2024八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程第2课时解分式方程课件鲁教版五四制

A．a＝5或a＝0
B．a≠0
C．a≠5
D．a≠5且a≠0
2x a
3. 若关于x的分式方程 x 2
1
2 的解为非负数，则a
的取值范围是( C )
A．a≥1
B．a＞1
C．a≥1且a≠4
D．a＞1且a≠4
a
4.
关于x的分式方程 x 3
A．方程的解是x＝a－3
1，下列说法正确的是( B )
B．当a＞3时，方程的解是正数
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1.
∴原分式方程的增根为1.∴(a＋2)×1＝3.∴a＝1.
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3.
①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2.
②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解，
则x(x－1)＝0，得x＝0或1.
是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
2ax
例3 已知关于x的方程
a x
2
3 的根是x＝1，求a的值．
导引：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
2
2a
2
, 得
解：把x＝1代入方程
,
a x 3
a 1 3
1
解得a＝ 2
1
2a
2
经检验，a＝
是分式方程
的解．
2
a 1 3
1
.
∴a的值为
2
归纳
根据方程的解构造方程，
由于所构造的方程是分式方程，
因此验根的步骤不可缺少．
kx
2k－1
－
＝2
1. 已知x＝3是分式方程 x－1
x
的解，那么实数k的值为( D )
A．－1
B．0
C．1
D．2
5
a
＝
2. 关于x的分式方程 x x－2 有解，则字母a的取值范围
是( D )
C．当a＜3时，方程的解是负数
D．以上答案都正确
2
a
5. 若数a使关于x的分式方程 x－1 ＋ 1－x ＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
y＋2 y
－
1，
3
2
2( y－a ) ≤ 0
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为( A )
A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
第2章
分式与分式方程
2.4
第2课时
1
学习目标
2
课时导入
分式方程
解分式方程
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
解分式方程
分式方程的根（解）
分式方程的增根
回顾与思考
解一元一次方程的一般步骤是什么？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
什么是分式方程?
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
那这类方程该如何解呢？
意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母
的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为
零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这
种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围
扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程
未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.
480
例4 解方程： x
600
2x
45.
解：方程两边都乘2x，得
960－600＝90x.
解这个方程，得
x＝4.
经检验，x＝4是原方程的根.
x a
例5 已知关于x的分式方程 x 1
3
x
(1)若此方程有增根1，求a的值；
(2)若此方程有增根，求a的值；
(3)若此方程无解，求a的值．
1.
解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.
k－3
k－3
. 因为x＜0，所以
＜0.解得k＜3.
5
5
k－3
k－3
又因为x≠2且x≠－3，即
≠2且
≠－3，
5
5
所以k≠13且k≠－12.
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使原分式方
程中的分式的分母为零，即产生增根的情况．因此本题
x
(2) x 1
解：
x
x 1
1
1
x
2
3
x
2
.
3
x
2 x 1
,
方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)，
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3. 解得x＝1.
经检验，x＝1不是原分式方程的根，
所以原分式方程无解．
归纳
(1)解 分式 方程的 基本思 想 是 “ 化 整 ” ， 即
议一议
1 x
在解方程 x 2
1
2
x
2
时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得
1－x＝－1－2(x－2 ).
解这个方程，得 x＝2.
你认为x＝2是原方程的根吗？与同伴交流.
归纳
在这里，x＝2不是原方程的根，
因为它使得原分式方程的分母为
零，我 们称它为原方程的增根.
归纳
增根产生的原因：
对于分式方程，当分式中分母的值为零时无
x
x 1
x
1
1
2
x
2
x
3
x
2
2
；
.
导引：解分式方程的步骤：
①去分母，化分式方程为整式方程；
②解整式方程；
③检验，并写出原分式方程的根．
x
(1) x
2
解： x
2
4
x
1
2
x
x
2 x
2
；
2
2
x
1
2
x
2
,
方程两边都乘以最简公分母(x＋2)(x－2)．
得x＋2(x－2)＝x＋2，
解这个方程，得x＝3.
经检验，x＝3是原分式方程的根．
“化分式方程为整式方程”，而“化整”
的关键是找最简公分母；
(2)解分式方程一定要注意验根，验根是解分
式方程必不可少的步骤．
3
4
x
5
＝ ； ( 2)
＋
＝4.
1. 解方程：(1)
x－1 x
2 x－3 3－2 x
3
4
解：(1)
＝ .
x－1 x
方程两边都乘x(x－1)，得3x＝4(x－1)．
解这个方程，得x＝4.
把x＝0代入整式方程，a的值不存在；
把x＝1代入整式方程，a＝1.
综合①②得：a＝－2或1.
归纳
分式方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未
知数的值，解这类题的一般步骤为：①把分式方程化
为整式方程；②令最简公分母为0，求出未知数的值，
这里要注意：必须验证未知数的值是否是整式方程的
根，如本例中x＝0就不是整式方程的根；③把未知数
化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程.
3、检验 .
4、写出原方程的根.
特别解读
1.解分式方程的关键是去分母. 去分母时不要漏
乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号
括起来.
2.解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去.
特别解读
3. 对增根的理解：
（1） 增根一定是分式方程转化为整式方程的解；
1
x 1
6
x
2
1
， 下列说法错误的是
( D )
A．方程两边各分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)
B. 方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程
2(x－1)＋3(x＋1)＝6
C．解B中的整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
x
3
－1＝
5. 分式方程 x－1
( x－1)( x＋2)
A．x＝1
B．x＝－1
C．无解
D．x＝－2
的解为( C )
知识点 2 分式方程的根(解)
使分式方程两边相等的未知数的值是方程的解(根)，
而分式方程的根要满足最简公分母不为0，否则，分母为零，
则该方程无意义.
分式方程无解有两种情形：
(1)分式方程化为整式方程后，所得的整式方程无解，则原
分式方程无解；
(2)分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但经检验不

