高等数学答案习题1.1 1.2

习题 1-1(A)1．填空题．(1)函数y 44x -≤≤; (2)函数239x y x +=-的定义域为3x ≠±; (3)函数y =14x ≤≤; (4)函数y =的定义域为x<-3;(5)函数2()sin 2f x x =的周期为2π. 2．设(sin )cos 12x f x =+，求()f x 及(cos )2x f ． 解：(sin )cos 12x f x =+ 212sin 12x =-+ 222sin 2x =- ∴2()22f x x =- 则2(cos )22cos 1cos 22x x f x =-=-3．设20,()30,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，求(1),(0),(3)(5).f f f f x --及 解：(1)211f -=-=355(0)202(3)3272(5)535(5)3535x x f f x x x x f x x x --=+===+-≤-≤⎧⎧-==⎨⎨>>⎩⎩，，，，4．将函数341y x =--用分段形式表示，并作出函数图形． 解：113(41)4444113(41)4244x x x x y x x x x ⎧⎧--≥-≥⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+-<+<⎪⎪⎩⎩，，，，5．判断下列函数的奇偶性．(1) 22(1)y x x =-;解：()()f x f x -=，则为偶函数． (2) 1()1x x e f x e ---=+; 解：11()()11x xx xe ef x f x e e -----===-++，则为奇函数．(3) ()x x f x =+;解：()(2(2()x x x x f x f x -----=+=+=，则为偶函数．6．设()2x y f t x =-,且当x=1时, 21122y t t =-+,求()f x ． 解：当x=1时，2111(1)222t t f t -+=- 2(1)(1)f t t -=-则：2()f x x =．7．求下列函数的反函数． (1) 22x y x-=+; 解：22y xy x +=-221y x y-=+则反函数为：221x y x-=+ (1)x ≠- (2) 331xx y =-; 解：33x x y y -=3log 1y x y =- 则反函数为：3log 1x y x =- (10)x ><或x (3) 2110ln 21x x x y x x e x -⎧-≤<⎪=<≤⎨⎪<≤⎩，，0１，２;解：10x -≤<时，x =y = (x <≤0１)x <≤0１时，y x e =，则反函数为：x y e = (0)x -∞<≤ 1x <≤２时，ln 12y x =+，则反函数为：ln 12x y =+ (22)x e <≤则其反函数为：0ln 1222x y x y y e x x y x e ⎧=<≤⎪⎪==-∞<≤⎨⎪⎪=+<≤⎩01，　，　8．证明：函数()f x 在()a,b 内有界的充分必要条件是在()a,b 内既有上界，又有下界．证明：首先来看必要性设()f x 在()a,b 内有界，且n ≤ ()f x ≤ m()f x ≤ m ，则()f x 有上界m ；n ≤ ()f x ，则()f x 有下界n ； 再来看充分性设()f x 上界和下界分别是m 和n ，取}{M max m n =， n ≤ ()f x ≤ m ，则()f x M ≤，()f x 有界。

9．某厂生产某产品1200t ，每吨定价100元，销售量在900t 以内时，按原价出售；超过900t 时，超过的部分打8折出售，试将销售总收入与总销售量的函数关系用数学表达式表示．解：依题意，设总销售量为x 吨，销售总收入为y 元100900100(900)801200x x y x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩，900，900 1001200x x x ≤⎧=⎨<≤⎩，90018000+80x ，90010．在半径为r 的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高h 的函数，并确定此函数的定义域．解：设圆柱底面半径为R由几何关系得：222+h r R =即R =圆柱体积为：22223(r h )r h V R h h h πππ==-=-(0h <<(B)12．填空题．(1)对一切实数x，有11()22f x +=+，则()f x 是周期为1的周期函数；(2)函数1()arcsin f x x=的定义域为3x ≥； (3)已知()sin f x x =，2(())1f x x ϕ=-，则()x ϕ13．