2020届浙江省嘉兴市桐乡市高级中学高三下学期3月模拟测试数学试题

2020届浙江省嘉兴市桐乡市高级中学高三下学期3月模拟测
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知集合{}(,)10A x y x y =-+=，{}
(,)20B x y x y =-=，则A B I （ ） A ．{}(1,2) B ．(1,2)
C ．{}1,2
D ．{}1,2x y ==
2．已知复数41i
z i
=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22
112
a b -+-<
D ．228a b +>
4．函数f (x )=sin (πx )e −|x |
2的图象可能是下列哪一个？（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件
D ．充分必要条件
6．已知函数()sin f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56
x π
=
，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )
A ．3
π-
B ．0
C ．
3
π D ．
23
π
7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当
[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，
则a 的取值范围是（ ）
A ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．0,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭ C ．0,5⎛ ⎝⎭ D ．0,6⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
8．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则
y b
x a
--的取值范围是（ ）
A ．[]22-,
B ．44,3
3⎡--+⎢
⎣⎦
C ．13,3
⎡
⎤--⎢⎥
⎣
⎦
D ．⎣⎦
9．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A 1
B 1
C D ．
1
2
10．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，2
1n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）
A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立
B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立
C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立
D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立
11．已知单位向量1e u r ，2e u u r
夹角为60︒，122e e +=u r u u r ______；()12e e R λλ+∈u r u u r 的最小值
为______． 12．已知πtan 34θ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，则tan θ=______，cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
______. 13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
，则
_________ ，该几何体的
表面积为 _________．
14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，728S =，则n a =______，14
n n a a S ++的最大值是______.
15．四边形ABCD 中，56A π∠=，512B C π∠=∠=，3
D π∠=，2BC =，则AC 的最小值是______.
16．已知正方形ABCD 边长为3，空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，则三棱锥A PCD -体积的最大值是______.
17．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]
1,x e ∈时，记()f x 最大值为
(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______.
18．已知函数(
)sin 2f x x x =-，将()f x 的图象向左移()0αα>个单位，得到函数()y g x =的图象. （1）若4
π
α
=
，求()y g x =的单调区间； （2）若0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()y g x =的一条对称轴是12
x π
=
，求()y g x =在0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的
值域.
19．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形
,CF =
（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;
（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE
,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.
20．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222
(1)()0n n S n n S n n -+--+=
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令22
1
(2)n n n b n a +=
+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有
Tn ＜
564
. 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：24y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．
（1）求曲线E 的方程；
（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，.B 当线段AB 的长度最小时，求s 的值． 22．已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若2
1())1(2
g x x x x f ---=
，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若3
2
a ≥
，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
解方程组得到交点坐标，从而得到结果. 【详解】 解：1020x y x y -+=⎧⎨
-=⎩，得1
2
x y =⎧⎨=⎩，
∴A B =I {}(1,2) 故选：A 【点睛】
本题考查交集的概念及运算，考查集合的表示方法，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】
利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限. 【详解】 依题意()
()()
()41212211i i z i i i i i -==-=++-，对应点为()2,2，在第一象限.
故选A. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】
根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，
33log log 222+>，即可判断出结果．
【详解】 ∵236a b ==；
∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；
∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；
()()
()()23222
2
3211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；
∵()()()2
2
232223log log 2log 2323log 2a b =+++++
232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确
故C ． 【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题 4．A 【解析】 【分析】 由f (1
2
)=e
−
14
>0排除选项D ;f (−1
2
)=−e −1
4<0排除选项C ；由函数f (x )有无数个零点，排
除选项B ,从而可得结果. 【详解】
由f (1
2)=e −1
4>0，可排除选项D ，f (−1)=−e −1
2<0可排除选项C ；由f (x )=0可得πx =
kπ⇒x =k,k ∈z ，即函数f (x )有无数个零点，可排除选项B ,故选A. 【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x →0+,x →0−,x →+∞,x →−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 5．D 【解析】 【分析】
由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，
“A B >”⇒“a b >”.
