江西省宜春市2020届高三5月模拟考试数学(文)试题 Word版含解析
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故选：D
【点睛】本题主要考查了三角函数的图形变换,同时也考查了根据三角函数的性质求解参数的问题.属于中档题.
10.函数 在 上存在导数，若 ，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：由题意结合不等式的性质确定导函数的符号，结合导函数的符号即可确定函数的单调性，最后，利用单调性即可确定题中不等式的符号.
12.已知函数 ，若函数 存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题 ,即 存在零点.再数形结合画出 的图像,分析与直线 交点的情况进而求得实数a的取值范围即可.
【详解】由题 ,即 存在零点.即 的图像与直线 有交点.画出 的图像,则临界条件为：
1. 与 相交于 ,此时 ,解得 .
A. 53B. 54C. 158D. 263
【答案】A
【解析】
按程序框图知 的初值为 ，代入循环结构，第一次循环 ，第二次循环 ，推出循环， 的输出值为 ，故选A.
5.已知 ，则向量 与向量 的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据已知可得： ，所以 ，所以夹角为 ，故选择C
2.若复数 ，则 的虚部是（ ）
A. B. C. -1D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数求模求得分子为2，再分子分母同乘 ，化简观察可得答案.
【详解】因为 ，所以虚部是
故选：C
【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数求模与实部虚部的辨析，属于简单题.
3.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为 ， ， ，…， ，它们的平均数为 ，方差为 ；其中扫码支付使用的人数分别为 ， ， ，…， ，它们的平均数为 ，方差为 ，则 ， 分别为（ ）
8.设 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断 ， ， ，再求出 ， 的取值或范围，即可得到所求大小关系．
【详解】解： ， ，可得 ，
，
，
可得 ，
即为 ，
故选： .
【点睛】本题考查对数的换底公式的运用，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题．
9.将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m（ ）个单位长度，得到函数 的图象.若 为偶函数，则m的最小值为（ ）
故答案为：
【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，考查了一元二次方程根的判别式，考查了数学运算能力.
15.在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 ，则 的大小为__________．
【答案】
【解析】
∵
∴根据正弦定Байду номын сангаас可得
∵
∴ ，即
∵
∴
故答案为 .
16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则正四棱柱体积的最大值为__________.
（一）必考题：共60分.
17.等差数列 中，公差 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由 和 可列出方程组，解出 和 ，即得通项公式；（2）将（1）中所得通项公式代入 ，列项，用裂项相消法求 的前n项和．
【详解】解：（1）因为 ， ，所以
【答案】64.
【解析】
【分析】
设正四棱柱在半球中的高为 ,画出沿正四棱柱对角面的截面,再根据平面几何关系求出正四棱柱的底面边长和高,进而求得正四棱柱的体积关于 的表达式,再利用导数分析最大值即可.
【详解】设正四棱柱在半球中的高为 ,画出沿正四棱柱对角面的截面.则易得正四棱柱的底面边长为 ,正四棱柱的高为 ,故正四棱柱的体积为 .
（2）分别标记A，B两校没有参与“创城”活动同学，写出任取两人的所有基本事件，选出其中满足的条件的基本事件，由古典概型求概率的公式，求得答案；
（3）由频率分布直方图的面积为1构建方程，联系已知求得 ，由前两组的频率和小于0.5，前三组的频率和大于0.5，所以中位数在第三组，且在第三组中的频率恰占0.18，求出第三组的长度加上70，既得答案.
因为 ，所以
故 的通项公式为 .
（2）因为 ，
所以 .
【点睛】本题考查求等差数列通项公式和用裂项相消法求数列前n项和，是典型考题．
18.在衡阳市“创全国文明城市”（简称“创文”）活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表：
学校
A
B
C
D
抽查人数
10
15
100
75
“创文”活动中参与的人数
9
10
80
49
假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的
（1）若本市共8000名高中学生，估计C学校参与“创文”活动的人数；
（2）在上表中从A，B两校没有参与“创文”活动的同学中随机抽取2人，求恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率；
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数与方程 公式推导平均数与方差的变化即可.
【详解】由题可知,
.
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了平均数与方差的变换性质,需要根据平均数与方差的公式推导关系,属于基础题.
4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数 被 除余 ,被 除余 ，被 除余 ，求 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出 的结果为（ ）
【答案】-2
【解析】
【分析】
对曲线方程求导，表示点 处的切线得斜率 ，因为切线与直线 垂直，由斜率的乘积等于-1构建方程，解得答案.
