Linear System Theory_Lec 2--第二章_状态空间与传递函数

Linear System Theory Lecture 3
侯忠生 北京交通大学先进控制系统研究所 Tel: 51688617(办) Add: 9楼西504室
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第二章：线性系统的状态空间描述
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线性系统的状态空间描述也称为时间域理 论。是指以时间域数学模型为系统描述的， 直接在时间域内分析和综合线性系统的运 动和特性的理论。 20世纪60年代以后，Kalman将状态和状态 空间的概念和方法系统地引入到系统和控 制理论中来，极大地推动了时间域理论的 发展 。 采用状态空间描述作为系统的数学模型， 并以状态空间方法为核心。
)
(
)
Y ( s) bm s m + bm−1 s m−1 + +b1 s + b0 = n U ( s) s + a n −1 s n −1 + + a 1 s + a 0 bm s m + bm−1 s m−1 + +b1 s + b0 G ( s) = n s + a n −1 s n −1 + + a 1 s + a 0
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一个动态系统的任意选取的两个状态变量组 之间为线性非奇异变换的关系。
⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ x = ⎢ ⎥, x = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xn ⎥ ⎢ xn ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎧ x1 = p11 x1 + ⎪ ⎨ ⎪x = p x + n1 1 ⎩ n + p1n xn + pnn xn
bm s m + bm−1 s m−1 + +b1 s + b0
的零点叫做系统的零点。 • 如果系统有相同的零点和极点，则称这个 系统有零极相消。
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• 零极相消后剩下的系统的极点和零点分别 称为传递函数G(s)的极点和零点。 • 如果相消后剩下的系统的极点和零点都在 复平面的左半开平面内，那么称这个系统 为最小相位的。 • 系统的特征多项式的次数称为系统的阶。 注1：传递函数的确刻画了系统的输入-输 出关系，反映了系统的外部信息。 注2：内部结构完全不同的系统，其传递 函数可以完全一样。
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组成这个变量组的变量 x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t ) 称为
t 系统的状态变量，其中 t ≥ t 0 ，0 为初始时刻
状态变量构成的列向量
⎡ x1 (t ) ⎤ ⎥, t ≥ t x (t ) = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ xn (t ) ⎥ ⎣ ⎦
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多入多出系统传递函数矩阵及相关定义
{u1 , u2 , { y1 , y 2 ,
输入变量 , y m } 输出变量 g ij ( s) 系统的由第个j输入端到第i个输出端 的传递函数 叠加原理 初始条件为零。
ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧ y1 ( s ) = g 11 ( s )u1 ( s ) + g 12 ( s )u 2 ( s ) + + g 1r ( s )u r ( s ) ⎪ˆ ˆ ˆ ˆ ⎪ y 2 ( s ) = g 21 ( s )u1 ( s ) + g 22 ( s )u 2 ( s ) + + g 2 r ( s )u r ( s ) ⎨ ⎪ ⎪ y m ( s ) = g m1 ( s )u1 ( s ) + g m 2 ( s )u 2 ( s ) + + g mr ( s )u r ( s ) ˆ ˆ ˆ ⎩ˆ
称为系统的状态向量，简称为状态。 状态向量取值的向量空间称为状态空间。
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几点解释 ： 1、状态变量组可完全地表征系统行为。只 要给定这组变量 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )在初始时刻 的值，以及输入变量 u1 (t ), u2 (t ), , ur (t ) 在 t ≥ t0 各瞬时的值，则系统中任何一个变量在 t ≥ t 0 时的运动行为也就随之完全确定了。 2、状态变量组的最小性。系统变量中的极 大线性无关组。 3、状态变量组选取上的不唯一性。
y ( i ) = d i y / dt i , u ( j ) = d j u / d t j , m ≤ n
bm u ( m ) + bm −1u ( m −1) +
⎧ x = Ax + bu ⎨ ⎩ y = cx + du
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方法I 引入微分算子符号p=d/dt，则输入-输 出描述可表为
当 m ≤ n时 有理传函。 物理可实 现。
称G(s)是系统的传递函数（Transfer Function) • 多项式
s n + a n −1 s n −1 + +a1 s + a 0
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叫做系统的特征多项式。
• 代数方程 s n + a n −1 s n −1 + + a1 s + a 0 = 0 叫做系统的特征方程 。 • 特征方程的根或者说特征多项式的零点叫 做系统的极点。 • 多项式
⎧ y1 = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t ) ⎪ ⎨ ⎪ y = g ( x , , x ;u , ,u ;t ) m 1 n 1 r ⎩ m
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向量方程的形式
y = g( x , u, t )
其中
⎡ y1 ⎤ ⎡ g1 ( x , u, t ) ⎤ ⎥ y = ⎢ ⎥ , g ( x , u, t ) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ym ⎥ ⎢ g m ( x , u, t ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ p11 P=⎢ ⎢ ⎢ pn1 ⎣
p1n ⎤ ⎥ ⎥ pnn ⎥ ⎦
同理， x = Qx
x = Px
PQ = QP = I
北京交态空间描述
状态方程为一阶非线性时变微分方程组
⎧ x1 = f1 ( x1, , xn;u1, , ur ;t ) ⎪ t ≥ t0 ⎨ ⎪x = f ( x , , x ;u , , u ;t ) n 1 r ⎩n n 1
