内蒙古赤峰市宁城县2016届高三数学下学期第四次统一模拟考试试题 理

2016年宁城县高三年级统一考试（5.10）
数学试卷（理科）
注意事项：
1、本试卷本分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.
2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合{}{}
22
30,430M x x x N x x x =->=-+>,则M
N =
(A)()0,1 (B)()1,3 (C)()0,3 (D)()3,+∞ 2. 设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，已知()3412i z i -=+，则z =
（A ）1255i + （B ）1255i -+ （C ）1255i -- （D ）12
55
i -
3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到22⨯列联表，经计算得2 5.231K =，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，则该研究所可以（ ）
（A ）有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” （B ）有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” （C ）有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” （D ）有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）19 （B ）42 （C ）8
（D ）3
5. 已知a b <，函数()=sin f x x ，()=cos g x x ． 命题p ：()()0f a f b ⋅<，
命题q ：函数()g x 在区间(,)a b 内有最值．则命题p 是命题q 成立的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
2
6．如图，矩形OABC 内，阴影部分是由直线4y x =-，
曲线
y =x 轴围成，在矩形内随机取一点，则此点取自
阴影部分的概率是
7()12A 5()12B 1()2C
(D 7．函数()sin (0,0,02)y A x A ωϕωϕπ=+>><<一个周期的图像如图所示,则 (A) 32,2,4
A π
ωϕ===
(B) 52,2,4A π
ωϕ===
(C) 132,,24
A π
ωϕ===
(D)152,,24
A πωϕ==
= 8.右图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为 （A ）
3,12 （B ）4,13 （C ）33,22 （D ）44
,33
9．已知1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆的内部，则椭圆C 的离心率的取值范围（ ） （A ）)1,0( （B ）]21
,
0( （C ）)22,0( （D ）)1,2
2[ 10.已知函数21,0,
()(1),0.
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数
根，则实数a 的取值范围是
（A ）()0,1 （B ）(],1-∞ （C ）[)0,+∞ （D ）(),1-∞
3
1
1
左视图
主视图1
俯视图
2
11. 点P 是在△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u r u u r u u r u u u r u u u r u u r
，AB=2，AC=3，
60A ∠=︒.存在实数,λμ，使AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则
（A ）21,39λμ=
= （B ）12,39λμ== （C ）21,33λμ== （D ）22,39
λμ== 12. 若圆()()2
2210x y r r -+=>与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是
(A)0r << （B
）0r <<
（C
）0r < （D
）0r <<
2016年宁城县高三年级统一考试（5.10）
数学试卷（理科）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作
答.第22题〜第：24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分
. 13
．化简((5
5
11+ 按x 升幂排列为 ．
14．某三棱椎的三视图如图所示，
则其体积为 ．
15．已知,x y 满足0,,.x y x x y k ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
（k 为常数），若
2z x y =+最大值为8，则k =________.
16．在△ABC 中，4
BC B π
=∠=
，则2AB AC +的最小值为 ___________.
三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
4
17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且24a =，530S =，数列{}n b 满足
n n a nb b b =+++ 212.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求证：122314n n bb b b b b ++++<L .
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点,M N 分别为线段,PB PC 上的点，MN PB ⊥.
(Ⅰ)求证：BC ⊥平面PAB ；
(Ⅱ)当2PA AB ==，二面角C AN D --大小为为π
3
时，求PN 的长.
19．（本小题满分12分）
某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品
N
M D
C
B A
P
5
按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：
（Ⅰ）若90100x y ≤+<，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组 数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X ，求X 的数学期望；
（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?（利润L ＝销售收入－成本）
附：线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式： 1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y b x =-，其中x 、y 表示样本均值．
20. （本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
4x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条
切线,MA MB ，切点分别为A ,B .
（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程； （Ⅱ）证明：以AB 为直径的圆恒过点M .
21．（本小题满分12分）
已知函数)cos ()(1x a e
x f x
+-=-，a ∈R .
6
（I ）若函数)(x f 存在单调减区间，求实数a 的取值范围；
（II ）若0a =，证明：⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-∈∀2
1,1x ，总有0)1cos()(2)1(>+⋅'+--x x f x f .
