2020-2021学年上海市徐汇区高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年上海市徐汇区高一（下）期末数学试卷
试题数：21，总分：0
1.（填空题，0分）已知角α的终边上的一点（4t ，-3t ）（t ＞0），则sinα=___ ．
2.（填空题，0分）设复数z 满足i•z=3+2i ，其中i 为虚数单位，则Imz=___ ．
3.（填空题，0分）已知向量 a ⃗ =（-1，1）， b ⃗⃗ =（m ，2），若存在实数λ，使得 a ⃗=λb
⃗⃗ ，则实数m 的值为 ___ ．
4.（填空题，0分）将正弦函数y=sinx 的图象向右平移m （m ＞0）个单位，可以得到余弦函数y=cosx 的图象，则m 的最小值为 ___ ．
5.（填空题，0分）已知 a ⃗ =（1，0）， b ⃗⃗ =（5，5），则向量 b ⃗⃗ 在向量 a ⃗ 方向上的投影向量
的坐标为 ___ ．
6.（填空题，0分）函数y=log 0.5（x 2+2x-3）的单调减区间是 ___ ．
7.（填空题，0分）已知单位向量 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 满足| a ⃗+b ⃗⃗ |= √3 ，则 a ⃗ 、 b
⃗⃗ 的夹角为 ___ ． 8.（填空题，0分）已知sin （75°+α）= 13 ，则cos （15°-α）的值为___ ．
9.（填空题，0分）设m∈R ，若z 是关于x 的方程x 2+mx+m 2-1=0的一个虚根，则 |z | 的取值范围是___ ．
10.（填空题，0分）赵爽是我国古代数学家和天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形面积为1，若直角三角形中较小的锐角为α，则tan （α- π4 ）的值为 ___ ．
11.（填空题，0分）已知函数y=a+cosωx ，x∈[-π，π]（其中a 、ω为常数，
且ω＞0）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 ___ ．
12.（填空题，0分）已知函数f （x ）= {−x 2−2x (x ≤a )−x +2(x ＞a)
，若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是___ ．
13.（单选题，0分）在△ABC 中，“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.（单选题，0分）已知幂函数y=x -1，及直线y=x 、y=1、x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么，幂函数y= x −13 的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A.Ⅵ、Ⅶ
B.Ⅳ、Ⅷ
C.Ⅲ、Ⅷ
D.Ⅲ、Ⅶ
15.（单选题，0分）函数y=1-2sin 2（x- π4 ）是（ ）
A.最小正周期为 π2 的奇函数
B.最小正周期为 π2 的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
16.（单选题，0分）人们用分贝（dB ）来划分声音的等级，声音的等级d （x ）（单位：dB ）与声音强度x （单位W/m 2）满足d （x ）=9lg x 1×10−13 ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB ，在一个40人的教室讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ）
A.36dB
B.63dB
C.72dB
D.81dB
17.（问答题，0分）已知复数z=（m 2+m-6）+（m 2-3m+2）i ，其中m 为实数，i 为虚数单位．
（1）m 为何值时，z 是纯虚数；
（2）若复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．
18.（问答题，0分）在△ABC 中，设 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， CB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，记△ABC 的面积为S ． （1）求证：S= 12√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2−(a ⃗•b ⃗⃗)2 ； （2）设 a ⃗ =（x 1，y 1）， b ⃗⃗ =（x 2，y 2），求证：S= 12
|x 1y 2-x 2y 1|．
19.（问答题，0分）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，
然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声
x+φ）（A＞0，0≤φ＜π），其中振幅为2且经过点（1，波曲线的解析式为f（x）=Asin（2π
3
-2）．
（1）求该噪声声波曲线的解析式f（x）以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g（x）；（2）证明：g（x）+g（x+1）+g（x+2）为定值．
20.（问答题，0分）为了测量金茂大厦最高
点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，
一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人
机的飞行轨迹是一条水平直线MN，并且在飞
行路线上选择C、D两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高
度h，CD间的距离d和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）．
