北京延庆县张山营中学高二数学理上学期期末试题含解析

北京延庆县张山营中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于()
图21－1
A．7 B．15
C．31 D．63
参考答案：
D
2. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）
A．10 B．10 C．10D．10
参考答案：
D 【考点】解三角形的实际应用．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．
【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有
BC=x，AC=x
在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°
由正弦定理可得， =
∴BC==10
∴x=10
∴x=
故塔高AB=
【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．
3. 椭圆的焦点为椭圆上的一点，已知，则的面积为（）
A.12
B.9
C.8
D.10
参考答案：
A
4. 用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
参考答案：
B
5. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）
A．B． a C． a D． a
参考答案：
A
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可
求出点C到平面A1DM的距离．
【解答】解：连接A1C、MC可得
=
△A1DM中，A1D=，A1M=MD=
∴=
三棱锥的体积：
所以 d （设d是点C到平面A1DM的距离）
∴=
故选A．【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．
6. 已知函数f（x）=sinx+lnx，则f′（1）的值为（）
A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1
参考答案：
B
【考点】导数的加法与减法法则．
【分析】求函数在某点处的导数值，先求导函数
【解答】解：因为f′（x）=cosx+，则f′（1）=cos1+1．
故选B．
7. 函数y=x2+x在x=1到x=1+△x之间的平均变化率为（）
A．△x+2B．2△x+（△x）2 C．△x+3D．3△x+（△x）2
参考答案：
C
【考点】61：变化的快慢与变化率．
【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解．
【解答】解：△y=（1+△x）2+1+△x﹣1﹣1=△x2+3△x，
∴=△x+3，
故选：C．
8. 已知函数,则 ( )
A. B. 0 C. D.
参考答案：
A
略
9. 已知圆O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
先求出圆心和半径，即得圆的方程.
【详解】由题得OC中点坐标为（3,4），
圆的半径为，
所以圆的方程为.
故选：C
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10. 已知，则的值为（）
A. 等于0
B. 大于0
C. 小于0
D. 不确定
参考答案：
A
【分析】
根据微积分基本定理，直接计算，即可得出结果.
【详解】由题意，.
故选A
【点睛】本题主要考查求定积分的值，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型. 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）（2015?福州校级模拟）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有
种（用数字作答）．
A B
C D
参考答案：
27
【分析】根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格根据分类计数原理可得．
【解答】解：若A方格填3，则排法有2×32=18种，
若A方格填2，则排法有1×32=9种，
根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．
故答案为：27．
【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．
12. 运行如图所示算法流程图，当输入的x值为________时，输出的y值为4.
参考答案：
-2
13. 观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n
（n∈N*）个等式应为．
参考答案：
9（n﹣1）+n=（n﹣1）×10+1
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：根据已知的等式，分析等式两边数的变化规律，利用归纳推理进行归纳即可．
解答：解：∵9×0+1=1，
9×1+2=11=10+1，
9×2+3=21=20+1，
9×3+4=31=30+1，…，
∴由归纳推理猜想第n（n∈N+）个等式应为：9（n﹣1）+n=（n﹣1）×10+1．
故答案为：9（n﹣1）+n=（n﹣1）×10+1．
点评：本题主要考查归纳推理的应用，根据规律即可得到结论，考查学生的观察与总结能力．
14. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线方程为．
参考答案：
y2=﹣8x
【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．
【分析】利用抛物线的性质可知该抛物线的形式为：y2=﹣2px（p＞0），依题意可求p的值，从而可得答案．
【解答】解：依题意，设抛物线的方程为：y2=﹣2px（p＞0），
∵准线方程为x=2，
∴=2，
∴p=4，
∴抛物线的方程是y2=﹣8x．
故答案为：y2=﹣8x．
15. 复数的共轭复数是_________。

参考答案：略
16. 双曲线
的渐近线方程为
▲．
参考答案：
略
17. 等比数列{a n}的前n项和S n=a?2n+a﹣2，则a= ．
参考答案：
1
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由等比数列的前n项和公式求出该数列的前三项，由此利用，能求出a．
【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和，
∴a1=S1=2a+a﹣2=3a﹣2，
a2=S2﹣S1=（4a+a﹣2）﹣（3a﹣2）=2a，
a3=（8a+a﹣2）﹣（4a+a﹣2）=4a，
∵，
∴（2a）2=（3a﹣2）×4a，
解得a=0（舍）或a=1．
故答案为：1．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设命题p：（x﹣2）2≤1，命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】命题p：（x﹣2）2≤1，可得解集A=[1，3]．命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，可得B=（﹣∞，﹣a﹣1]∪[﹣a，+∞）．根据p是q的充分不必要条件，即可得出．
【解答】解：命题p：（x﹣2）2≤1，解得1≤x≤3，记A=[1，3]．
命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，解得x≤﹣a﹣1，或x≥﹣a．记B=（﹣∞，﹣a﹣1]∪[﹣a，
+∞）．
∵p是q的充分不必要条件，∴3≤﹣a﹣1，或﹣a≤1，∴a≤﹣4，或a≥﹣1．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）．
19. (本小题满分14分)某市统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))：
(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数.
参考答案：
(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.0003×(3 500－3 000)＝0.15；
(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，
0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，
0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，
0．1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5
所以，样本数据的中位数2 000＋＝2 000＋400＝2 400(元)；
20. 设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，
∴=．
①当a时，则，
则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，
解得；
②当a＜1时，则，
则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，
而=+，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=，成立．
综上可得：a的取值范围是．
21. （本小题满分13分）已知曲线，直线l过、
两点，原点到的距离是
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点B作直线交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程.
参考答案：
消去y，得①………………………………………………… (9分) 依设，由根与系数关系，知
== =……………………(11分)
∴=－23，k=±………………………………………………… (12分) 当k=±时，方程①有两个不等的实数根
略
22. 已知p：函数f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R；q：对任意实数x，不等式4x2+ax+1＞0成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．
【分析】若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，进而可得实数a的取值范围．
【解答】解：当P真时，f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，
有△=4﹣4a＜0，解得a＞1．…..
当q真时，对任意实数x，不等式4x2+ax+1＞0成立，
所以△=a2﹣16＜0，解得﹣4＜a＜4 …..
又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以p，q一真一假，…..当p真q假时，，解得a≥4…..
当p假q真时，，解得：﹣4＜a≤1…..所以实数a的取值范围是（﹣4，1]∪[4，+∞）．…..。