高考数学一轮复习 122 古典概型课时作业 新人教A版

第2讲 古典概型
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·江西卷)集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 ( )
A.23
B.12
C.13
D.16
解析 从A ，B 中任意取一个数，共有C12·C13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，
2)，(3，1)两种，∴P ＝26＝13
. 答案 C
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有
3种情况，∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13
，故选A. 答案 A
3．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ( )
A.23
B.25
C.35
D.910
解析 设事件“甲或乙被录用”为事件A ，则A －表示甲、乙都未被录用，由古典概型，P(A －)
＝1C35＝110，∴P(A)＝1－110＝910
. 答案 D
4．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n)与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是
( )
A.512
B.712
C.13
D.12
解析 ∵(m ，n)·(－1，1)＝－m ＋n<0，∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，
3)，(5，1)，…，(5，4)，(6，1)，…，(6，5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
∴P ＝1536＝512
，故选A. 答案 A
5．(2014·九江质检)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 ( )
A.23
B.29
C.13
D.79
解析 三位同学每人选择三项中的两项有C23C23C23＝3×3×3＝27种选法，其中有且仅有两人
所选项目完全相同的有C23C23C12＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率为P ＝1827＝23
. 答案 A
二、填空题
6．(2014·江苏卷)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
解析 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，有(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种情况．
满足条件的有(2，3)，(1，6)，共2种情况．故P ＝26＝13
. 答案 13
7．(2014·广东卷)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
解析 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数有C710种选法．要使抽取的七个数的中位数是6，则6，7，8，9必须取，再从0，1，2，3，4，5中任取3个，有C36种
选法，故概率为C36C710＝16
. 答案 16
8．(2014·江西卷)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
解析 从10件产品中任取4件共C410种取法，取出的4件产品中恰有一件次品，有C37C13种
取法，则所求概率P ＝C37C13C410＝12
. 答案 12
三、解答题
9．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率；
(2)求取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率．
解 法一 利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果：
可以看出，试验的所有可能结果数为16种．
(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1—2，2—1，2—3，3—2，3—4，4—3，共6种，
故所求概率P ＝616＝38
. (2)所取两个小球上的标号之和能被3整除的结果有1—2，2—1，2—4，3—3，4—2，共5种．
故所求概率P ＝516
. 法二 设从甲、乙两个盒子中各取1个小球，其标号分别记为x 、y ，用(x ，y)表示抽取结果，则所有可能有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，
2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种．
(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，
3)，共6种．故所求概率P ＝616＝38
. (2)所取两个小球上的标号和能被3整除的结果有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，
共5种．故所求概率P ＝516
. 10．(2015·郑州质检)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率．
解 (1)由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7
＝3； 从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7
＝2； 从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7
＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.
(2)记“抽到小学、中学各一所”为事件A ，
则事件A 共有基本事件m ＝C13·C12＝6(种)抽法，
又从6所学校任抽取2所有n ＝C26＝15种抽法．
因此，所求事件的概率P ＝m n ＝615＝25
. 能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2015·东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a －b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为
( )
A.19
B.29
C.718
D.49
解析 任意找两人玩这个游戏，共有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a －b|≤1的有如下情形：
①若a ＝1，则b ＝1，2；②若a ＝2，则b ＝1，2，3；③若a ＝3，则b ＝2，3，4；④若a ＝4，则b ＝3，4，5；⑤若a ＝5，则b ＝4，5，6；⑥若a ＝6，则b ＝5，6，总共16种，故他们“心
有灵犀”的概率为P ＝1636＝49. 答案 D 12．一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为
( )
A.112
B.118
C.136
D.7108
解析 连续抛掷三次，共有63＝216种情况，记三次点数分别为a ，b ，c ，则a ＋c ＝2b ，所以a ＋c 为偶数，则a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 允许重复，一旦a 、c 确定，b 也唯一确定，
故a ，c 共有2×32＝18种，所以所求概率为18216＝112
.
答案 A
13．(2013·湖南卷改编)某人在如图所示的直角边长为4米的三
角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)
处都种了一株相同品种的作物．则从三角形地块的内部和边界
上各分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为
________．
(注：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1
米)
解析 所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地
块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地
块的内部和边界上各分别随机选取一株的不同结果有C13C112＝36种．选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29
. 答案 29
14．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．
解 (1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n ＝C13×C13＝9种选法．
记“2名教师性别相同”为事件A ，则事件A 包含基本事件总数m ＝C12·1＋C12·1＝4，∴P(A)＝m n ＝49
. (2)从报名的6人中任选2名，有n ＝C26＝15种选法．
记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝2C23＝6.
∴选出2名教师来自同一学校的概率P(B)＝615＝25
.。