），问：能（1）若无人机在C处测得∠NCA=α，在D处测得∠NDA=β，其中α、β∈（0，π
2
否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据h、d、α、β表示），若不能，请说明理由；
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，还需测量哪些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．
21.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f
，则称函数f（x）为“L函数”．
（x1）= 1
f(x2)
，x∈R是否为“L函数”，并说明理由；
（1）判断函数f（x）=sinx+ 3
2
（2）已知“L函数”f（x）是定义在[a，b]上的严格增函数，且f（a）＞0，f（b）＞0，求证：f （a）•f（b）=1．
2020-2021学年上海市徐汇区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：21，总分：0
1.（填空题，0分）已知角α的终边上的一点（4t，-3t）（t＞0），则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- 3
5
【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】：解：因为角α的终边上一点P（4t，-3t）（t≠0），
又t＞0时，sinα=
√16t2+9t2 = −3t
5t
=- 3
5
．
故答案为：- 3
5
．
【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.（填空题，0分）设复数z满足i•z=3+2i，其中i为虚数单位，则Imz=___ ．【正确答案】：[1]3
【解析】：由i•z=3+2i可求得复数z，然后可求得Imz．
【解答】：解：由i•z=3+2i可得z= 3+2i
i = (3+2i)i
i•i
=2-3i，∴Imz=-3．
故答案为：-3．
【点评】：本题考查复数定义及除法运算，考查数学运算能力，属于基础题．
3.（填空题，0分）已知向量a⃗ =（-1，1），b⃗⃗ =（m，2），若存在实数λ，使得a⃗=λb⃗⃗，则实数m的值为 ___ ．
【正确答案】：[1]-2
【解析】：根据题意可知，a⃗，b⃗⃗共线，从而可得出-2-m=0，然后解出m的值即可．
【解答】：解：∵ b⃗⃗≠0⃗⃗，且a⃗=λb⃗⃗，
∴ a⃗与b⃗⃗共线，
∴-2-m=0，解得m=-2．
故答案为：-2．
【点评】：本题考查了共线向量基本定理，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
4.（填空题，0分）将正弦函数y=sinx的图象向右平移m（m＞0）个单位，可以得到余弦函数y=cosx的图象，则m的最小值为 ___ ．
【正确答案】：[1] 3π
2
【解析】：由题意知，y=sin（x-m）=cosx，再利用诱导公式，即可得解．
【解答】：解：y=sinx的图象向右平移m个单位得到y=sin（x-m）=cosx，
．
由诱导公式知，m的最小值为3π
2
．
故答案为：3π
2
【点评】：本题考查三角函数的图象与性质，函数图象的变换，考查逻辑推理能力，属于基础题．
5.（填空题，0分）已知a⃗ =（1，0），b⃗⃗ =（5，5），则向量b⃗⃗在向量a⃗方向上的投影向量的坐标为 ___ ．
【正确答案】：[1]（5，0）
【解析】：由向量投影的定义和向量共线定理，可得投影向量的坐标．
=5，
【解答】：解：向量b⃗⃗在向量a⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗
|a⃗⃗|
由于向量b⃗⃗在向量a⃗方向上的投影向量与a⃗共线，
可得投影向量为5 a⃗ =（5，0），
故答案为：（5，0）．
【点评】：本题考查投影向量的求法，考查运算能力，属于基础题．
6.（填空题，0分）函数y=log0.5（x2+2x-3）的单调减区间是 ___ ．
【正确答案】：[1]（1，+∞）
【解析】：由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，得出结论．
【解答】：解：函数y=log0.5（x2+2x-3）的单调减区间，即t=x2+2x-3=（x+3）（x-1），在t＞0的条件下，函数t的增区间．
利用二次函数的性质可得，在t＞0的条件下，函数t的增区间为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．
【点评】：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．7.（填空题，0分）已知单位向量a⃗、b⃗⃗满足| a⃗+b⃗⃗ |= √3，则a⃗、b⃗⃗的夹角为 ___ ．
【正确答案】：[1] π
3
【解析】：根据题意，设a⃗、b⃗⃗的夹角为θ，若| a⃗+b⃗⃗ |= √3，由数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】：解：根据题意，设a⃗、b⃗⃗的夹角为θ，
，
若| a⃗+b⃗⃗ |= √3，则有2+2cosθ=3，解可得cosθ= 1
2
，
又由0≤θ≤π，则θ= π
3
．
故答案为：π
3
【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
，则cos（15°-α）的值为___ ．
8.（填空题，0分）已知sin（75°+α）= 1
3
【正确答案】：[1] 1
3
【解析】：由15°-α=90°-（75°+α），再结合诱导公式，得解．
．
【解答】：解：cos（15°-α）=cos[90°-（75°+α）]=sin（75°+α）= 1
3
．
故答案为：1
3
【点评】：本题考查诱导公式的应用，属于基础题．
