最新高教版数学教案——指数函数

指数函数
课时：2课时 教学目标：
1.理解指数函数的概念。

2.掌握指数函数的图象、性质。

3.培养学生实际应用函数的能力。

教学重点：
指数函数的图象、性质 教学难点：
指数函数的图象性质与底数a 的关系 教学过程： 一．复习回顾
师：前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质。

这些知识都是为我们学
习指数函数打基础。

现在大家来看下面的问题：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是 y=2x
这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x 作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。

下面，我们给出指数函数的定义 二．讲授新课
1．指数函数定义：
一般地，函数y=a x
(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。

师：现在研究指数函数y=a x
(a>0且a ≠1)的图象和性质，先来研究a>1的情形。

例如，我们来画y=2x
的图象。

再来研究0<a<0 的情况，
例如， 我们来画 的图象，即画y=2-x
的图象。

可得x,y 的对应值
用描点法画出图象。

也可根据y=2-x
的图象与y=2x
的图象关于y 轴对称，由y=
2x
的图象对称得到y=2-x
即
的图象。

x y )
21(=x
y )2
1
(=
我们观察y=2x
以及y=2-x
的图特征，就可以得到y=2x
（a>1）以及y= 2x
（0<a<1）的图象和性质。

a>1 0<a<1 图 象
性 质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R 上是增函数
（4）在R 上是减函数
3.例题讲解：
*例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

分析：通过恰当假设，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。

解 设这种物质量初的质量是1，经过x 年，剩留量是y 。

经过1年，剩留量y=1×84%=0.841
; 经过2年，剩留量y=1×84%=0.842; ……
一般地，经过x 年，剩留量 y=0.84 x
X 0 1 2 3 4 5 6 Y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
图4－1
图4－2
用描点法画出指数函数y=0.84x
的图象。

从图上看出y=0.5只需x ≈4. 答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

例2 判定下列各式中实数x 的正、负：
（1）2x ＝1.5 （2）2x ＝0.4 （3）0.25x ＝5 （4）0.25x ＝0.3 分析 可以根据指数函数的底数大小和函数的增减性来判断
解 （1）因为指数函数y=2x 的底数2>1，所以它是增函数；又因为2x ＝1.5>1，所以
x>0
（2）同理，因为2x ＝0.4<1，所以x<0
（3）因为指数函数y=0.25x 的底数满足0<0.25<1，所以它是减函数；又因为0.25x
＝5>1，所以x<0
（4）同理，因为0.25x ＝0.3<1，所以x>0 例3 比较下列每两个数的大小 （1）52
1
，53
1 （2）0.5
2
1-
，0.5
3
1-
（3）103
2，1 （4）10
3
2-
，1
分析 题中每个数都可以看作是指数函数y=a x 对于x 的每一个实数值所对应的函数值，
而且它们的底数相同，所以可以利用指数函数的增减性来比较它们的大小
解 （1）因为指数函数y=5x
的底数5>1，所以它是增函数；又因为21>3
1
，所以521>531
（2）因为指数函数y=0.5x
的底数满足0<0.5<1，所以它是减函数；又因为2
1
-
<31-，
所以0.5
2
1
->0.5
3
1
-
（3）因为指数函数y=10x
的底数10>1，所以它是增函数
又因为3
2
>0，100＝1，所以1032
>1
（4）同理，因为 －3
2
<0，所以1032
－<1
例4 解不等式 （1）2
2
x <2x （2）0.2
x
2<0.2
2
+x
解 （1）因为指数函数y=2x
是增函数，所以由2
2
x <2x
可得x x <2
，即x(x-1)<0，解
得0<x<1，所以不等式得解集是{x|0<x<1}
（2）因为指数函数y=0.2x 是减函数，所以由0.2x 2<0.22+x 可得2x>x+2，解得x>2 所以不等式的解集是{x|x>2} 三．课堂练习
课本113页，练一练，共5个小题 例5 根据下列条件判定a 的取值范围
（1）a 3>a 1.3 （2）a
4
3->a
3
4-
分析 根据指数函数的增减性，由逆向思维先确定y=a x 的增减性，再确定底数a 是大于
1，还是0<a<1
解 （1）∵a 3>a 1.3，又3<3.1，∴y=a x 是减函数 ∴0<a<1
（2）∵a 4
3->a
3
4-，又∵3
4
43->-
，∴y=a x 是增函数，∴a>1 四．作业
课本114页，练习，第5题。