时变系 统
系统矩阵、输入矩阵、测矩阵或输出矩阵、 前馈矩阵。 时不变系统 定常系统 系统矩阵A的特征值、特征向量、Jordan标 准型、特征方程和特征多项式为系统的特 征值、特征向量、Jordan标准型、特征方 北京交通大学先进控制系统研究所 程和特征多项式。
⎧ x = Ax + Bu , t ≥ t0 L: ⎨ ⎩ y = Cx + Du
⎧ x1 = y (1) = x2 ⎪ 2 x2 = y ( ) = x3 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ( n −1) = xn ⎪ xn −1 = y ⎪ xn = −a0 x1 − a1 x2 − ⎩
− an −1 xn + u
x = [ x1 x 2 xn ]
T
y = b0 x1 + b1 x 2 + +bm x m+1
G(s)为系统的传递函数矩阵。 • 一个或一些传递函数中分母和分子多项式 具有相等的最高幂次时，称G(s)为真有理分 式矩阵；
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当 gij ( s)均为严格真有理分式时，即 gij ( s) 的分子 多项式的最高幂次均小于分母多项式的最高 幂次时，称G(s)为严格真有理分式矩阵。 2.2 线性系统的状态空间描述 内部描述则是系统的一种完全的描述，它 能完全表征系统的一切动力学特性。 完全地表征系统时间域行为的一个最小内 部变量组称为动力学系统的状态。
系统的状态空间描述由状态方程和输出方 程所组成，即
⎧x = f ( x, u, t ), ⎨ ⎩ y = g( x, u, t )
t ≥ t0
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线性系统的状态空间描述
⎧ x = A(t ) x + B (t )u, t ≥ t0 LT : ⎨ ⎩ y = C (t ) x + D(t )u
(
)
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⎧ ~ ( n ) + a n −1 ~ ( n −1) + a1 ~ (1) + a 0 ~ = u y y y ⎪y ⎨ ⎪ y = bm ~ ( m) + bm−1 ~ ( m−1) + +b1 ~ (1) + b0 ~ y y y y ⎩
x1 = ~ , x 2 = ~ (1) , y y , x n = ~ ( n −1) y
假设系统输出y及它直到n-1阶导数，输入 u以及它直到m-1阶导数在初始时刻的值均 为零。则取Laplace变换得
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(s
n
+ a n −1 s n −1 + + a1 s + a 0 Y ( s) = bm s m + bm−1 s m−1 + +b1 s + b0 U ( s)
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⎧ 1 ⎡ 0 ⎪ ⎢ ⎪x = ⎢ ⎪ ⎢ 0 ⎨ ⎢ ⎪ ⎢ ⎣ − a0 − a1 ⎪ ⎪ y = [b0 bm 0 ⎩
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动态 方程
向量形式
x = f ( x , u, t ),
其中 输出方程
t ≥ t0
⎡ x1 ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎡ f1 ( x , u, t ) ⎤ ⎥ x = ⎢ ⎥ , u = ⎢ ⎥ , f ( x , u, t ) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xn ⎥ ⎢ur ⎥ ⎢ f n ( x , u, t ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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2.1 线性系统的传递函数描述 传递函数描述的是系统的输入-输出关系。 用它描述系统时，是假定对系统结构的内 部信息一无所知，能够得到的只是系统的 输入信息和输出信息。 传递函数只能刻画系统的输入-输出特性， 它被称为系统的输入-输出描述或外部描述。 用传递函数方法描述系统所用的数学工具 主要是Laplace变换。
bm p m + bm−1 p m−1 + +b1 p + b0 y= u n n −1 p + a n −1 p + + a 1 p + a 0
当 m = n时，上式中的有理分式是真的； 当 m < n 时，这个有理分式是严格真的。 1、当 m = n 时
1 ⎧~ y= n u n −1 ⎪ p + a n −1 p + + a 1 p + a 0 ⎨ ⎪ y = b p m + b p m −1 + + b p + b ~ m m −1 1 0 y ⎩
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对于单输入-单输出线性定常系统，传递函 数是指在初始条件为零的前提下，输出的 Laplace变换与输入的Laplace变换之比。 单变量情形的传递函数： 常系数微分方程描述的定常线性系统
y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) + + a1 y (t ) + a0 y (t ) = + b1u (t ) + b0u (t ) bm u ( m ) (t ) + bm −1u ( m −1) (t ) +
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, ur }
向量方程的形式
ˆ ⎡ y1 ( s ) ⎤ ⎡ g11 ( s ) ⎥=⎢ ˆ y (s) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ym ( s )⎥ ⎢ g m1 ( s ) ⎦ ⎣ ⎣ˆ ˆ g1r ( s ) ⎤ ⎡ u1 ( s ) ⎤ ⎥ = G ( s ) u( s ) ⎥⎢ ˆ ⎥ ⎥⎢ g mr ( s )⎥ ⎢ur ( s )⎥ ⎦ ⎦ ⎣ˆ
对离散时间系统来说： 一般形式为： x(k + 1) = f ( x(k ), u (k ), k ),
k = 1, 2,...
y (k ) = g ( x(k ), u (k ), k )
线性的离散时间系统：
x(k + 1) = G (k ) x(k ) + H (k )u (k ), y (k ) = C (k ) x(k ) + D(k )u (k ) k = 1, 2,...
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系统按其状态空间的分类：
线性系统 确定性系统 非线性系统
时变系统 时不变系统 连续系统 离散系统
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2.3 化输入-输出描述为状态空间描述 由输入-输出描述确定状态空间描述的问题 称为实现问题。 问题的提法:
y ( n ) + an −1 y ( n −1) + + a1 y (1) + a0 y = + b1u (1) + b0u