2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练专题3 导数的概念及其运算 第22练

一、选择题
1.如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )
A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2)
C.⎝⎛
⎭⎫12，1 D ．(2,3)
2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln
x －1x ＋1的图象大致为( )
3．(2017·湖州模拟)已知曲线f (x )＝2
3x 3－x 2＋ax －1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐
标都大于零，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫3，7
2 C.⎝
⎛⎦⎤－∞，72 D ．(0,3)
4．已知函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋1－m cos x ，记a ＝－2f (－2)，b ＝－f (－1)，c ＝3f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <a
D ．c <a <b
5．已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)
C ．(－2，－2)
D ．(1，2)∪(－2，－1)
6．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，f (x )满足2f (x )＋xf ′(x )<xf (x )，则f (x )在R 上的零点个数为( ) A ．5 B ．3 C ．1或3
D ．1
7．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，若1和－1是函数f (x )的两个零点，x 1和x 2是f (x )的两个极值点，则x 1·x 2的值为( ) A ．－13
B.13 C ．1
D ．－1
8．已知直线m ：x ＋2y －3＝0，函数y ＝3x ＋cos x 的图象与直线l 相切于点P ，若l ⊥m ，则P 点的坐标可能是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π2，－3π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 C.⎝⎛⎭⎫3π2，π2 D.⎝⎛⎭⎫－3π2
，－π2 二、填空题
9．已知函数f (x )＝3ln x －12x 2＋x ，g (x )＝3x ＋5
2，P ，Q 分别为f (x )，g (x )图象上任一点，则|PQ |
的最小值为________．
10．(2017·温州适应性考试)对任意实数x 均有e 2x －(a －3)e x ＋4－3a >0，则实数a 的取值范围为________． 11．已知f (x )＝
x
|ln x |
，若关于x 的方程[f (x )]2－(2m ＋1)f (x )＋m 2＋m ＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．
12．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 016)2f (x ＋2 016)－4f (－2)>0的解集为________．
答案精析
1．C 2.B 3.B 4.D 5.B
6．D [根据题意可构造函数F (x )＝x 2f (x )
e x (x <0)，
则F ′(x )＝2xf (x )e x ＋x 2f ′(x )e x －x 2f (x )e x
(e x )2
＝
x [2f (x )＋xf ′(x )－xf (x )]
e x
，
由题意，知当x <0时，f (x )满足2f (x )＋xf ′(x )<xf (x )， ∴F ′(x )>0，
即当x <0时，函数F (x )是增函数，
又F (0)＝0，∴当x <0时，F (x )<F (0)＝0成立， ∵对任意x <0，x 2
e
x >0，∴f (x )<0，
∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )>0，即f (x )＝0只有一个根就是0.] 7．A [因为1和－1是函数f (x )的两个零点， 所以f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＝ax (x －1)(x ＋1)， 因为x 1和x 2是f (x )的两个极值点，
所以x 1和x 2是f ′(x )＝a (3x 2－1)＝0的两个根， 则x 1·x 2＝－1
3
.]
8．B [因为直线m 的斜率为－1
2，l ⊥m ，
所以直线l 的斜率为2.
因为函数y ＝3x ＋cos x 的图象与直线l 相切于点P ， 设P (a ，b )，则b ＝3a ＋cos a 且y ′|x ＝a ＝3－sin a ＝2， 所以sin a ＝1，解得a ＝π
2
＋2k π(k ∈Z )，
所以b ＝3π
2＋6k π(k ∈Z )，所以P ⎝⎛⎭⎫π2＋2k π，3π2＋6k π(k ∈Z )， 当k ＝0时，P ⎝⎛⎭⎫
π2，3π2.] 9.10
2
10.⎝
⎛⎦⎤－∞，43 解析 e 2x －(a －3)e x ＋4－3a >0，即(e x ＋3)a <e 2x ＋3e x ＋4，
所以a <e 2x ＋3e x ＋4
e x ＋3
，
令t ＝e x
，则a <e 2x ＋3e x ＋4e x ＋3，即a <t 2＋3t ＋4
t ＋3
(t >0)，
令h (t )＝t 2＋3t ＋4t ＋3＝t ＋4t ＋3(t >0)，h ′(t )＝1－4
(t ＋3)2，
因为t >0，所以h ′(t )>0，
即当t >0时，h (t )>h (0)＝43，所以a ≤4
3，
即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43. 11．(e －1，e)
解析 ∵f (x )＝x
|ln x |
(x >0)，
∴f (x )＝⎩⎨⎧
－x
ln x
，0<x <1，x
ln x ，x >1，
∴f ′(x )＝⎩⎨⎧
1－ln x
ln 2x
，0<x <1，ln x －1
ln 2
x ，x >1，
∴当0<x <1或x >e 时，f ′(x )>0，当1<x <e 时，f ′(x )<0，
∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，可作出f (x )的大致函数图象如图所示：
令f (x )＝t ，则当0<t <e 时，方程f (x )＝t 有一解； 当t ＝e 时，方程f (x )＝t 有两解； 当t >e 时，方程f (x )＝t 有三解．
∵关于x 的方程[f (x )]2－(2m ＋1)f (x )＋m 2＋m ＝0恰好有4个不相等的实数根， ∴关于t 的方程t 2－(2m ＋1)t ＋m 2＋m ＝0在(0，e)和(e ，＋∞)上各有一解，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m >0，e 2－(2m ＋1)e ＋m 2
＋m <0，解得e －1<m <e. 12．(－∞，－2 018)
解析 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0，得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3， 所以[x 2f (x )]′<x 3<0.
令F (x )＝x 2f (x )(x <0)，则F ′(x )<0(x <0)，
即F(x)在(－∞，0)上是减函数，
因为F(x＋2 016)＝(x＋2 016)2f(x＋2 016)，F(－2)＝4f(－2)，所以不等式(x＋2 016)2f(x＋2 016)－4f(－2)>0，
即为F(x＋2 016)－F(－2)>0，即F(x＋2 016)>F(－2)，
又因为F(x)在(－∞，0)上是减函数，
所以x＋2 016<－2，所以x<－2 018.。