计算题．(1)已知2()x f x e =，(())1f x x ϕ=-，且()0x ϕ≥，求()x ϕ，并写出它的定义域； 解：2()1xx e ϕ-=，则()x ϕ= 定义域为：(1)0ln(1)0x x ->⎧⎨-≥⎩，即0x ≤．(2)设2()f x x =，令22()()()f x h f x g x h +-=，求2()g x ； 解：222()2()2x h x hx h g x x h h h+-+===+ 则：22()2g x x h =+．(3)设()f x =()(((())))n f x f f f x =，并讨论()n f x 的奇偶性和有界性；解：2()f x ==3()f x ==以此类推：()n f x =()()n n f x f x -==-，为奇函数当x=0时，()0n f x =当0x ≠时，()n f x ==()n f x ≤ ∴()n f x 有界．(4)设00,()1x f x x <⎧=⎨≥⎩，，0,试将()()(1)F x f x f x =--表示成分段函数； 解：11101()()(1)100110100000x x F x f x f x x x x x -≥≥⎧⎧⎪⎪=--=-≤<≤<⎨⎨⎪⎪-<<⎩⎩，，，　＝，　，，． (5)求y =解：323y x x x y==- 332y y x += 则反函数：33()2x x y y R +=∈14．证明题．(1)若周期函数()f x 的周期为T 且0a ≠，则()f ax b +得的周期为T a ； 证明：由已知：()()f x f x T =+则：()[()]T f ax b T f a x b a++=++ 得证． (2)若函数()f x 满足1()()0,,c af x bf x a b x x+=≠≠， 则()f x 为奇函数.证明： 1()()c af x bf x x+= (1) 则，1()()af bf x cx x+= (2) (1)+ (2)得：11()[()()]()a b f f x c x x x++=+ 由a b ≠，则()0a b +≠∴111[()()]()[()()]()c f f x x f f x x a b x x-+-=-+=-++ 即()f x 为奇函数．习题1-2(A)1．观察下列一般项为n x 的数列{}n x 的变化趋势，判断它们是否有极限？若存在极限，则写出它们的极限．(1) 11(1)n n x n=+-；有极限，极限为1； (2) 1cos n x n=；有极限，极限为1； (3) 13n n x =；有极限，极限为0； (4) 11n n x n -=+；有极限，极限为1； (5) (1)n n x =-；无极限；(6) sin n x n =；无极限．2．利用数列极限的定义证明．(1) 313lim 414n n n →∞+=-； 证明：3141n n x n +=-令，由于 313714141641n n n n +-=<---， 0,(1),εε∀><于是，对于不妨设要使111,1n n εε<>+-，只须 131,4n n N x εε⎡⎤+>-<⎢⎥⎣⎦因此，对上述，取N=则当时，就有成立， 313lim 414n n n →∞+=-故． (2) 1(1)lim 0nn n→∞+-=； 证明：1(1)nn x n+-=令，由于 1(1)1(1)10n n n n n+-+--=<， 0,(1),εε∀><于是，对于不妨设要使11,n n εε<>，只须 1,0n n N x εε⎡⎤>-<⎢⎥⎣⎦因此，对上述，取N=则当时，就有成立， 1(1)lim 0nn n→∞+-=故．(3) lim 1n n→∞=；证明：n x =令111n-=<， 0,(1),εε∀><于是，对于不妨设要使11,n n εε<>，只须 1,1n n N x εε⎡⎤>-<⎢⎥⎣⎦因此，对上述，取N=则当时，就有成立，lim 1n →∞=故． (4) cos2lim 0n n nπ→∞=； 证明：cos 2n n x nπ=令，由于 cos 120n n n π-<， 0,(1),εε∀><于是，对于不妨设要使11,n n εε<>，只须 1,0n n N x εε⎡⎤>-<⎢⎥⎣⎦因此，对上述，取N=则当时，就有成立， cos2lim 0n n nπ→∞=故．3．证明：若lim n n x a →∞=，则lim n n x a →∞=，并举例说明：数列{}n x 有极限，但数列{}n x 未必有极限．证明：由lim n n x a →∞=及数列极限定义，对0ε∀>，存在正整数N ，当n>N 时， 有n x a ε-<，则：n n x a x a ε-<-<． 