S三角形的内切圆（旁切圆）的半径（附典例），家长为孩子收藏吧

S三⾓形的内切圆（旁切圆）的半径（附典例），家长为孩⼦收藏吧如下图所⽰，O为△ABC的内⼼，即△三内⾓平分线的交点，
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S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1/2（a+b+c）r;
当△ABC为直⾓三⾓形时，可得：2ab=（a+b-c）r；
则r=2ab/（a+b-c）
或者，也可以这样表⽰：
c=（a-r）+（b-r），得r=（a+b-c）/2；
【⼤显⾝⼿】
已知OA=3，OB=4，AM、OM分别为△AOB的⾓平分线，AB=5，求点M的坐标。

三⾓形的旁切圆的半径
三⾓形有3个旁切圆，则要分三种情况来谈论三⾓形旁切圆的半径。

第1种情况：
如下图所⽰，通过⾯积的等差法处理，可以得到：
S△ABC=S△ABO+S△ACO-S△BOC
=1/2cr+1/2br—1/2ar=1/2r（b+c-a）；
则 r=2S△ABC/（b+c-a）；
第2种情况：
如下图所⽰，通过⾯积的等差法处理，可以得到：
S△ABC=S△OBC+S△OAC-S△OAB
=1/2ar+1/2br—1/2cr=1/2r（b+a-c）；
则 r=2S△ABC/（b+a-c）；
第3种情况：
如下图所⽰，通过⾯积的等差法处理，可以得到：
S△ABC=S△ABO+S△BCO-S△OAC
=1/2cr+1/2ar—1/2br=1/2r（c+a-b）；
则 r=2S△ABC/（c+a-b）；
【温馨提⽰】以上推理过程只是为了告诉⼤家，当△ABC为RT三⾓形的时候，是可以通过⾯积法直接计算旁切圆的半径的。

【基础知识拓展】已知△ABC三边分别为a，b，c，
（1）设BD=x，AC=b=（c-x）+（a-x），得x=(a+c-b)/2；
（2）设AD=y，BC=a=（c-y）+（b-y），得y=(b+c-a)/2；
（3）设CE=z，AB=c=（a-z）+（b-z），得z=(a+b-c)/2；
（4）如下图所⽰，当△ABC为RT△，则r=（a+c-b）/2；
【练练基础】
在△ABC中，CD⊥AB，O1、O2分别为△ACD和△BCD的内⼼，AD=6，CD=8，BD=15，则O1O2=？
【涛哥图解】
利⽤基本图，很快可以求出R1=2，R2=3；
接下来，求O1O2的长度，处理⽅法很多，介绍2种。

⽅法1：构建RT△O1O2G，图中标注的很清晰，看图就明⽩了。

⽅法2：利⽤内⼼等同于三⾓形内⾓平分线的交点，O1D平分∠ADC，O2D平分∠CDB，则
∠O1DO2=90°，O1D=√2R1=2√2，同理，O2D=3√2，利⽤勾股定理求O1O2即可。

⽅法3：解析⼏何建⽴坐标系
根据公式，可以求得O1和O2坐标，再利⽤坐标系内任意两点之间的距离公式即可求得O1O2的长度。

附上⼀道课后习题改编的经典题：
如图，边长为a的正三⾓形ABC内有⼀边长为b的正△DEF，且a—b=2，求△AEF的内切圆的半径。

第1步：如下图所⽰，可通过全等证得⼀些线段相等。

关键⼀步转化：a=AE+AF，则a—b=AE+AF—EF；
此时，结合三⾓形内切圆的相关计算，可得2AG=AE+AF—EF=2，
得AG=1，
此时，解⼀下RT△AGO即可得△AEF的内切圆的半径了！
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