＋
的解为( C
A. x ＝1
B. x ＝－1
C. x ＝2
D. x ＝－2
)
3. 已知关于 x 的方程
(
C


＝ 的解是 x ＝1，则 a 的值为
−

)
A. 2
B. 1
C. －1
【点拨】
D. －2
∵关于 x 的方程
解得 a ＝－1.




＝ 的解是 x ＝1，∴
＝ ，
−

−
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未知数的
取值范围发生了变化，有可能产生增根，因此在解分
式方程时一定要验根，如果不验根，有可能误将x＝2
当成原分式方程的根．
x＋1
x
2．当k 为何值时，关于x的方程
－
＝
x－2 x＋3
x＋k
的解为负数？
（x－2）（x＋3）
易错点：讨论分式方程的解时，不考虑增根
解：方程两边都乘(x－2)(x＋3)，整理得5x＝k－3，解得x＝
D．5
练点1 分式方程的解法
1. [2023·大连]将方程
后的式子为(
B


＋3＝
去分母，两边同乘 x －1
−
−
)
A. 1＋3＝3 x (1－ x )
B. 1＋3( x －1)＝－3 x
C. x －1＋3＝－3 x
D. 1＋3( x －1)＝3 x


2. [2024·日照期末]方程 ＝
2
2. 把分式方程 x
4
1
x 转化为一元一次方程时，
方程两边需同乘( D )
A．x
B．2x
C．x＋4
D．x(x＋4)
1
3
－2＝
3. 解分式方程 x－1
1－x ，去分母得( A )
A．1－2(x－1)＝－3
B．1－2(x－1)＝3
C．1－2x－2＝－3
D．1－2x＋2＝3
4. 已知分式方程
2
x
3
的值代入整式方程，从而求出待定字母的值．
归纳
分式方程无解必须具备：
最简公分母等于0或去分母后
的整式方程无解．

1. 下列关于分式方程增根的说法正确的是( D )
A．使所有的分母的值都为零的解是增根
B．分式方程的解为0就是增根
C．使分子的值为0的解就是增根
D．使最简公分母的值为0的解是增根
2. 关于x的分式方程
这就是我们本节课要学习的内容.
知识点 1
解分式方程
还记得什么是方程的解吗？你能设法求出上一节课
1400 1 400
列出的分式方程
x
2.8 x
9 的解吗？
化成一元一次
方程来求解.
想一想：
解分式方程和解整式方程有什么区别？
解分式方程的思路是：
分式方程
去分母
整式方程
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，
中要使方程的解为负数，除了k＜3外，还必须考虑原分
式方程的分母不等于0.
知识是力量，
梦想是翅膀。
检验：将x＝4代入原方程，得左边＝1＝右边．
所以，x＝4是原方程的根．
x
5
( 2)
＋
＝4.
2 x－3 3－2 x
x
5
解： (2) 2 x－3 ＋ 3－2 x ＝4.
方程两边都乘2x－3，得x－5＝4(2x－3)．
解这个方程，得x＝1.
检验：将x＝1代入原方程，得左边＝4＝右边．
所以，x＝1是原方程的根．
.
1．解方程： 2
x －4
x－2
解：
易错点：解分式方程后，忽略根的检验，未舍去增根
8
x
解：原方程可化为
＋1＝
.
（x＋2）（x－2）
x－2
去分母，得8＋( x＋2)( x－2)＝x( x＋2)．
解得x＝2.
检验：当x＝2时，
( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：

解分式方程的一般步骤：
(1)去分母：方程两边都乘以各分母的最简公分母，约去 分
母，化为整式方程；
(2)解这个整式方程，得到整式方程的根；
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分
母不等于零的根是原分式方程的根，使最简公分母等
于零的根不是原分式方程的根；
(4)写出分式方程的根．
8
x
＋1＝
7x
2m－1
＋5＝
x－1
x－1
有增根，则m的值为( C )
A．1
B．3
C．4
D．5
6
m
＝
3. 若关于x的分式方程 ( x＋1)( x－1) x－1
有增根，则它的增根是( B )
A．0
B．1
C．－1
D．1和－1
3x 2
4. 关于x的方程 x 1
2
m
x
1
无解，则m的值为( A )
A．－5
B．－8
C．－2
（2） 若分式方程有增根， 则必是使最简公分
母为0 时未知数的值.
例1 解方程 x
1
2
3
.
x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
检验：将x＝3代人原方程，得
左边＝1，右边＝1，左边＝右边.
所以，x＝3是原方程的根.
例2 解分式方程：
x
2
(1) x 2 4
(2)