【详解】对 求导得 ，所以点 处的切线得斜率
由题可知直线 的斜率
又因为切线与直线 垂直，所以
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于简单题.
14.在区间 内随机取两个数 ，则关于 的一元二次方程 有实数根的概率为______.
则 ．故恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率为 ．
（3）依题意， ，所以 ．
又 ，所以 ， ．
因为 ，所以中位数在第三组，
所以中位数为 ．
【点睛】本题考查统计的综合型问题，涉及分层抽样求各层人数和在频率分布直方图中求中位数，还考查了古典概型问题，属于中档题.
19.如图，在三棱锥 中， 为正三角形， 为棱 的中点， ， ，平面 平面 ．
考点：向量的运算
6.已知等差数列 中， ，前10项的和等于前5项的和，若 ，则 （ ）
A. 10B. 9C. 8D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列 公差为 ,再用基本量法求解即可.
【详解】设等差数列 公差为 ,则由题意可知 ,代入 有 ,解得 .又 ,即 ,解得 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量计算,同时也考查了等差数列的求和公式.属于基础题.
【详解】（1）C学校高中生的总人数为 ，
C学校参与“创文”活动的人数为 ．
（2）A校没有参与“创城”活动的这1人记为 ，B校没有参与“创文”活动的这5人分别记为 ，
任取2人共15种情况，如下： ，这15种情况发生的可能性是相等的．
设事件N为抽取2人中A，B两校各有1人没有参与“创文”活动，有 ，共5种情况．
宜春市2020届高三年级模拟考试数学（文）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得 ， ，故选C.
点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.
详解： ，则x>1时 ；x<1时 .
故f(x)在 上为增函数或常数函数，在 上为减函数或常数函数.
故 ， ，即f(0)+f(2)≤2f(1).
本题选择A选项.
点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出点 所在的区域 的面积，再根据一元二次方程根的判别式，得出 之间的关系，利用几何概型的计算公式求解即可.
【详解】点 所在的区域 为边长为 的正方形，如下图所示，
关于 的一元二次方程 有实数根的条件是 ，所以根据一次函数的对称性和正方形的对称性可知：在区域 内且满足条件的点 所在的面积为 ，则所求的概率是 .
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的图像变换求解 ,再根据偶函数的性质求解 的最小值即可.
【详解】由题, 将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）可得将函数 ,再将所得到的图象向右平移m（ ）个单位长度可得 .
又 为偶函数,故当 时,有 , .
即 , .又 ,故当 时, 为最小值.
2. 与 相切于第一象限.此时设切点为 ,此时 .
则 ,解得 , , .
故 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要根据题意画图分析相交的临界条件,再利用导数的几何意义求解即可.属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ________．
7.函数 在区间 的图像大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：判断 的奇偶性，在 上的单调性，计算 的值，结合选项即可得出答案.
详解：设 ，
当 时， ，
当 时， ，即函数 在 上为单调递增函数，排除B；
由当 时， ，排除D；
因为 ，
所以函数 非奇非偶函数，排除C，故选A.
点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
（3）在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评（满分为100分），得到如上的频率分布直方图，其中 ．求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数．（计算结果保留两位小数）．
【答案】（1）3200（2） （3）中位数为 ．
【解析】
【分析】
（1）求得C学校高中生的总人数，再乘以C学校所占的比例 ，既得答案；
设 ,则 .
因为 ,故当 时 .
且在 上 , 单调递增；在 上 , 单调递减.
故
故答案为：64
【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的线段长度,再表达出体积的关系式,求导分析函数的单调性与最值即可.属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.
【详解】
连接 ，连接 ， 交 轴于点 ，
由题意知， ， ，
由余弦定理可得 ，
， ，
为等边三角形，
中， 、 关于 对称，
且 ， ，
，可得 ，
故双曲线 的离心率 ，
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，其中涉及到余弦定理，属于中档题，解题时要注意 的关系 ，否则很容易出现错误.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将与 有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的等式，从而求出的值.
11.已知双曲线C： 的右焦点为F，O为坐标原点.以F为圆心，OF为半径作圆F，圆F与C的渐近线交于异于O的A，B两点.若|AB| |OF|，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出 ，进而得出 为等边三角形，结合双曲线渐近线斜率即可求出 ，再利用 求解即可.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由三线合一的性质得出 ，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出 平面 ，可得出 ，再由 ，结合直线与平面垂直的判定定理可得出 平面 ；
【点睛】本题主要考查了三角函数的图形变换,同时也考查了根据三角函数的性质求解参数的问题.属于中档题.
