【精品】一个数列的稠密性及其应用85

【精品】一个数列的稠密性及其应用85 一个数列的稠密性及其应用
蒋晓云
(桂林师范高等专科学校数学与计算机科学系广西桂林 541001)
[摘要] 设是任何一个正实数，本文研究了数列的项的分布。

当是正无理
aa{}na
数时，这个数列在中稠密，并由此得出了的方幂的一个有趣性质,其中为自然数，[0,1],,且不为10的方幂。

,
[关键词] 稠密性;数列;分布;方幂
01(1,2,3,),,,xn{}x,其中，若包含于区间的任意区间(开或闭)设有数列
[0,1]nn
{}x{}x都包含数列的项，我们称数列在[0，1]中稠密。

nn
设是一个正实数，我们用表示它的整数部分，用表示它的小数部分，则
有:x[]xx。

xxxxxxxxx,,,，,,[], [], []
我们证明了:当是正无理数时，数列的项在区间上是到处稠密的,并由
a[0,1]{}na
此我们得出了的方幂的一个有趣性质: ,
设为自然数，且不为10的方幂。

则对于任意给定的正整数，则存,,Mabcy,
kp在某个自然数和，使得,,abcyqqq，即能找到一个的方幂，它最前面的,k12p
M几位数恰好是。

1 小数部分数列的稠密性
是任何一个正实数，为任意正整数，在aaana, 2, 3, , 中至少有一引理1 设an
11个数与某一个整数的距离小于，即存在整数mmn(1),,和，使得。

w0,,,mawnn
E1证明在实数轴上，令和两点分别对应于和，如图1，我们把OE线段等分成nO0
1份(假定每一份只包括左边的端点，不包括右边的端点)，每一份的长度是。

n
OE图1
0,, 2, 3, , aaana考虑数列的小数部分，这里一共0,,2,3,,aaana
有个数，对应的点都在OE线段上(没有点跟E重合)，根据抽屉原理，至少有两个点n，1
1和落在同一份中(即一小段上)，假定，那么， kaha0,,,kahahk,n
11即，从而，记整数 0([])([]),,,,,kakahaha0()([][]),,,,,khakahann 1, 和整数，有，证毕。

wkaha,,[][]0,,,mawmkh,,1,,mnn从这个问题的解法和结论不难推出下列有趣的性质
定理2 设是任何一个正实数，小数部分数列 a
(1) 0,,2,3,,,aaana
为有理数，则数列(1)总落在区间的有限个等分点上; (1)若a[0,1]
(2)若为无理数，则数列(1)在区间中稠密。

a[0,1]
k证明 (1)若为有理数,设(为互质的整数，)，对任意的自然数，mk,ana,m,0m nkrqr,，由整数带余除法有:(是整数，且)，那么，nkmqr,，naq,，
na,0,,rmmm
r121m,从而。

这表明数列(1)总落在区间的个等分点 :上。

[0,1]mna,0,,,,mmmm
(2)若为无理数，在区间上任意两点(),,选取足够大的a[0,1]st,01,,,tslst,,
1自然数，使得，根据引理1，总可以找到整数和整数，使得mmn(0),,nw,,l1n 11。

令，则有，。

,,,mawmaw,，,,,,0,,,maw 0nn
11,k0,1,2,,[](a)当时，令，由于kmakwk,，,，所以，,,,kmak,, 0,n
1,,,,0, , 2, , []1对应的值是:，它们等距离均匀地分布在区间上，
[0,1]kma,
111[],,,,0, , 2, [], 任意相邻的两数相差，又与1相差也不超过，故,,,,l,,n
中至少有一个落入区间(,)ts中，即至少有一个的值落入区间(,)ts中。

kma
11,k0,1,2,,[]kmakwk,,，，1(1),(b)当时，令，由于，所以,,,, 0,n
1,,,,,,,1, 1 ,12, , 1[]0，对应的值是:，kmakk,，,,11,,kma,
111[],,它们等距离均匀地分布在区间上，任意相邻的两个数相差，又与
[0,1],,,l,n
1,,,,,,1, 1 ,12, , 1[]0的距离也不超过，故中至少有一个落入区间(,)ts,, 中，即至少有一个的值落入区间中。

(,)tskma
综合(a)、(b)所述，数列(1)至少有一项落入区间，即数列(1)在区间中
(,)ts[0,1]稠密，证毕。

推论3 若为无理数，在区间上任意两点()，区间包含a[0,1](,)tsst,01,,,ts 数列(1)的无穷多项。

rrr,,,证明(反证法)设在某区间只含有数列(1)的有限个项
(,)[0,1]ts,12mtrrrs,,,,,(,)(,)[0,1]trts,,()，则在区间不含有数列(1)的项，这与定12m1
理2矛盾，所以，任意区间中存在数列(1)的无穷多项，证毕。