9.（填空题，0分）设m∈R，若z是关于x的方程x2+mx+m2-1=0的一个虚根，则|z|的取值范围是___ ．
，+∞）
【正确答案】：[1]（√3
3
【解析】：设z=a+bi，（a，b∈R），则|z| =a2+b2=m2-1，解出即可得出．
【解答】：解：设z=a+bi，（a，b∈R），则z =a-bi也此方程的一个虚根．
z是关于x的方程x2+mx+m2-1=0的一个虚根，可得m2-4（m2-1）＜0，m2＞4
3
∴a2+b2=m2-1，则|z| = √m2−1＞√3
3
，
则|z|的取值范围是：（√3
3
，+∞），
故答案为：（√3
3
，+∞）．
【点评】：本题考查了关于实系数一元二次方程有虚根的情况、根与系数的关系，考查了推理
能力与计算能力，属于中档题．
10.（填空题，0分）赵爽是我国古代数学家和天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小
正方形拼成的一个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形面积为
1，若直角三角形中较小的锐角为α，则tan（α- π
4
）的值为 ___ ．
【正确答案】：[1] −1
7
【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换，正切函数的差角公式的应
用求出结果．
【解答】：解：直角三角形的边长为a和a+1，
所以a2+（a+1）2=25，
解得a=3，
故a+1=4，
所以sinα=3
5，cos α=4
5
，
则tan α=3
4
，
故tan(α−π
4)=tanα−1
1+tanα
=
3
4
−1
1+3
4
=−1
7
．
故答案为：−1
7
．
【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正切函数的差角公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.（填空题，0分）已知函数y=a+cosωx，x∈[-π，π]（其中a、ω为常数，且ω＞0）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 ___ ．
【正确答案】：[1][2，4）
【解析】：利用函数的奇偶性得到a的值，然后将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合法求解即可．
【解答】：解：函数y=a+co sωx在[-π，π]上为偶函数，且函数有且仅有三个零点，
故必有一个零点为x=0，
所以a+cos0=0，解得a=-1，
所以函数y=cosωx-1，
则函数y=cosωx-1在[-π，π]上有且仅有三个零点，
等价于y=cosωx的图象与直线y=1在[-π，π]上有且仅有三个交点，
当ω=1时，函数y=cosx与y=1在[-π，π]上有且仅有一个交点，故ω＞1；
当ω=2时，函数y=cos2x与y=1在[-π，π]上恰有3个交点，如图所示，故ω≥2，
当ω=4时，函数y=cos4x与y=1在[-π，π]上恰有5个交点，如图所示，故ω＜4．
综上所述，ω的取值范围是[2，4）．
故答案为：[2，4）．
【点评】：本题考查了三角函数图象与性质的应用，函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．
12.（填空题，0分）已知函数f （x ）= {−x 2−2x (x ≤a )−x +2(x ＞a)
，若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是___ ．
【正确答案】：[1][1，+∞）
【解析】：根据题意，得到函数存在最大值，结合分段函数的性质即可求解结论．
【解答】：解：∵函数f （x ）= {−x 2−2x (x ≤a )−x +2(x ＞a)
，若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，
即函数有最大值f （x 0），
又因为当x ＞a 时，f （x ）=-x+2，单调递减，且f （x ）＜-a+2，
故当x≤a 时，f （x ）=-x 2-2x=-（x+1）2+1，
∴1≥-a+2且a≥-1，
故a≥1，
故答案为：[1，+∞）．
【点评】：本题主要考查分段函数的性质，以及分类讨论思想的应用，属于中档题目．
13.（单选题，0分）在△ABC 中，“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】：A
【解析】：由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”可得“△ABC 是钝角三角形”，而“△ABC 是钝角三角形”推不出角A 为钝角，由充要条件的定义可得答案．
【解答】：解：由题意可知若“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”则必有角A 为钝角，可得“△ABC 是钝角三角形”， 而“△ABC 是钝角三角形”不一定角A 为钝角，可能角B 或C 为钝角，故推不出角A 为钝角，
故可得“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件， 故选：A ．
【点评】：本题考查充要条件的判断，涉及三角形形状的判断和向量的数量积问题，属基础题．
14.（单选题，0分）已知幂函数y=x-1，及直线y=x、y=1、x=1将直角坐标系第一象限分成
八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么，幂函数y= x−1
3的图象
在第一象限中经过的“卦限”是（）
A.Ⅵ、Ⅶ
B.Ⅳ、Ⅷ
C.Ⅲ、Ⅷ
D.Ⅲ、Ⅶ
【正确答案】：B
【解析】：若x−1
3 =2与x-1=2，则x=
1
8
与x= 1
2
，从而判断即可．
【解答】：解：∵-1＜- 1
3
＜0，
若x−1
3 =2与x-1=2，则x=
1
8
与x= 1
2
，
