2020年浙江省宁波市普通高中保送生模拟测试数学试卷3

2020年宁波市普通高中保送生模拟测试数学试卷3一、选择题（每小题5分，共25分）
1．设a，b为整数，方程x2+ax+b=0的一根是√4−2√3，则a2+b2
ab
的值为（）A．2 B. 0 C. -2 D. -1
2．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=40°，则
∠CAD的度数是（）
A．50° B. 80° C. 90° D. 70°
3．已知△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC 相似而不全等，则这样的△A1B1C1的个数为（）
A．0 B. 1 C．2 D. 3
4．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，
点B恰好落在函数y=ax2(a<0)的图象上，则a的
值为（）
A．−√2 B.-1 C. −3√2
4D.−√2
3
5．如图，圆内接四边形ABCD中，∠A、∠D的角平分线交于点E，过点E作线段MN∥BC，与AB，CD分别交于点M，N，则总
有MN等于（）.
A．BM+DN B. AM+CN
C. BM+CN
D. AM+DN
二、填空题（每小题5分，共20分）
1．若关于x的不等式|x+a|<b的解集为2<x<4，则ab的值是。

2．如果函数y=b与函数y=x2−3|x−1|−4x−3的图象恰好有三个交点，则b= 。

3．如图，已知点(1,3)在函数y=k
x
(x>0)的图象上。

正方形
ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数
y=k
x
(x>0)的图象又经过A、E两点，则点E的坐标
为。

4．如图，△ABC中，AD
AB =x,AE
AC
=y,S∆ABC=2,且y−x=1
2
，
则△BED的最大面积为.
三、解答题（每小题15分，共30分）
1．如图所示，已知P(2,3)是反比例函数y=k
x
图象上的一点。

（1）求过点P且与双曲线y=k
x
只有一个公共点的一
次函数解析式；
（2）Q是第三象限内双曲线上一动点，过点Q的直
线与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于C、D两点，设（1）中求得的一直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，试证：OC·OD=OA·OB；（3）由（2），试分析当四边形ABCD面积最小时的形状。

2．在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等,则称点B是点A的“等距点”。

（1）若点A的坐标为(0,2)，点P1（2，2）、P2（1，-4）、P3（-√3，1）中，点A 的“等距点”是。

（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标。

x(x>0)的图像为L，⊙T的半径为2，圆心为T（0，t），若（3）记函数y=√3
3
在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t 的取值范围。

数学试卷答案一、选择题（每小题5分，共25分）
1．C 2. B 3. C 4. D 5. D
二、填空题（每小题5分，共20分）
1．-3 2. -6或−25
43. （√6，√6
2
） 4. 9
8
三、解答题（每小题15分，共30分）
1. (1)反比例函数为y=6
x ，一次函数为y=−3
2
x+6………………5分
(2)∵过Q的直线与y=6
x
有唯一交点，设为y=mx+n，∴mx2+nx−6=0，∴△=0，
∴n2+24m=0.∴n2=−24m,而OC=n
m ,OD=−n，∴OC∙OD=−n2
m
=24,
又∵OA·OB=24，∴OA·OB=OC·OD……………………………………5分
（3）S
四边形ABCD =1
2
BD·AC=1
2
(6−n)·(4+n
m
−2n−n2
2m
.
而m=−n 2
24,∴S=12+2[36
−n
+(−n)]+12=12+2(
√−n
−√−n)2+24+12
=48+2(
√−n −√−n)2. ∴当
√−n
=√−n时，S min=48。

此时n=−6,m=−3
2
,∴OC=4,OD=6,∴四边形为菱形。

………………5分
2．（1）P
1、P
3
………………………………4分
（2）点A的坐标为（5，5）或（-3，5）。

……………………6分
（3）−2<T≤4.…………………………………………5分。