浙江高三高中数学月考试卷带答案解析

浙江高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若，，则
A．B．C．D．2
2.计算：
A．B．C．4D．6 3.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
A．B．C．D．
4.已知实数满足：，则的最小值为
A．6B．4C．D．
5.在△中，“”是“△为锐角三角形”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.函数的图象可由函数的图象
A．向左平移而得到B．向右平移而得到
C．向左平移而得到D．向右平移而得到
7.设、分别为双曲线C：，的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于M、N两点，且满足，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
8.已知函数，其中. 若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数
，使得成立，则的取值范围为
A．B．
C．D．或
二、填空题
1.已知全集，集合，，则；．
2.若向量与满足，，．则向量与的夹角等于；
．
3.已知函数，则；若，则．
4.若实数且，则的最小值是，的最小值是．
5.已知圆的弦AB的中点为，则直线AB的方程为．
6.已知数列的首项，且满足，则．
7.长方体中，已知，，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是．
三、解答题
1.（本题满分14分）三角形中，已知，其中，角所对的边分别为．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
2.（本题满分15分）已知数列是等比数列，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是递增数列，且，求数列的前n项和．
3.（本题满分15分）如图，在三棱锥中，平面，，，、、
分别为、、的中点，、分别为线段、上的动点，且有
．
（1）求证：面；
（2）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．
4.（本题满分15分）已知抛物线焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．
5.（本题满分15分）已知函数，．
（1）若，且存在互不相同的实数满足，求实数的取值范围；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
浙江高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.若，，则
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】，，，，故答案为C.【考点】同角三角函数的基本关系.
2.计算：
A．B．C．4D．6
【答案】A
【解析】，故答案为A.
【考点】1、换底公式的应用；2、对数的运算.
3.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体为一圆锥通过轴截面的半圆锥，底面直径为2，半径为1，高为1，
体积，故答案为.
【考点】由三视图求体积.
4.已知实数满足：，则的最小值为
A．6B．4C．D．
【答案】C
【解析】不等式组表示的区域所示，把转化为表示斜率为，截距为的直线，当截距最大时，最大，由图可知，当直线过点时，截距最小，联立，得，此时
，故答案为C.
【考点】线性规划的应用.
5.在△中，“”是“△为锐角三角形”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当，得，由于在中，，，不能判断
的形状；当为锐角三角形，，得，由于在中，即
，“”是“△为锐角三角形”的必要不充分条件，故答案为B.
【考点】充分条件、必要条件的判断.
6.函数的图象可由函数的图象
A．向左平移而得到B．向右平移而得到
C．向左平移而得到D．向右平移而得到
【答案】B
【解析】把函数的图象向右平移而得到，故
答案为B.
【考点】函数图象的平移.
7.设、分别为双曲线C：，的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于M、N两点，且满足，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以为直径的圆方程，与渐近线相交，根据对称性得
，，解得，
又，，，，，由余弦定理得
，整理得，因此离心率，故答案为A.
【考点】1、双曲线的简单几何性质；2、余弦定理的应用.
8.已知函数，其中. 若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数
，使得成立，则的取值范围为
A．B．
C．D．或
【答案】D
【解析】由题意，对任意的非零实数，都存在唯一的非零实数，使得成立，也即函数图象除外，其余均是一个函数值对应两个自变量，结合图象可知：，即
当时始终有解，
因此，，因此或．
【考点】二次函数的性质.
二、填空题
1.已知全集，集合，，则；．
【答案】，.
【解析】，因此，，
.
【考点】1、一元二次不等式的解法；2、集合的基本运算.
2.若向量与满足，，．则向量与的夹角等于；
．
【答案】，.
【解析】，，，，，
.
【考点】平面向量数量积的运算和性质.
3.已知函数，则；若，则．
【答案】，.
【解析】，当时，，得符合；当时，
，解得不满足题意，故此时.
【考点】分段函数的应用.
4.若实数且，则的最小值是，的最小值是．
【答案】,.
