【走向高考】2020高三数学一轮总复习 1-1集合的概念及其运算同步练习 北师大版.doc

1-11-1集合的概念及其运算
基础巩固
一、选择题
1．(文)(2012·四川文，1)设集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则A∪B＝( )
A．{b} B．{b，c，d}
C．{a，c，d} D．{a，b，c，d}
[答案] D
[解析]本题考查了集合的并集运算，
∵A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，
∴A∪B＝{a，b，c，d}，属容易题．
(理)(2012·陕西理，1)集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
[答案] C
[解析]本题考查了对数不等式、一元二次不等式的解法与集合的运算．
M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，
M∩N＝{x|1<x≤2}，故选C.
2．(文)(2012·浙江文，1)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝( )
A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5} D．{1,2}
[答案] D
[解析]本题考查了集合的交、补运算，由已知得
P∩(∁U Q)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．
(理)(2012·浙江理，1)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝( )
A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
[答案] B
[解析]本题考查了集合的运算．
x2－2x－3≤0，－1≤x≤3，
∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}．
∴A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}．
3．(文)已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，则(∁U A)∩B等于
( )
A．[－1,4) B．(2,3)
C．(2,3] D．(－1,4)
[答案] C
[解析]解法1：A＝{x|x>3或x<－1}，B＝{x|2<x<4}，∁U A＝{x|－1≤x≤3}，∴(∁U A)∩B ＝(2,3]，故选C.
解法2：验证排除法，取x＝0，x∉B，故排除A、D.取x＝3,3∉A,3∈B.∴3∈(∁U A)∩B.排除B.
(理)已知函数f(x)＝
1
1－x
的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于
( )
A．{x|x>－1} B．{x|－1<x<1}
C．{x|x<1} D．∅
[答案] B
[解析]M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－1<x<1}．
4．已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝( )
A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}
C．[0,1] D．[0，2]
[答案] D
[解析]∵M＝[0，＋∞)，N＝[－2，2]，
∴M∩N＝[0，2]，故选D.
[点评] 本题特别易错的地方是将数集误认为点集．
5．(文)(2012·安徽文，2)设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．[1,2]
C．[1,2) D．(1,2]
[答案] D
[解析]本题考查了不等式解法，函数定义域求法，集合中的交集运算．
由－3≤2x－1≤3知，－1≤x≤2，要使函数y＝lg(x－1)有意义，须x－1>0，即x>1，∴集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>1}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}．
(理)若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )
A．A⊆C B．C⊆A
C．A≠C D．A＝∅
[答案] A
[解析] 考查集合的基本概念及运算． ∵B ∩C ⊆B ⊆A ∪B ，A ∪B ＝B ∩C ⊆B ，
∴A ∪B ＝B ，B ∩C ＝B ，∴A ⊆B ，B ⊆C ，∴A ⊆C ，选A.
6．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1
x
，x >2}，则∁U P ＝( )
A ．[1
2，＋∞)
B ．(0，1
2
)
C ．(0，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[1
2
，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查函数值域求解及补集运算． ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)，
P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，1
2
)，
∴∁U P ＝[1
2，＋∞)．
二、填空题
7．若集合A ＝{x |(x －1)2
<3x ＋7，x ∈R }，则A ∩Z 中有________个元素． [答案] 6
[解析] 由(x －1)2
<3x ＋7得x 2
－5x －6<0，
∴A ＝(－1,6)，因此A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．
8．(2012·九江模拟)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2
}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________．
[答案] 4
[解析] 本小题主要考查了集合的并集运算． ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2
}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＝16a ＝4，∴a ＝4.
三、解答题
9．已知集合A ＝{x |x 2
＋2(a ＋1)x ＋a 2
－1＝0}，B ＝{x |x 2
＋4x ＝0}，若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．
[分析] 由A ∪B ＝B ，可以得出A ⊆B ， 而A ⊆B 中含有特例A ＝∅，应注意．
[解析] 由x 2
＋4x ＝0得：B ＝{0，－4}，由于A ∪B ＝B ，
(1)若A＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.
(2)若A≠∅，则0∈A或－4∈A，
当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；
但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．
故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.
能力提升
一、选择题
1．(文)(2012·辽宁文，2)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)( )
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
[答案] B
[解析]本题考查了集合的补集、交集运算．
由已知可得∁U A＝{2,4,6,7,9}，∁U B＝{0,1,3,7,9}，
∴(∁U A)∩(∁U B)＝{7,9}．
(理)(2012·全国大纲理，2)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( ) A．0或 3 B．0或3
C．1或 3 D．1或3
[答案] B
[解析]本小题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合间的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用，同时考查了分类讨论思想．∵A∪B＝A，∴B⊆A，又A＝{1,3m}，B＝{1，m}，m∈A，即有m＝3或m＝m，
∴m＝0，m＝3，m＝1(舍)，故选B.