故lim n n x a →∞=．举例：数列{}n x 的极限为1，而数列{}n x 11,1,1,1,,(1),n ----无极限．5．设21lim n n x a -→∞=，2lim n n x a →∞=，证明：lim n n x a →∞=． 证明：由极限定义可知，1121,,21n N n N x a εε-∀∃->-<使当时， 222,2n N n N x a ε∃>-<使当时，，112N n +∴> 22N n > 取121max ,22N N N ⎧+⎫⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭则当n>N 时，n x a ε-<，则lim n n x a →∞=7．求极限222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ 解：由于22222111()()()2n n n n n n n n n n n n πππππ<+++<+++++ 21lim ()lim 11n n n n n n nππ→∞→∞==++而 221lim ()lim 11n n n n n n ππ→∞→∞==++由夹逼准则可得222111lim()=12n n n n n n πππ→∞++++++． 8．设122+n x x x =,，证明：数列{}n x 的极限存在，并求其极限．证明：显然21x x >{}1211,,1,lim ,0.2lim 2.k k k k n n n n n n n n k x x x x n x x x x a a x a a x ++++→∞→∞>=>=≥>=>====设对某正整数有则由归纳法可知，对任意的正整数，有即数列单调递增.又易知该数列有上界2，所以由单调有界准则可知：数列收敛.设且在两端求得，故10．求下列极限．(1) 222+3-4lim +2n n n n →∞； 解：2222342+-2+3-4lim =lim 22+21+n n n n n n n n →∞→∞=． (2) 3232--5+6lim 4-2n+1n n n n n →∞； 解：32233231562--+2--5+61lim lim 214-2n+124-+n n n n n n n n n n n→∞→∞==． (3) 3(1)(2)(3)lim 3n n n n n →∞+++； 解：3123(1)(1)(1)(1)(2)(3)1lim lim 333n n n n n n n n n →∞→∞++++++==． (4) 2123lim n n n →∞++++； 解：2211123(1)1lim lim lim 222n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++++===． (5) n 111lim(1++)242n →∞++； 解：n 11-()1112lim(1++)=lim 2124212n n n →∞→∞++=-． (6) 102030(1)(21)lim (21)n n n n →∞+++；解：1020102030103011(1)(2)(1)(21)1lim lim 1(21)2(2)n n n n n n n n→∞→∞++++==++． 12．设数列{}n x 收敛，证明：{}n x 中必有最大项或最小项． 证明：由数列{}n x 收敛，则此数列有界，即n x M ≤ 则{}n x 中必有最大项或最小项．13．设lim n n x a →∞=，且a>b ，证明：存在某正整数N ，使得当n>N 时，有n x b >． 证明：由lim n n x a →∞=，存在某正整数N ，使得当n>N 时， 对0ε∀>，有,n n n x a a x x a εε-<-≤-<则 n x a ε∴>-取ε为无穷小，则n x a b >>．16．设111,2,n x n +===，证明：数列{}n x 收敛，并求其极限． 证明：显然21x x >{}1211,,1,lim ,0.3lim 3.k k k k n n n n n n n n k x x x x n x x x x a a x a a x ++++→∞→∞>=>=≥>=>====设对某正整数有则由归纳法可知，对任意的正整数，有即数列单调递增.又易知该数列有上界3，所以由单调有界准则可知：数列收敛.设且在两端求得，故17．设1=(1)sin 2n n x n π+，证明：数列{}n x 发散． 证明：数列{}n x 有两个子数列： 2k x =0(1,2,)k =，1211=(1)(1)k k x n +++- (1,2,)k =， 而2lim 0k n x →∞=，数列21k x +发散 ∴数列{}n x 发散．。