∴幂函数y= x−13的图象在第一象限中经过的“卦限”是Ⅳ、Ⅷ，
故选：B．
【点评】：本题考查了幂函数图象的判断，属于基础题．
15.（单选题，0分）函数y=1-2sin2（x- π
4
）是（）
A.最小正周期为π
2
的奇函数
B.最小正周期为π
2
的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
【正确答案】：C
【解析】：利用二倍角公式，诱导公式化简函数解析式可得y=sin2x，进而根据正弦函数的性质即可求解．
【解答】：解：y=1-2sin2（x- π
4）=1-[1-cos（2x- π
2
）]=cos（2x- π
2
）=sin2x，
可得函数最小正周期T= 2π
2
=π，
又f（-x）=sin2（-x）=-sin2x=-f（x），函数为奇函数．故选：C．
【点评】：本题主要考查了二倍角公式，诱导公式以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．
16.（单选题，0分）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）（单位：dB）与声音强度x（单位W/m2）满足d（x）=9lg x
1×10−13
，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在一个40人的教室讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）
A.36dB
B.63dB
C.72dB
D.81dB
【正确答案】：B
【解析】：利用题中给出的函数模型，结合对数的运算性质求解即可．
【解答】：解：设一般两人小声交谈时声音强度为x，
则54= 9lg x
1×10−13，即lg x
1×10−13
=6，
所以9lg10x
1×10−13=9(lg10+lg x
1×10−13
)=9×(1+6) =63（dB），
则老师声音的等级约为63（dB）．
故选：B．
【点评】：本题考查了函数模型的利用，对数运算法则的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
17.（问答题，0分）已知复数z=（m2+m-6）+（m2-3m+2）i，其中m为实数，i为虚数单位．
（1）m为何值时，z是纯虚数；
（2）若复数z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据已知条件，根据纯虚数的概念即可求解．（2）根据复数z所在的象限，即可求解．
【解答】：解：（1）∵z 是纯虚数，
∴ {m 2+m −6=0m 2−3m +2≠0
，解得m=-3． （2）∵z 对应的点在第二象限， ∴ {m 2+m −6＜0m 2
−3m +2＞0 ，解得-3＜m ＜-1，
∴m 的取值范围为（-3，-1）．
【点评】：本题考查了纯虚数的概念，以及复数对应的点所在象限的计算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
18.（问答题，0分）在△ABC 中，设 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， CB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，记△ABC 的面积为S ． （1）求证：S= 1
2√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2
−(a ⃗•b
⃗⃗)2
； （2）设 a ⃗ =（x 1，y 1）， b ⃗⃗ =（x 2，y 2），求证：S= 12 |x 1y 2-x 2y 1|．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用数量积的定义结合面积公式，容易推证结论；
（2）利用坐标条件下数量积的运算公式、求模公式结合（1）的结论可求解．
【解答】：证明：（1）S= 1
2
|a ⃗|•|b ⃗⃗|sinC = 12
√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2
sin 2C = 12
√|a ⃗|2|b
⃗⃗|2(1−cos 2C ) = 1
2√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2−(|a ⃗||b ⃗⃗|cosC)2
= 12
√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2
−(a ⃗•b ⃗⃗)2 ． 故原式成立．
（2）因为 a ⃗ =（x 1，y 1）， b ⃗⃗ =（x 2，y 2）， 所以
S= 12√|a ⃗|2|b ⃗⃗|
2−(a ⃗•b ⃗⃗)2
= 12
√(x 12+y 12)(x 22+y 22)−(x 1x 2+y 1y 2)2 = 1
2√x 12y 22+x 22y 12−2x 1y 2x 2y 1 = 1
2√(x 1y 2−x 2y 1)2
1
2
|x 1y 2-x 2y 1|，原式成立．
【点评】：本题考查数量积的定义和三角形的面积公式，属于中档题．
19.（问答题，0分）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，
然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声波曲线的解析式为f（x）=Asin（2π
3
x+φ）（A＞0，0≤φ＜π），其中振幅为2且经过点（1，-2）．
（1）求该噪声声波曲线的解析式f（x）以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g（x）；（2）证明：g（x）+g（x+1）+g（x+2）为定值．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据图象求出函数的解析式，
（2）将解析式代入，利用和与差公式化简即