因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 6．D 【解析】 【分析】
运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=
，且53
()622
a f π=+，
即
322a +=1a =，所以()2sin()3
f x x π
=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，
所以可设11152,6x k k Z ππ=+
∈，2222,6
x k k Z π
π=-∈， 所以1212222,3
x x k k k Z π
ππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23
π
，故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 7．B
【分析】
由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2
()21218f x x x =-+-，令
()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，
根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】
()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，
(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，
又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，
()f x ∴为周期为2的偶函数，
当[2,3]x ∈时，22
()212182(3)f x x x x =-+-=--，
当2
[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，
当2
[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+，
作出(),()f x g x 图像，如下图所示：
函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，
()0f x ≤Q ，若1a >，
()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，
所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，
2
2
113,,01,033
a a a a ∴
><<<∴<<Q 故选:B.
【点睛】
本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 8．B 【解析】 【分析】
由点(),P x y 的坐标满足方程2
2
20x x y -+=，可得P 在圆()2
211x y -+=上，由()
,Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22
341x y ++-=上，则
PQ y b
k x a
-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【详解】
Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，
P ∴在圆()2
2
11x y -+=上，
(),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，
Q ∴在圆()()22
341x y ++-=上，
则
PQ y b
k x a
-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ， 由图可知AB PQ CD k k k ≤≤， 设两圆内公切线方程为y kx m =+，
则1341k m k m =⇒+=-+-=， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，
可得2m k =+
，1=
=，
化为23830k k ++=
，43
k -±=
，
即AB CD k k =
=
，
PQ y b k x a -≤=≤
- y b
x a --
的取值范围44,3
3⎡--+⎢⎣⎦，故选B.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 9．B 【解析】 【分析】
设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】
设(),P x y ，因为A 是抛物线2
4x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，
所以()()0,1,0,1A F -， 则
PA m PF
=
=
=
=
当0y =时，1m =，
当0y >
时，
m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P
±，
2PA PF ==，
Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，
∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=
，
所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 10．D 【解析】 【分析】
取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只
需2<
，由此可得到答案.
【详解】
取1a b ==，2
11n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项；
由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且1x =
，2x =
因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <； 当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤；
所以要使n a M <，只需要120a x <<，故2<，化简得24b a <-且0b >.
故选：D ． 【点睛】
本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．
11 【解析】 【分析】
根据条件可求出221212
1,12
e e e e ⋅===u r u u r u r u u r ，根据122e e +=u r u u r 进行数量积的运算即
可求出122e e u r u u r +的值，并可得出12e e λ+=u r u u r
【详解】
①22
12121,12
e e e e ⋅===u r u u r u r u u r Q ，
122e e ∴+===u r u u r
②122
e e λ+===u r u u r ．
2
． 【点睛】
考查向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，向量长度的求法，配方求二次函数最值的方法．
12．
12 【解析】 【分析】
利用两角和的正切公式结合πtan 34θ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
可得出tan θ的方程，即可求出tan θ的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出cos2θ和sin 2θ的值，进而利用两角差的余弦公式求出cos 24πθ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的值. 【详解】
πtan 11tan 33tan 41tan 2θθθθ+⎛
⎫+=⇒=⇒= ⎪-⎝
⎭，
2222
2
222
cos sin 1tan 3
cos 2cos sin cos sin 1tan 5
θθθθθθθθθ--=-===++， 222
2sin cos 2tan 4
sin 22sin cos sin cos tan 15
θθθθθθθθθ==
==++，
)
cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛
⎫∴-=+=
⎪⎝
⎭
故答案为：12；
10
. 【点睛】
本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大． 13．；
【解析】
试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面
，
并且
，
，所以体积是
，解得
，四个侧面都是
直角三角形，所以计算出边长，表面积是
考点：1．三视图；2．几何体的表面积． 14．n 1
7
【解析】 【分析】
利用等差数列前n 项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式
可求出数列{}n a 的通项公式，可求出14n
n a a S ++的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出
