7《13zb信号与系统》第 七次课

f (t )
1
0
T 2
T
t
偶函数：只含余弦项； 半周重叠： 只含偶次谐波和直流
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。
20
例2
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是______ B 。
f (t )
15
1 T2 1 T2 T f (t ) cos n t dt j T f (t ) sin n t dt T 2 T 2
n 0, 1, 2,
N=1称为基波
16
N>1称为谐波
3.2.4 周期信号的对称性与傅氏系数的关系
纵轴对称（偶函数）
为偶函数； 为奇函数； 只含常数和余弦项。
3.1.1 矢量正交与正交分解 矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即 3 T Vx Vy vxi v yi 0
i 1
2
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
y A A x
y
x z
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。
18
周期信号的对称性与付立叶系数的关系表
f (t )的对称条件
展开式中系数特点
T t0 4 2 f (t ) f (t )，纵轴对称（偶函数 ） bn 0，an f (t ) cos n1tdt t T 0 4 t0 T f (t ) f (t )，原点对称（奇函数） an 0，bn 2 f (t ) sin n1tdt T t0
原点对称（奇函数）
只含正弦项。
为奇函数； 为偶函数；
半周镜象对称（奇谐函数）
无偶次谐波，只有奇次谐波。
17
半周重迭（偶谐函数）
无奇次谐波，只有直 流(常数)和偶次谐波。
根据周期信号的对称性与傅里叶系数的 关系，可使求解傅里叶系数的计算量大 大减少；也可以确定信号所含的频率分 量的类别；对绘波形图也有作用。
1
时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数；而yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
§3-1 信号分解为正交函数
第三章
连续系统的频域分析
§3-1 信号分解为正交函数 3.1.1 矢量正交与正交分解 *3.1.2 信号正交与正交函数集 *3.1.3 信号的正交分解 §3-2 傅里叶级数 3.2.1 傅里叶级数的三角函数形式 3.2.2 傅里叶级数的指数形式 3.2.3 傅里叶系数间的关系 3.2.4 周期信号的对称性与傅氏系数的关系 §3-3 周期信号的频谱 §3-4 非周期信号的频谱
11
12
3.2.2 傅里叶级数的指数形式
偶函数；
奇函数
13
令： 称为复傅里叶系数。
P127(4.2-18)多了1/2系数
表明任意周期信号可以表示成 子为 。
的线性组合，加权因
14
3.2.3
傅里叶系数间的关系
n 0, 1, 2,
2 T2 傅里叶系数： an T f (t ) cos n t dt T 2 2 T2 bn T f (t ) sin n t dt T 2
0
T 4
t
f (t )
T 4
0
T 4
T 2
T
t
24
作业
看书：p120~130
练习：p200 ~… 4.7（a) 4.10 (a)(b)
预习：p130~136
25
26
f (t ) f (t
T )，半周重叠（偶谐函数 ）无奇次谐波，只有直流 和偶次谐波 2
T f ( t ) f ( t )， 半 周 镜 像 （ 奇 谐 函 数 ） 无偶次谐波，只有奇次 谐波分量 2
19
例 1Байду номын сангаас
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是 C 。 ______
解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。
0
f (t )
T 4
t
T 4
0
T 4
T 2
T
t
注意：强半周期和后半周期以t轴景象对称
23
例5
已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下 列条件绘出整个周期内的信号波形。 f (t)是t的偶函数，其傅里叶级数 同时有奇次谐波与偶次谐波； f (t )
解：波形纵轴对称。
n 1, 2,
An a b
2 n
2 n
复傅里叶系数。
bn n arctg an
1 1 jn 1 1 Fn An Ane ( An cosn jAn sin n ) (an jbn ) 2 2 2 2
1 T2 1 T2 T f (t )[cos n t j sin n t ]dt T f (t ) e jn t dt T 2 T 2
第三章第三章连续系统的频域分析连续系统的频域分析31信号分解为正交函数311矢量正交与正交分解312信号正交与正交函数集313信号的正交分解32傅里叶级数321傅里叶级数的三角函数形式322傅里叶级数的指数形式323傅里叶系数间的关系324周期信号的对称性与傅氏系数的关系33周期信号的频谱34非周期信号的频谱3311信号分解为正交函数311矢量正交与正交分解时域分析以冲激函数为基本信号任意输入信号可分解为一系列冲激函数
%方波分解为多次谐波之和， 文件名：xinhao_fenjie.m clear, clf;close all t=0:0.01:2*pi; y=zeros(10,max(size(t))); x=zeros(size(t)); for k=1:2:19 ; x=x+4/pi*sin(k*t)/k; y((k+1)/2,:)=x; end subplot(211),plot(t,y(1:9,:)),grid on; %画不同频率正弦波 text(pi,pi/4,'pi'); axis([0,2*pi,-1.5,1.5]) halft=ceil(length(t)/2);%向正方向舍入 subplot(212),mesh(t(1:halft),[1:10],y(:,1:halft))%画三维图
1
0
T 2
T
t
-1
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。
21
奇函数：只含正弦项； 半周镜象对称： 只含奇次谐波
例 3
已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下 列条件绘出整个周期内的信号波形。 （ f (t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波； （延拓波形可以用前 T/4的波形的反折、t轴的景象、延迟等 形状来画）。
4
§3-2 傅里叶级数
3.2.1 傅里叶级数的三角函数 形式
周期信号可分解为
是 n 的偶函数
是 n 的奇函数
5
6
或由三角公式
或
7
后证（p127)
例
试求如图所示周期信号的傅里叶级数。
解 基波频率
积，即
，f(t)的平均值是每个周期的平均面
8
即
9
MATLAB程序成图
理论→∞项
10
周期信号的分解与合成三维立体图
3
y
例如对于一个三维空间的矢量 A =(2，5，8)，可以用一个三 维正交矢量集{ vx，vy，vz}分量 的线性组合表示。 即
A
x z
vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信 号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号， 使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组 合。
f (t )
解：波形纵轴对称；半周重叠。
0
f (t )
T 4
t
T 4
22
0
T 4
T 2
T
t
例4
已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按 下列条件绘出整个周期内的信号波形（延拓波形可以用前 T/4的波形的反折、t轴的景象、延迟等形状来画）。 f (t)是t的偶函数， f (t ) 其傅里叶级数只有奇次谐波；