人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题专项训练检测试卷

人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题专项训练检测试卷
一、平面向量多选题
1．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）
A ．72EA E
B EB E
C EC E
D ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=
【答案】BC 【分析】
以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系
xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
作出图形如图所示，以O 为坐标原点，
线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2
2
36x y +=，
故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，
故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅
()()
2
4144EA EC EB ED EO =+⋅+==，
56EA EC EB ED ⋅+⋅=.
故选：BC
2．下列命题中真命题的是（ ）
A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）
B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则
3
π
＜θ≤π
C ．A 、B 、C 、
D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形
D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】
对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】
对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即1
2
a b ⋅＜，又
1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3
π
＜θ≤π，即B 正确.
对于C ：
()()
22
0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，
0||
BC BD cosB BC BD ⋅=
⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所
以C 正确.
对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.
3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB
是圆()()2
2
:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）
A ．弦A
B 的中点轨迹是圆
B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()2
2
222x y -+-=上
C ．线段PG 长的最大值为1
D ．PA PB ⋅
的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】
对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用
1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算
得到2
3PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =
--问题，即可判断.
【详解】
对于选项A ：设()00,G x y
，
2AB =
G 为弦AB 的中点， GB ∴=，
而()()2
2
:114C x
y +++=， 半径为2，
则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，
又圆心()1,1C --，
()()22
00111x y ∴+++=，
即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ： 由310
310
mx y m x my m --+=⎧⎨
+--=⎩，
得222
232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
， 代入()()22
22x y -+-整理得2， 故选项B 正确；
对于选项C ：由选项A 知：
点G 的轨迹方程为：()()2
2
111x y +++=，
由选项B 知：点P 的轨迹方程为：(
)()2
2
222x y -+-=，
()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=
所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，
故选项C 正确； 对于选项D ：
()()
PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()
2
PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 2
2
2
03PG PG GB PG =+⋅-=-，
故()
(
)
2
min
min
3
PA PB
PG ⋅=-，
由选项C 知：1112min 11PG PG r r =--=-=，
所以()
()
2
min
136PA PB
⋅=-=-，
故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】
关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.
4．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C = B ．0AB AC ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是
D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD 【分析】
先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到
3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选
项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】
依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；
222222
cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=
222222.5 1.5 3.515
028
k k +-==-<，
故选项B 不正确；
若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，
所以222106141
cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以sin 2
A =
，
故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，
所以2225371
cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =
， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：12sin 3
a A ⨯=
， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设
4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本
题的关键.
5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，
2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）
A ．0OC EO +=
B ．0AB CE ⋅=
C ．3OA OB OC O
D +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
【答案】BD 【分析】
可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】
因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，
所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，
则()0,0E ，()1,0A -，()10
B ,，(3
C ， 由2A
D DC =可得2
22333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭
， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且1
2
GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,
2O ⎛ ⎝⎭
， 对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；
对于C ，31,2OA ⎛=-- ⎝⎭，31,2OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2OC ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭，13,36OD ⎛=- ⎝⎭
，
所以1
3,3OA OB OC OD ⎛+++=- ⎝⎭，所以2
3
OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，(3BC =-，123,33ED ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC ED BC
+⋅==，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.
6．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-
【答案】CD 【分析】
对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，
2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所
以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】
对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；
对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；
对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．下列说法中错误的为 （）
A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底
C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为a
D ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足
AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫
⎪=⋅+
= ⎪⎝⎭
，则O 是ABC 的内心 【答案】AC 【分析】
对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；
对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫
⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心. 【详解】
对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角， 可得()
0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++， 即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，
解得53λ>-
且0λ≠，则实数λ的取值范围是5
3
λ>
-且0λ≠， 故A 不正确；
对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
124e e =，
∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；
对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误； 对于D ，
AB CA AB
CA
+
表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，
由0AB CA OA AB CA ⎛⎫
⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，可知OA 垂直于角A 的外角平分线， 所以，点O 在角A 的平分线上，
同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上， 故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】
本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.
8．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】AD 【分析】
由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】
平面向量,,a b c 两两夹角相等，
∴两两向量所成的角是0︒或120︒.
当夹角为0︒时，
,,a b c 同向共线，
则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，
,a b 为单位向量，
1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，
又
2c =，
1a b c ∴++=.
故选：AD. 【点睛】
本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-
【答案】AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )
A ．0OA OC O
B ++=
B ．()()0OA AF EF D
C -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅
D ．OF OD FA OD CB +=+-
【答案】BC
【分析】
利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】
对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；
对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确；
对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202
OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602
AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-
=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，
||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；
故选：BC.
【点睛】
本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。