(,)[0,1]ts,
2 一个重要不等式
Mp性质4 对任意的正整数，必存在自然数和，满足: k
pMkpM，,,，，lglg2lg(1)。

证明取。

sMtM,，,lg(1), lg
M，1M,1(1) 当不是10的方幂时，[lg(1)][lg]MM，,，，则区间长度为:(,)ts 1stMMMMMM,,，,，,,,，,,，,,(lg(1)[lg(1)])(lg[lg])lg(1)lglg(1)lg21M lg2是无理数，由定理2及推论3，区间(,)ts中必定含有小数部分数列:
的无穷多项。

我们可以选择如此大的，满足: 0, lg2, 2lg2, , lg2, nk
kMlg2lg,[lg2][lg]0kM,,?，这保证了是自然数;
?，即，从而有 tks,,lg2lglg2lg(1)MkM,,，
lg[lg]lg2[lg2]lg(1)[lg(1)]lg(1)[lg()]MMkkMMMM,,,,，,，,，,
lg([lg2][lg])lg2lg(1)([lg2][lg()])MkMkMkM，,,,，，,
，有。

取自然数pkM,,[lg2][lg]pMkpM，,,，，lglg2lg(1)
M，1(2)当是10的方幂时，有+1和，[lg(1)][lg]MM，,lg(1)[lg(1)]MM，,，令，则。

tMM,,lg[lg]01,,t
是无理数，由定理2及推论3，区间中必定含有小数部分数列: (,1)tlg2
的无穷多项。

我们可以选择如此大的，满足: 0, lg2, 2lg2, , lg2, nk ?，保证了为自然数， kMlg2lg,[lg2][lg]0kM,,
?，即，从而有 tk,,lg21lglg21Mk,,
lg[lg]lg2[lg2]01(lg(1)[lg(1)])([lg(1)][lg()])MMkkMMMM,,,,，,，,，，，,
即 lg[lg]lg2[lg2]lg(1)[lg]MMkkMM,,,,，,
lg([lg2][lg])lg2lg(1)([lg2][lg])MkMkMkM，,,,，，, 取自然数
pkM,,[lg2][lg]，有pMkpM，,,，，lglg2lg(1)。

综上述(1)、(2)，性质4命题得证。

对性质4中的不等式变形，可以得到一条与性质4等价的性质:
pkpMMM,,,，,102(1)10p推论5 对任意的正整数，必存在自然数和，满足:。

k
n,3 的一个有趣的性质
kppQM,,,210010,,QQqqq,从上述推论5，令，则是一个自然数，记，12p
k于是我们可以得到了关于2的一个有趣的性质:
p定理6 设是任意正整数，则存在某个自然数和，使得: Mabcy,k
kpM210,,，,MQabcyqqq 。

即对任意自然数，总能找到一个2的方12p
M幂，它最前面的几位数恰好是。

这一结论告诉我们，寻求一个以任意给定的正整数打头的2的方幂总不会失败的，但遗
M憾的是，我们没有找到好的办法来构造所求的方幂。

值得指出的是，要找到以打头的2
46的方幂是不容易的，就是很简单的以打头的2的最小方幂竟达到。

所以这个问题2M,7
的构造方法仍需进一步的研究。

尽管如此，定理6是一个值得注意的性质，它可一般化为:
p推论7 设是任意正整数，则存在某个自然数和，使得: Mabcy,k
k(是任意一个不是10的方幂的自然数)，即能找到一个 ,,abcyqqq,,12p
M的方幂，它最前面的几位数恰好是。

这个结论可以用上述完全相同的方法去建立。

参考文献:
[1]冉凯.数列在[0 ,1 ]上的一致分配问题[J]. 西安联合大学学
报,2004,7(2),31-34 [2]刘玉琏，傅沛仁.数学分析[上册] (第三版) [M].北京:高等教育出版社，1999.
The denseness of a number sequence and its applications
Jiang Xiao-yun
(Department of Mathematics and Computer Science ,Guilin Teachers’ College, Guangxi 541001,China)
In this paper we study the distribution of items of the sequence , where is a Abstract a{}napositive real number. We prove that the sequence is dense in , where is a [0,1]a{}na
positive irrational number. Applying this result, we establish a property of the power of , where ,
is natural number and doesn’t equal to a pow er of 10. ,,
Key words denseness, number sequence, distribution, power。