10.函数 在 上存在导数，若 ，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：由题意结合不等式的性质确定导函数的符号，结合导函数的符号即可确定函数的单调性，最后，利用单调性即可确定题中不等式的符号.
12.已知函数 ，若函数 存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题 ,即 存在零点.再数形结合画出 的图像,分析与直线 交点的情况进而求得实数a的取值范围即可.
【详解】由题 ,即 存在零点.即 的图像与直线 有交点.画出 的图像,则临界条件为：
1. 与 相交于 ,此时 ,解得 .
A. 53B. 54C. 158D. 263
【答案】A
【解析】
按程序框图知 的初值为 ，代入循环结构，第一次循环 ，第二次循环 ，推出循环， 的输出值为 ，故选A.
5.已知 ，则向量 与向量 的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据已知可得： ，所以 ，所以夹角为 ，故选择C
2.若复数 ，则 的虚部是（ ）
A. B. C. -1D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数求模求得分子为2，再分子分母同乘 ，化简观察可得答案.
【详解】因为 ，所以虚部是
故选：C
【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数求模与实部虚部的辨析，属于简单题.
3.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为 ， ， ，…， ，它们的平均数为 ，方差为 ；其中扫码支付使用的人数分别为 ， ， ，…， ，它们的平均数为 ，方差为 ，则 ， 分别为（ ）
8.设 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断 ， ， ，再求出 ， 的取值或范围，即可得到所求大小关系．
【详解】解： ， ，可得 ，
，
，
可得 ，
即为 ，
故选： .
【点睛】本题考查对数的换底公式的运用，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题．
9.将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m（ ）个单位长度，得到函数 的图象.若 为偶函数，则m的最小值为（ ）
故答案为：
【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，考查了一元二次方程根的判别式，考查了数学运算能力.
15.在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 ，则 的大小为__________．
【答案】
【解析】
∵
∴根据正弦定Байду номын сангаас可得
∵
∴ ，即
∵
∴
故答案为 .
16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则正四棱柱体积的最大值为__________.
（一）必考题：共60分.
17.等差数列 中，公差 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由 和 可列出方程组，解出 和 ，即得通项公式；（2）将（1）中所得通项公式代入 ，列项，用裂项相消法求 的前n项和．
【详解】解：（1）因为 ， ，所以
【答案】64.
【解析】
【分析】
设正四棱柱在半球中的高为 ,画出沿正四棱柱对角面的截面,再根据平面几何关系求出正四棱柱的底面边长和高,进而求得正四棱柱的体积关于 的表达式,再利用导数分析最大值即可.
【详解】设正四棱柱在半球中的高为 ,画出沿正四棱柱对角面的截面.则易得正四棱柱的底面边长为 ,正四棱柱的高为 ,故正四棱柱的体积为 .
（2）分别标记A，B两校没有参与“创城”活动同学，写出任取两人的所有基本事件，选出其中满足的条件的基本事件，由古典概型求概率的公式，求得答案；
（3）由频率分布直方图的面积为1构建方程，联系已知求得 ，由前两组的频率和小于0.5，前三组的频率和大于0.5，所以中位数在第三组，且在第三组中的频率恰占0.18，求出第三组的长度加上70，既得答案.
因为 ，所以
故 的通项公式为 .
（2）因为 ，
所以 .
【点睛】本题考查求等差数列通项公式和用裂项相消法求数列前n项和，是典型考题．
18.在衡阳市“创全国文明城市”（简称“创文”）活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表：
学校
A
B
C
D
抽查人数
10
15
100
75
“创文”活动中参与的人数
9
10
80
49
假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的
（1）若本市共8000名高中学生，估计C学校参与“创文”活动的人数；
（2）在上表中从A，B两校没有参与“创文”活动的同学中随机抽取2人，求恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率；
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数与方程 公式推导平均数与方差的变化即可.
【详解】由题可知,
.
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了平均数与方差的变换性质,需要根据平均数与方差的公式推导关系,属于基础题.
4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数 被 除余 ,被 除余 ，被 除余 ，求 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出 的结果为（ ）
【答案】-2
【解析】
【分析】
对曲线方程求导，表示点 处的切线得斜率 ，因为切线与直线 垂直，由斜率的乘积等于-1构建方程，解得答案.
