复变函数的积分1

C : z z0 rei (0 2 ), dz irei d 解：
I
2
0
1 ire d n1 i n r (re )
i
2
ie
0
i n 1
0, n 1, d 2 i, n 1.
dz 例如 2 i, z 1 z
例题1 计算

C
z dz. (1)C : i i 的直线段；
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位 半圆周。 解（1） 线段 的参数方程为 z it t :1 1
dz idt , z it t

C
z dz
1
1
1 1 t idt i[ tdt tdt i ( ) i 1 0 2 2
c
f z dz u( x, y)dx v( x, y)dy i v( x, y)dx u( x, y)dy .
c c c
注：1.判定 2.计算:
f z dz u( x, y)dx v( x, y)dy i v( x, y)dx u( x, y)dy .
定理2二连通域的柯西积分定理假设c及c为任意两条简单闭曲线二连域d内解析在边界上连续则这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值
第三章
复变函数的积分
注：（与实函数中第二型曲线积分类比）
§3.1 复积分的概念 一、复积分的定义
1.定义3.1 设C 是平面上一条光滑的简单曲线,其起点 为A,终点为B,函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在C上有定义:
2 2
1
C1
1
1
i
C2 : z e , : 0
i

C2
z dz e ie d
2 2 i 0

1 3 i i e d e 3 0
3 i


0
2 . 3

C
z 2 dz 0
可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。

C
z 2 dz x 2 y 2 dx 2 xydy i 2 xydx x 2 y 2 dy
(1)

C
1 dz dz dz 2 C z 1 C z z z
（由闭路变形原理） dz dz C2 z 1 C1 z 2 i 2 i 0
C
C1
0
1
C2
(2) (由复合闭路定理)

C
1 dz dz dz 2 2 C1 z z C2 z 2 z z z
C
在D D 上连续, 则
D

或

f ( z )dz 0
n i 1 Ci

C
f ( z )dz
f ( z )dz.
Ci
1 例题1 求 2 dz , C 如图所示： C z 解： 存在 f (z)的解析单连通域D包含曲
i
i
线 C ，故积分与路径无关，仅与起点
和终点有关。
C
A
证明：取 C AB C BA


C1
1

C
D
C1
B

C AB C1
C C1
BA
C C1 C1
0
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域
从而
3i
0,i 0,i

C
1 1 4 1 1 1 i dz d 2 z z 0,3i i 3i 3 0, 3i z
1 例题2 求 2 dz , C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。 C z z 1 1 1 解： 2 z z z 1 z
dz 2
dz 2 ie i d 0 z 1 z 0

dz
z 1
z
e i d 0
0
2
例题4 计算 z 2 dz , Ci 如图所示： C C 解： 1 : z x , y 0, x :1 1
C2
2 C1 z dz x dx 3 ; 1

C
f ( z )dz lim f ( k )zk ;
T 0 i 1
n
(1)分割T: A z0 , z1,, zn B, zk xk iyk , k 0,1, 2,, n
k k ik zk 1 zk ; (2)取点:
(3)作和: f ( k )zk ; i 1
(a、b为常数)

C

f ( z )dz f ( z )dz
C
3
4
f z dz f z dz
C C1
C2
f z dz , C C1 C2

C
f ( z)dz f ( z ) dz f ( z ) ds ML
C C
(若f ( z)在C上有界： ( z) M ,L为C的长度.) f
区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有
f ( z) d z 0.
C
推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D， 于是
则 f z dz 与路径无关仅与起点和终点有关。
c

C
f z dz f d f d F z
z C z0
F z f z
F z
f d
z0
z
是解析函数。
解析函数的导数仍为解析函数
特别地

f d F z F z
1 0 z0
z1
.
2 1 3 1 3 2 3 例如： z dz 3 z 3 3 1, 1

注：以上讨论中D为单连通域。
1 f ( z) 在区域 D 0 z a 内解析， za 1 dz 2 i 0 这里D为复连通域。 z a 1 za
定理2（二连通域的柯西积分定理）假设C及C1为任意 两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的 二连域D内解析, 在边界上连续，则 f z dz f z dz .
C
M y N x u y ( v ) x
M
N
C
M
M y N x vy ux
N
§ 3.2
柯西积分定理
定理1（单连通域的柯西积分定理）如果函数 f (z)在 单连通域D内处处解析, 则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:
f ( z) d z 0.
C
注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立 的条件之一是曲线C要属于区域D。 注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解 析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭
C1

dz dz dz dz C1 z C2 z 1 C2 z z 1
0 2 i 2 i 0 0
0 1
3 （2）参数方程为 z e , 2 2 dz iei d , z ei 1
i

i

C
z dz
3 2

2
iei d e
3 i 2

2i
2
i
可见积分与路径有关。
dz (n Z), C : z z0 r 0 例题2 计算积分I C n ( z z0 )
内作连续变形而改变它的值。 ------闭路变形原理
推论（多连通域的柯西积分定理） ：
设C1 , C2 ,, Cn为简单闭曲线 (互不包含且互不相交)，
C为包含C1 , C2 ,, Cn的简单闭曲线，
D为由边界曲线 C C1 C2 Cn
f 所围成的多连通区域， ( z )在D内解析，
c C
复积分
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
C
f z dz u iv dx idy
C
F x t , y t r t dt


udx vdy i vdx udy
C C
f x t , y t z t dt


三、判定与计算：（复积分存在的一个充分条件）
定理3.1 设函数f ( z) u( x, y) iv( x, y)在逐段光滑的曲线C上连续，
则 f z dz 必存在 , 且 :
c
C C
u( x(t ), y(t )) x '(t ) v( x(t ), y(t )) y '(t ) dt i u( x(t ), y(t )) x '(t ) v( x(t ), y(t )) y '(t ) dt
b b a a
u( x(t ), y(t )) iv( x(t ), y(t )) x '(t ) iy '(t ) dt
n
n
(4)取极限: lim0 f ( k )zk ; T i 1
二、复积分的实质是两个实二型曲线积分
x x t C: t y y t
B x , y
c
dx
dr dz dy
f ( z)连续 u( x, y)，v( x, y)连续
例题3
证明：
证明
C
z 1 dz 8 , C : z 1 2 . z 1
z 1 z 1 z 1 C z 1 dz C z 1 dz C 2 dz z 1 2 2 dz 8 . dz C C 2

练习

z 1
dz z

z 1
udx vdy与 vdx udy存在
C C
A x , y
f ( z )dz存在.
C
F x, y M x , y i N x , y j 线积分 dr dxi dyj F dr Mdx t z t dt


a
四、复积分的性质：设f ( z)、g( z)在逐段光滑的有向曲线 C上连续
1 线性性：
C af ( z) bg ( z)dz a C f ( z)dz bC g ( z)dz
2 设C 为C的逆向曲线，则