14
n
n a a S ++的最大值. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则317
133672128S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11
1a d =⎧⎨=⎩，
所以，数列{}n a 的通项公式为()11n a a n d n =+-=；
（2）()()1122
n n n a a n n S ++==
，()()()142154n n n a a S n n +++∴=++， 令1t n =+，则2t ≥且t ∈N ，()()142212437n n a a t S t t t t
++==
++++，
由双勾函数的单调性可知，函数12
7y t t
=++
在(0,t ∈时单调递减，
在()
t ∈+∞时单调递增， 当3t =或4时，14n n a a S =+取得最大值为1
7
. 故答案为：n ；17
. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15
．
2
【解析】 【分析】
在ABC ∆中利用正弦定理得出52sin
12sin AC CAB
π
=∠，进而可知，当2
CAB π
∠=时，AC 取最小值，进而计算出结果. 【详解】
5sin
sin sin cos cos sin 124646464πππππππ⎛⎫
=+=+=
⎪⎝⎭
Q 如图，在ABC ∆中，由正弦定理可得
sin sin B
AC B B A C
C =∠∠，
即52sin
12sin AC CAB
π
=∠，故当2CAB π∠=时，AC
故答案为：2
. 【点睛】
本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题． 16
【解析】 【分析】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,P a b c ，根据题中条件得出35a b =-，进而可求出c 的最大值，由此能求出三棱锥A PCD -体积的最大值. 【详解】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()3,3,0C ，()0,3,0D ，设点(),,P a b c ，
Q 空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，
所以
2==35a b =-
，
c ∴===
当32b =
，12a =-
时，c 所以，三棱锥A PCD -
的体积为21113332A PCD P ACD ACD V V S c --∆==
⋅≤⨯⨯=
因此，三棱锥A PCD -体积的最大值为
4
. 故答案为：4
. 【点睛】
本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17．
2
e 【解析】 【分析】
易知(){}
max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，
()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解．
【详解】
(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，
设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++， 令()ln h x x x =-，()'
11h x x
=
- 当[]
1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减
令()ln n x x x =+，()'
11n x x
=
+
当[]
1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增
所以当[]
1,x e ∈时，
(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--， (){}max 1,1F x a b a e b =+++++，
则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥， 即(),2
e M a b ≥ 故答案为：2
e . 【点睛】
本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．
18．（1）增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛
⎫--∈ ⎪⎝
⎭，减区间为(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）
⎡-⎣.
【解析】 【分析】
（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得()y g x =的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；
（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得α，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论． 【详解】
由题意得()2cos 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
（1）()y f x =向左平移
4π个单位得到()22cos 22cos 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=++=+
⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 增区间：解不等式()22223
k x k k Z π
πππ-+≤+
≤∈，解得
()563
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤-∈， 减区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈. 综上可得，()y g x =的单调增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛
⎫
-
-∈ ⎪⎝
⎭
， 减区间为(),36k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭；
（2）由题易知，()2cos 226g x x π
α⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
， 因为()y g x =的一条对称轴是12
x π
=，
所以
26
6
k π
π
απ+
+=，k ∈Z ，解得26
k ππ
α=-，k ∈Z . 又因为0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以3
π
α=
，即()52cos 26g x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，则5cos 21,62x π⎡
⎛⎫+∈-⎢
⎪⎝
⎭⎣
⎦， 所以()y g x =在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域是⎡-⎣. 【点睛】
本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．
19．（1）见解析；（2
【解析】 【分析】
（1）先证CF ⊥面ABCD ,又因为CF ⊂面BCF ,所以平面ECF ⊥平面ABCD . （2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设DP DF u u u r u u u r
λ=,则可得出
向量()
1,2BP λλ=---u u u r ,求出平面ABE 的法向量为(),,n x y z =r
,利用直线与平面
所成角的正弦公式
sin cos ,BP n BP n BP n
u u u r r
u u u r r u u u r r θ⋅==⨯列方程求出0λ=或3
4λ=,从而求出线
段BP 的长. 【详解】
解:（1）证明:因为四边形EDCF 为矩形,
∴DE CF ==
∵222AD DE AE +=∴DE AD ⊥ ∴DE CD ⊥∴DE ⊥面ABCD ∴CF ⊥面ABCD 又∵CF ⊂面BCF ∴平面ECF ⊥平面ABCD
（2）取D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系. 如图所示:则()1,0,0A ,()1,2,0B ,()1,2,0C -
,(
E
,(F -,
设(DP DF λλ==-u u u r u u u
r
(),2λλ=-,[]0,1λ∈;
∴(
),2P λλ-
,()1,2BP λλ=---u u u r
,
设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =r
,
∴20
20
x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩,
不防设)
n =r .