【详解】对 求导得 ，所以点 处的切线得斜率
由题可知直线 的斜率
又因为切线与直线 垂直，所以
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于简单题.
14.在区间 内随机取两个数 ，则关于 的一元二次方程 有实数根的概率为______.
则 ．故恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率为 ．
（3）依题意， ，所以 ．
又 ，所以 ， ．
因为 ，所以中位数在第三组，
所以中位数为 ．
【点睛】本题考查统计的综合型问题，涉及分层抽样求各层人数和在频率分布直方图中求中位数，还考查了古典概型问题，属于中档题.
19.如图，在三棱锥 中， 为正三角形， 为棱 的中点， ， ，平面 平面 ．
考点：向量的运算
6.已知等差数列 中， ，前10项的和等于前5项的和，若 ，则 （ ）
A. 10B. 9C. 8D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列 公差为 ,再用基本量法求解即可.
【详解】设等差数列 公差为 ,则由题意可知 ,代入 有 ,解得 .又 ,即 ,解得 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量计算,同时也考查了等差数列的求和公式.属于基础题.
【详解】（1）C学校高中生的总人数为 ，
C学校参与“创文”活动的人数为 ．
（2）A校没有参与“创城”活动的这1人记为 ，B校没有参与“创文”活动的这5人分别记为 ，
任取2人共15种情况，如下： ，这15种情况发生的可能性是相等的．
设事件N为抽取2人中A，B两校各有1人没有参与“创文”活动，有 ，共5种情况．
宜春市2020届高三年级模拟考试数学（文）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得 ， ，故选C.
点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.
详解： ，则x>1时 ；x<1时 .
故f(x)在 上为增函数或常数函数，在 上为减函数或常数函数.
故 ， ，即f(0)+f(2)≤2f(1).
本题选择A选项.
点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出点 所在的区域 的面积，再根据一元二次方程根的判别式，得出 之间的关系，利用几何概型的计算公式求解即可.
【详解】点 所在的区域 为边长为 的正方形，如下图所示，
关于 的一元二次方程 有实数根的条件是 ，所以根据一次函数的对称性和正方形的对称性可知：在区域 内且满足条件的点 所在的面积为 ，则所求的概率是 .
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的图像变换求解 ,再根据偶函数的性质求解 的最小值即可.
【详解】由题, 将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）可得将函数 ,再将所得到的图象向右平移m（ ）个单位长度可得 .
又 为偶函数,故当 时,有 , .
即 , .又 ,故当 时, 为最小值.
2. 与 相切于第一象限.此时设切点为 ,此时 .
则 ,解得 , , .
故 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要根据题意画图分析相交的临界条件,再利用导数的几何意义求解即可.属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ________．
7.函数 在区间 的图像大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：判断 的奇偶性，在 上的单调性，计算 的值，结合选项即可得出答案.
详解：设 ，
当 时， ，
当 时， ，即函数 在 上为单调递增函数，排除B；
由当 时， ，排除D；
因为 ，
所以函数 非奇非偶函数，排除C，故选A.
点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
（3）在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评（满分为100分），得到如上的频率分布直方图，其中 ．求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数．（计算结果保留两位小数）．
【答案】（1）3200（2） （3）中位数为 ．
【解析】
【分析】
（1）求得C学校高中生的总人数，再乘以C学校所占的比例 ，既得答案；
设 ,则 .
因为 ,故当 时 .
且在 上 , 单调递增；在 上 , 单调递减.
故
故答案为：64
【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的线段长度,再表达出体积的关系式,求导分析函数的单调性与最值即可.属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.
【详解】
连接 ，连接 ， 交 轴于点 ，
由题意知， ， ，
由余弦定理可得 ，
， ，
为等边三角形，
中， 、 关于 对称，
且 ， ，
，可得 ，
故双曲线 的离心率 ，
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，其中涉及到余弦定理，属于中档题，解题时要注意 的关系 ，否则很容易出现错误.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将与 有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的等式，从而求出的值.
11.已知双曲线C： 的右焦点为F，O为坐标原点.以F为圆心，OF为半径作圆F，圆F与C的渐近线交于异于O的A，B两点.若|AB| |OF|，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出 ，进而得出 为等边三角形，结合双曲线渐近线斜率即可求出 ，再利用 求解即可.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由三线合一的性质得出 ，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出 平面 ，可得出 ，再由 ，结合直线与平面垂直的判定定理可得出 平面 ；