2．(文)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A 或x∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于( )
A．A B．B
C．(∁U A)∩B D．A∩(∁U B)
[分析] 本题考查集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B所表示的部分，再画出(A*B)*A表示的部分．
[答案] B
[解析]画一个一般情况的韦恩图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B.
(理)(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P ＝{正奇数}和集合M ＝{x |x ＝a ⊕b ，a ∈P ，b ∈P }，若M ⊆P ，则M 中的运算“⊕”是( )
A ．加法
B ．除法
C ．乘法
D ．减法
[答案] C
[解析] 因为M ⊆P ，所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合M 中的运算⊕为通常的乘法运算，选C.
二、填空题
3．(文)A ＝{(x ，y )|x 2
＝y 2
}，B ＝{(x ，y )|x ＝y 2
}，则A ∩B ＝______. [答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
[解析] A ∩B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ，y ⎪⎪⎪
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y
2
x ＝y 2
＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． (理)已知集合A ＝{x ||x －a |≤1}，B ＝{x 2
－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．
[答案] (2,3)
[解析] B 中，x 2
－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1. 又∵A 中|x －a |≤1，∴a －1≤x ≤1＋a . ∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a <3.
4．(文)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x <1}，若A ∩∁U B ＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.
[答案] {2,4,6,8}
[解析] A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩∁U B ＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．
(理)设全集U ＝R ，A ＝{x |x －1x ＋m
>0}，∁U A ＝[－1，－n ]，则m 2＋n 2
等于________． [答案] 2
[解析] 由∁U A ＝[－1，－n ]，知A ＝(－∞，－1)∪(－n ，＋∞)，即不等式
x －1
x ＋m
>0的
解集为(－∞，－1)∪(－n ，＋∞)，所以－n ＝1，－m ＝－1，因此m ＝1，n ＝－1，
故m 2
＋n 2
＝2. 三、解答题
5．(文)设a ，b ∈R ，集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫a ，b a
，1＝{a 2，a ＋b,0}，求a 2 014＋b 2 014
的值．
[解析] 由已知得a ≠0， ∴b a
＝0，即b ＝0.
又a ≠1，∴a 2
＝1，∴a ＝－1. ∴a
2 014
＋b
2 014
＝(－1)
2 014
＝1.
(理)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2
}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .
[解析] (1)∵9∈(A ∩B )， ∴9∈A 且9∈B ， ∴2a －1＝9或a 2
＝9， ∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3， 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意． ∴a ＝5或a ＝－3.
(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ， 由(1)知a ＝5或a ＝－3
当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，
B ＝{－8,4,9}，
此时A ∩B ＝{9}，
当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，
B ＝{0，－4,9}，
此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意． 综上知a ＝－3.
6．(文)(2013·郑州模拟)设集合A ＝{x |x 2
<4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1<
4x ＋3
. (1)求集合A ∩B ；
(2)若不等式2x 2
＋ax ＋b <0的解集是B ，求a ，b 的值． [解析] A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，
B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
1<4
x ＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －1
x ＋3
<0＝{x |－3<x <1}，
(1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．
(2)∵2x 2
＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}， ∴－3和1为方程2x 2
＋ax ＋b ＝0的两根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a
2＝－3＋1，b 2＝－3×1，
∴a ＝4，b ＝－6.
(理)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2
－3x ≤10}．
(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；
(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．
又Q ＝{x |x 2
－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， 所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5} ＝{x |－2≤x <4}． (2)若P ≠∅，由P ⊆Q ，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.
解得0≤a ≤2；
当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，a <0，此时有P ＝∅⊆Q ，所以a <0为所求． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．
7．已知集合A ＝{x |x 2
－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围． [解析] ∵A ＝{x |x 2
－6x ＋8<0}， ∴A ＝{x |2<x <4}．
(1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，
应满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≤23a ≥4⇒4
3
≤a ≤2，
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，
应满足⎩⎪⎨
⎪⎧
3a ≤2a ≥4
⇒a ∈∅，
∴A ⊆B 时，4
3≤a ≤2.
(2)要满足A ∩B ＝∅， 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，
a ≥4或3a ≤2，
∴0<a ≤2
3
或a ≥4；
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或a ≥4
3，
∴a <0时成立；验证知当a ＝0时也成立． 综上所述，a ≤2
3
或a ≥4时，A ∩B ＝∅.
(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a >0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3<x <9}， 而A ∩B ＝{x |3<x <4}， 故所求a 的值为3.。