可求解g（x）+g（x+1）+g（x+2）为定值．
【解答】：解：（1）由题意，振幅为2，可得A=2，且经过点（1，-2）．
则-2=2sin（2π
3
×1+φ），
∵0≤φ＜π，
∴φ= 5π
6
；
则f（x）解析式为f（x）=2sin（2π
3x+5π
6
）；
由于降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，
可得g（x）=-2sin（2π
3x+5π
6
）；
证明（2）：由（1）可知g（x）=-2sin（2π
3x+5π
6
）；
则g（x）+g（x+1）+g（x+2）=-2sin（2π
3x+5π
6
）-2sin[ 2π
3
(x+1)+5π
6
]-2sin[ 2π
3
(x+2)+
5π6 ]
=-2（sin 2π
3x cos 5π
6
+cos 2π
3
x sin 5π
6
）-2sin（2π
3
x + 3π
2
）-2sin（2π
3
x + π
6
）
= √3 sin 2π
3x -cos 2π
3
x +2cos 2π
3
x -2（sin 2π
3
x cos π
6
+cos 2π
3
x sin π
6
）
=0．
∴g（x）+g（x+1）+g（x+2）=0，即为定值．
【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．属于基础题．
20.（问答题，0分）为了测量金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线MN，并且在飞行路线上选择C、D两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度h，CD 间的距离d和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）．
（1）若无人机在C处测得∠NCA=α，在D处测得∠NDA=β，其中α、β∈（0，π
2
），问：能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据h、d、α、β表示），若不能，请说明理由；
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，还需测量哪些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．
【正确答案】：
【解析】：（1）过点A作AE⊥MN，垂足为E，利用正弦定理求出AD，在Rt△ADE中，由边角关系求出AE，即可得到答案；
（2）还需测量∠NCB=α'，∠NDB=β’，在△BCD中，利用正弦定理求出BC，在△ABC中，求出AC，再利用余弦定理求出AB即可．
【解答】：解：（1）过点A作AE⊥MN，垂足为E，
由题意可知，∠CAD=β-α，
在△ACD中，由正弦定理可得CD
sin(β−α)=AD
sinα
，
解得AD=dsinα
sin(β−α)
，
在Rt△ADE中，sinβ=AE
AD
，
解得AE=AD•sinβ=dsinαsinβ
sin(β−α)
，
所以可以测得金茂大厦的高，金茂大厦的高度为ℎ−dsinαsinβ
sin(β−α)
；（2）① 测量∠NCB=α'，∠NDB=β'；
② 在△BCD中，∠CBD=β'-α'，对应的边为CD，sin∠CDB=sinβ，
由正弦定理可得，BC
sin∠CDB =d
sin(β′−α′)
，化简可得BC=dsinβ′
sin(β′−α′)
；
③ 在△ABC中，已知∠ACB=α-α'，AC= AE
sinα=dsinβ
sin(β−α)
，
由② 可知BC=dsinβ′
sin(β′−α′)
，因此由余弦定理可以求出AB的长，
故可得金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离．
【点评】：本题考查了解三角形问题的实际应用，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是正确理解题意，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
21.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f
（x1）= 1
f(x2)
，则称函数f（x）为“L函数”．
（1）判断函数f（x）=sinx+ 3
2
，x∈R是否为“L函数”，并说明理由；
（2）已知“L函数”f（x）是定义在[a，b]上的严格增函数，且f（a）＞0，f（b）＞0，求证：f （a）•f（b）=1．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据L函数的定义，要使f（x）为L函数，则f（x）的值域包含于1
f(x)
的值
域，所以只需求出f（x）和1
f(x)
的值域即可说明；
（2）根据两个值域之间的包含关系，求出f （a ）与 1
f (b ) 即可证明．
【解答】：解：（1）因为f （x ）=sinx+ 32 ∈[12，52] ，所以 1f (x ) ∈[2
5，2] ． 所以当 f (x 1)∈(2，52] 时，不存在x 2∈R ，使得 f (x 1)=1
f (x 2
) ，
所以f （x ）不是“L 函数”；
（2）证明：由题可知“L 函数”f （x ）是定义在[a ，b]上的严格增函数， 所以f （x ）∈[f （a ），f （b ）]，又f （a ）＞0，f （b ）＞0， 所以 1
f (x )∈[1
f (b )，1
f (a )] ，
根据“L 函数”的定义，要使f （x ）为“L 函数”， 则[f （a ），f （b ）] ∈[
1f (b )，1
f (b )
] ， 所以 {f (a )≥1
f (b )
f (b )≤1f (a
)
，即 {f (a )f (b )≥1
f (a )f (b )≤1 ，即有f （a ）•f （b ）=1
【点评】：本题考函数的新定义题，理解定义，根据定义的表达进行说明是解题的关键，考查了抽象概括的数学学科素养，是中档题．。