∴sin cos ,BP n θ==u u u r r BP n
BP n
⋅=⨯u u u r r
u u u r r
=
, 化简得2860λλ-=,解得0λ=或34
λ=
; 当
0λ=时,()1,2,0BP =--u u u r
,
∴BP =u u u r 当3
4λ=时,71,,42
4BP ⎛=-- ⎝⎭
u u u r ,
∴BP =u u u r 综上存在这样的P 点,线段BP
【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力.
20．（1）2;n a n （2）见解析
【解析】
【分析】
【详解】
（1）因为数列
的前项和满足：， 所以当
时，， 即
解得
或， 因为数列
都是正项， 所以
， 因为
， 所以
， 解得
或， 因为数列
都是正项， 所以
， 当
时，有， 所以
， 解得
， 当时，，符合
所以数列的通项公式
，; （2）因为
，
所以
，
所以数列的前项和为：
，
当
时， 有
， 所以，
所以对于任意
，数列的前项和.
21．（1）21y x =-，()0y ≠（2． 【解析】
【分析】
() 1根据题意设(),M m n ，
可得PF 的方程()()22110n x y n ---=，根据距离即可求出； ()2点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，
根据导数的几何意义和斜率公式，求AB ，并构造函数，利用导数求出函数的最值．
【详解】
()1因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为()1,0，
设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，
所以圆M 的半径为n ，点()2,2P n n ，
则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即()()
22110n x y n ---=，
n =，又m ，0n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=，
所以E 的方程为2
1y x =-，()0y ≠， ()2设()21,Q t t +，()10,A y ，()20,B y ，
由()1知，点Q 处的切线1l
的斜率存在，由对称性不妨设0t >， 由'
y =，所以12112AQ t y k t t
-===+，2221
BQ t y k t t -==-=-+， 所以1122t y t
=-，3223y t t =+， 所以331512322222t AB t t t t t t =+-
+=++，0t >． 令()351222f t t t t =++，0t >， 则()422
22511251'6222t t f t t t t +-=+-=， 由()'0f
t >得t >()'0f
t <得0t << 所以()
f t 在区间⎛ ⎝
单调递减，在⎫⎪+∞⎪⎭
单调递增， 所以当t =
()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值 此时219124s t =+=
【点睛】 本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．
22．（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
（1）先对函数进行求导得1()ax f x x
-=
'，对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；
（2）对函数()g x 求导得2(1)1()x a x g x x -++'=，从而有121x x a +=+，121=x x ，211x x =，三个方程中利用32
a ≥得到1102x <≤.将不等式()()12g x g x k -≥的左边转化成关于1x 的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到k 的取值范围.
【详解】
解：（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x
'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；
当0a >时，令1()0f x x a '=⇒=
， 所以()f x 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；
当0a >时，()f x 在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）∵21()ln (1)2
g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x
-++'=+-+=, 由()0g x '=得2
(1)10x a x -++=， ∴121x x a +=+，121=x x ，∴21
1x x = ∵32a ≥∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤.
∴()()()()222112121211221111ln (1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭
. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<,
∴()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递减； 当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
. ∴152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.。