2023—2024学年四川省乐山第一中学校高一下学期期中考试数学试卷

2023—2024学年四川省乐山第一中学校高一下学期
期中考试数学试卷
一、单选题
(★) 1. 若复数满足，其中i为虚数单位，则等于（）
A．i B．C．1D．
(★★) 2. 已知单位向量满足，则（）A．B．C．D．
(★) 3. 如图，在长方体中，为的中点，则二
面角的大小为（）
A．B．C．D．
(★★) 4. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
(★★) 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，
c＝2 a cos A，则cos A＝（）
A．B．C．D．
(★★★) 6. 帕波斯在其著作《数学汇编》中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（）
A．B．
C．D．
(★★★) 7. 已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若球的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（）
A．B．30C．D．
(★★) 8. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（）
A．B．4C．D．3
二、多选题
(★★) 9. 设为复数，，则下列命题正确的是（）
A．若，则B．若，则
D．若为虚数单位，n为正整数，则C．若互为共轭复数，则为实数
(★★★) 10. 如图，在正方体中，，，分别为，，的中点，则以下结论正确的是（）
A．
B．平面平面
C．平面
D．异面直线与所成角的余弦值是
(★★★) 11. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（）
A．线段
B．该圆台的表面积为
C．该圆台的体积为
D．沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5
(★★★★) 12. 已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（）
A．的面积最大值为
B．的取值范围为
C．的值可能为3
D．的最小值为
三、填空题
(★★) 13. 已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为 _____________ .
(★) 14. 在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ______ ．
(★★) 15. 在中，，D为BC边的中点，则 ______ ．
(★★★) 16. 如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门
吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 ____
四、解答题
(★★★) 17. 已知z是复数，与均为实数.
(1)求复数z；
(2)复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
(★★★) 18. 设，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
(★★★) 19. 已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求点M到平面的距离；
(2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由．(★★★) 20. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2.
(1)求四棱锥的体积；
(2)证明：
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
(★★★) 21. 已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且．
(1)求证：；
(2)已知点在线段上，且，求的取值范围．
(★★★★) 22. 定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区
域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若.
(1)求角A的大小；
(2)分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区
域D，求平面区域D的“直径”的取值范围.。