重庆市川外附属第二外国语学校高一下学期第一学月数学试题-含答案

高2023级第一学月数学测试试题
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．如果,a b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）. A ．a b =
B ．1a b ⋅=
C ．22a b ≠
D ．2
2
||a b =
2．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ）. A ．3
B ．-3
C ．
32
D ．32
-
3．设a ，b 是两个不共线的平面向量，已知2m a b =-，3()n a kb k R =+∈，若//m n ，则
k =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．6
D ．-6
4．在ABC ∆中，C b a cos 2=,则ABC ∆一定是（ ） A ． 等腰直角三角形 B ．直角三角形 C.等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
5．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为（ ）. A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
6. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
22
2
41c
b a +=，则c
B a cos 的
值为（ ） A ．4
1
B ．8
5
C ．45
D ．8
3
7．在ABC ∆中，设BC
AM AB AC •=-22
2
，那么动点M 的轨迹必通过ABC ∆的
（ ） A ．外心
B ．内心
C ．垂心
D ．重心
8．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重
心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ） A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+
D ．24AB AC HM MO +=-
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC ∆是钝角三角形
C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ∆ 10．在ABC 中，角A,B 所对的边分别为a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是（ ） A ． 30,65,30===A b a B ． 60,30,50===A b a C ．
30,60,30===A b a
D ．
30,50,30===A b a
11．下列关于平面向量的说法中不正确．．．
的是（ ） A ．已知a ，b 均为非零向量，则//a b ⇔存在唯-的实数λ，使得b a λ= B ．若向量AB ，CD 共线，则点A ，B ，C ，D 必在同一直线上 C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =
D ．若点G 为ABC ∆的重心，则0GA GB GC ++= 12．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b
C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立
D ．在ABC 中，
sin sin sin +=+a b c
A B C
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知
()1,1-=a ，
()
2,1=b ，则
()
b
a a 2+•= ．
14．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是 ．
15．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且x a =,2=b , 45=B 若△ABC 有两解，则x 的取值范围是________．
16．在△ABC 中，角A 为直角, AB=2, AC=1,D 是BC 边上的动点，则BC AD •的取值范围
是 ．
四、解答题：共6小题，共70分。

应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．（10分）在ABC ∆中,内角A,B,C 及其所对的边a ,b ,c 满足:C 为钝角,且
c
b B 2sin =
(1)求角C 的值;
(2)若2b =,ABC ∆的面积为
3，求c 的值.
18．（12分）已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，12122,,AB e e BE e e EC λ=+=-+=122e e -+，且A ，E ，C 三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若()()122,1,2,2e e ==-，求BC 的坐标；
（3）已知()3,5D ，在（2）的条件下，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．
19．（12分）在ABC ∆中,内角A,B,C 及其所对的边a ,b ,c ，且0sin 3cos =--+c b C a C a （1）求A;
（2）若3=a ，求c b +的取值范围。

20．（12分）如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=，2DB AD =，2CE EB =.
（1）求CD 的长； （2）求AB DE ⋅的值．
21．（12分）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 5
A =. （1）若ABC 的面积为3，求A
B A
C ⋅的值； （2）设2sin ,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，且//m n ，求()sin 2B C -的值.
22.（12分）已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且054OA 3=++OC OB
（1）求数量积OB OA •,OC OA •； （2）求ABC ∆的面积。

参考答案
1-5：DDDCC 6-8:BAD 9:ACD 10:BC 11:BC 12:ACD 13:4 14:
15:
16: 17.
18.
19:
20.
21.
22.。