【解析】由基本不等式得，当且仅当，即等号成立，
，令，则，函数在区间
单调递增，当，.
【考点】1、基本不等式的应用；2、函数的单调性.
5.已知圆的弦AB的中点为，则直线AB的方程为．
【答案】
【解析】圆配方得，以为圆心，为半径，，因此
，因此直线的方程，即
【考点】1、圆的性质；2、直线的方程.
6.已知数列的首项，且满足，则．
【答案】.
【解析】由，
由，得为常数，因此数列是以为首项，为公差的等差数列，，，
.
【考点】1、构造新数列；2、等差数列的通项公式.
7.长方体中，已知，，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是．
【答案】.
【解析】四边形和的面积分别为4和6，长方体在平面内的射影可由这两个四边形在平面内的
射影组合而成. 显然，. 若记平面与平面所成角为，则平面与平面所成角为. 它们在平面内的射影分别为和，所以，（其中，），因此，，当且仅当时取到. 因此，.
【考点】三角函数的化简和求值.
三、解答题
1.（本题满分14分）三角形中，已知，其中，角所对的边分别为．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式；（4）当角有范围时，先求角的范围，在求函数值.
试题解析：（1）由正弦定理得：，
∴由余弦定理得：，∴． 6分
（2）由正弦定理得：
又，∴，
∴，
而，∴，
∴，∴. 14分
【考点】1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用；3、三角函数化简.
2.（本题满分15分）已知数列是等比数列，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是递增数列，且，求数列的前n项和．
【答案】（1）或；（2） .
【解析】（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;（2）等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了.
试题解析：（1）因为是等比数列，所以，又
因此，是方程，可解得：
，或，因此，或
所以，或 9分
（2）数列是递增数列，所以，
15分
【考点】1、等比数列的通项公式；2、等比数列和等差数列的前项和公式.
3.（本题满分15分）如图，在三棱锥中，平面，，，、、
分别为、、的中点，、分别为线段、上的动点，且有
．
（1）求证：面；
（2）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，
说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）或.
【解析】（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面
几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线线垂直时，要注意题中隐含的
垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性
质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（4）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，
找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解
决这类题的关键.
试题解析：（1）∵平面，
∴，
又，∴面；
又∵，
∴面. 6分
（2）由条件可得，即为二面角的平面角；
若二面角为直二面角，则.
在直角三角形PCA中，设，则，
在中，由余弦定理可得，
；
同理可得，；
又由，得，解得或.
∴存在直二面角，且CM的长度为1或. 15分
【考点】1、直线与平面垂直的判定；2、立体几何中的探究问题.
4.（本题满分15分）已知抛物线焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到
准线的距离相等．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已
经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛
物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更
是如此；（3）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜
率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线
的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根
与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
试题解析：（1）抛物线线上横坐标为的点纵坐标，到原点的距离，
解得，抛物线的方程为：．6分
（2）由题意可知，直线不垂直于y轴
可设直线，
则由可得，，
设，则，
因为以为直径的圆过点，所以，即
可得：
∴
，
解得:，
∴直线，即． 15分
【考点】1、抛物线的标准方程；2、直线与抛物线的综合问题.
5.（本题满分15分）已知函数，．
（1）若，且存在互不相同的实数满足，求实数的取值范围；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象
是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点值符合四个方面分析；（3）二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想.
试题解析：（1）若，则
当时，；当时，.
，此时，的图像如图所示
要使得有四个不相等的实数根满足，
即函数与的图像有四个不同的交点，
因此的取值范围为. 6分
（2）（1）若，则，在上单调递增，满足条件；
（2）若，则，只需考虑的时候
此时的对称轴为，因此，只需，即：
（3）若，则
结合函数图像，有以下情况：
①，即时，此时在内单调递增，因此在内也单调递增，满足条件；
②，即时，
在和内均单调递增，
如图所示，只需或，
解得：；
由①②可得，的取值范围为：
由（1）、（2）、（3）得，实数的取值范围为： 15分
【考点】1、数形结合的应用；2、二次函数的图象和性质.。