密度收稿日期
6d
56（/ 1 + 3 x）6 - 336（/ 1 + 3 x）7 + 924（/ 1 + 3 x）8 - 1456（/ 1 + 3 x）9 + 1368（/ 1 + …）10 - 720（/ …）11 + 165（/ …）12
6f
36（/ 1 + 3 x）8 - 144（/ 1 + 3 x）9 + 234（/ 1 + 3 x）10 - 180（/ 1 + 3 x）11 + 55（/ 1 + 3 x）12
本文的主要工作：①采用 4GFlDHIJ?0KJ>LMHNID> 微
扰法，给出了德拜势中类氢原子能级、能级一阶修正 与原子能级的近似解析式；②采用波函数幂级数解 法，求得了德拜势下相关的递推关系；③利用能量自 洽法，求出了相当于二阶修正的德拜势下类氢原子 的能级值，并就其计算结果与数值解进行了比较、分 析；④讨论了相应的临界束缚能态与截断条件。
D-
r
/∧
（1）
式中 ∧ 为德拜半径（德拜屏蔽长度），当其考虑自由
电子的屏蔽作用时［1］
( ) ∧ =
*πe2
Ne KT
-1/2
（2）
其中 Ne 为等离子中的电子密度，T 为电子热平衡温
度。经计算，当等离子温度 T = 1B))) T，Ne =
* 收稿日期：2))1?)9?2* 基金项目：重庆市教育委员会资助项目（99)21@）和重庆市科委应用基础研究基金资助课题（1999AA） 作者简介：胡先权（19** U ），四川双流县人，重庆师范学院物理系教授，硕导，主要从事数学物理方程，理论物理方向的研究。
3d
1（/ 1 + 3 x / 2）6
4s
4（/ 1 + 2 x）2 - 24（/ 1 + 2 x）3 + 78（/ 1 + 2 x）4 - 152（/ 1 + 2 x）5 + 180（/ 1 + 2 x）6 - 120（/ 1 + 2 x）7 + 35（/ 1 + 2 x）8
4p
10（/ 1 + 2 x）4 - 40（/ 1 + 2 x）5 + 70（/ 1 + 2 x）6 - 60（/ 1 + 2 x）7 + 21（/ 1 + 2 x）8
5g
1（/ 1 + 5 x / 2）10
6s
6（/ 1 + 3 x）2 - 60（/ 1 + 3 x）3 + 345（/ 1 + 3 x）4 - 1320（/ 1 + 3 x）5 + 3560（/ 1 + 3 x）6 - 6912（/ 1 + 3 x）7 + 9960（/ 1 + 3 x）8
- 9520（/ 1 + 3 x）9 + 6300（/ 1 + 3 x）10 - 2520（/ 1 + 3 x）11 + 462（/ 1 + 3 x）12
（13）
由上述解析式可进一步得到德拜势条件下的类氢原子能级近似解析式
第 19 卷第 2 期
胡先权等：德拜势中类氢原子能级近似解析式与幂级数求解
151
Enl
=-
z2 n2
+ 2nz2［2 1 -
fn（l x）］
（Ryd）
（14）
当 l = n - 1时
[ ] Enl
=-
z2 n2
+
2 z2 n2
1
-（1
150
原子与分子物理学报
2002 年
1017cm3 时，这时德拜半径 ∧ = 56（5 Ryd）。由于自由电子的存在，带电离子的哈密顿算符为：
H^
=-
ħ2 2m
▽2
-
V
=
-
ħ2 2m
▽2
-
Ze2 r
e-
r
/∧
（3）
哈密顿算符可改写为
( ) H^
=-
ħ2 2m
▽2
-
Ze2 r
+
Ze2 r
-
Ze2 r
84（/ 1 + 5 x / 2）10
5d
21（/ 1 + 5 x / 2）6 - 84（/ 1 + 5 x / 2）7 + 140（/ 1 + 5 x / 2）8 - 112（/ 1 + 5 x / 2）9 + 36（/ 1 + 5 x / 2）10
5f
8（/ 1 + 5 x / 2）8 - 16（/ 1 + 5 x / 2）9 + 9（/ 1 + 5 x / 2）10
胡先权1，胡文江2，马 勇1
（1 . 重庆师范学院物理系，重庆 *)))*C；2 . 重庆邮电学院电子信息工程系，重庆 *)))AB）
摘要：对德拜势（:DEFD）中类氢原子的能级问题采用 4GFlDHIJ?0KJ>LMHNID> 微扰展开，给出了能级的一阶修正与
原子能级的近似解析式。同时，采用波函数幂级数解法，求得了德拜势下相关的递推关系。在此基础上，利用
采用约化径向波函数 P（ n，l / r）= Rn（l r）r
则 P（ n，l / r）满足约化径向波函数方程
（15） （16）
152
原子与分子物理学报
2002 年
( ) d2
P（ n，l d r2
/
r）+
2E
-
2 V（ r）-
4d
6（/ 1 + 2 x）6 - 12（/ 1 + 2 x）7 + 7（/ 1 + 2 x）8
4f
1（/ 1 + 2 x）8
5s
5（/ 1 + 5 x / 2）2 - 40（/ 1 + 5 x / 2）3 + 180（/ 1 + 5 x / 2）4 - 520（/ 1 + 5 x / 2）5 + 1010（/ 1 + 5 x / 2）6 - 1320（/ 1 + 5 x / 2）7 +
2 zr n
S
S！ （2 l + 1 -
1 S）！ （ n -
l -1-
S）！
代入（9）式，经计算化简可得
（10）
∫ [ ] Δεnl =