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
7
如图，A 、B 是圆O 上的两点，且AB 的长度小于圆O 的直径，直线l 与AB 垂于点D 且与圆O 相切于点C ．若AB=2，DB=1
（1）求证：CB 为∠ACD 的角平分线； （2）求圆O 的直径的长度．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点()3,0M ，倾斜角为
6
π. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于AB 两点,求MA MB +.
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
若0x R ∃∈，使关于x 的不等式12x x t ---≥成立，设满足条件的实数t
构成的集
8
合为T.
（1）求集合T ；
（2）若1,1m n >>，且对于t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求m n +的最小值.
9
2016年宁城县高三年级统一考试（5.10）
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题：ACBA ABDC CDAC
二、填空题：13、2
22010x x ++；14
、3
；15、163；16
1.
三、解答题:
17.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由25430a S ==，得
由114
54
5302
a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩……………………………………2分 解得1=22a d =，，…………………………………………4分
故数列{}n a 的通项公式为：()2122n a n n =+-⨯=……………………5分 （Ⅱ）由（1）可得122.......2n b b nb n +++=①………………………………6分 所以当2n ≥时，1212(-1)2(1)n b b n b n -+++=-②………………………7分
①-②得2n nb =，即2
n b n =
……………………………………………8分 又112b a ==也满足2n b n =，所以2n b n N n
+
=∈，.………………………………9分
14114()(1)1
n n b b n n n n +∴⋅=
=-++……………………………………10分
12231111
1114(1)4(1)4223
11
n n b b b b b b n n n +∴++
+=-+-+
+
-=-<++………12分 18.（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥, …………………1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥. …………………2分 因为AB
PA A =，且AB ，PA ⊂平面PAB ，
所以BC ⊥平面PAB …………………4分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，
所以PA AB ⊥,PA AD ⊥.
10
又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
A xyz -, …………………6分
所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P .
设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =，
平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =, 设PN PC λ=, [0,1]λ∈，
因为(2,2,2)PC =-，所以(2,2,22)AN λλλ=-，
又(0,2,0)AD =，所以0
0AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，
取1z =, 得到1
(
,0,1)n λλ
-=, …………………8分 因为(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =
所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，
取1a =得, 到(1,1,0)m =-, …………………10分 因为二面C AN D --大小为
3π, 所以π1
|cos ,|cos 32
m n <>==,
所以1|cos ,|2||||
m n m n m n
⋅<>=
=
= 解得1
2
λ=
, 所以PN = …………………12分 19．解：（Ⅰ）X 取值为0,1,2．使90100x y ≤+<的有3组，所以23261
(0)5
C P X C ===，
1133263(1)5C C P X C ===，23261
(2)5
C P X C ===．X 的分布列为
11
数学期望为0121555
EX =⨯+⨯+⨯=．
…………6分
（Ⅱ）因为8.5x =，80y =，
2
1
()
0.7n
i
i x x =-=∑，1
()()14n
i i i x x y y =--=-∑．所以
14ˆ200.7
b
-==-，ˆˆ250a b =-=．y 关于x 的线性回归方程是20250y x =-+． 利润2
(20250)4(20250)203301000L x x x x x =-+--+=-+-． 当330
8.252(20)
x =-
=⨯-时，L 取最大值361.25．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
…………12分
20.解：（Ⅰ）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，
由24,1,
x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2
(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±.
代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)A B -. ……………3分 设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为2
2
(1)4x y +-=． ……………5分
（Ⅱ）证明：设0(,1)M x -，由已知得2
4x y =，12y x '=，设切点分别为211(,
)4x A x ，2
22(,)4
x B x ，所以12MA x k =，22MB x k =，
切线MA 的方程为211
1()42
x x y x x -
=-即2111124y x x x =-，
12
切线MB 的方程为222
2()42x x y x x -
=-即2221124y x x x =-． ……………7分 又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111
124x x x -=
-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得2
02211124
x x x -=-. ②
所以1x ，2x 是方程2
011124
x x x -=-的两实根，
由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-． ……………9分
因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ， 所以22
121020()()(1)(1)44
x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r 222
2
1212012012121()()21164
x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=u u u r u u u r
.
所以以AB 为直径的圆恒过点M ． ……………12分
21.解：（I ）由已知，得
x e x a e x f x x sin )cos ()(11---+--='))cos (sin (1x x a e x +-=-………………2分
因为函数)(x f 存在单调减区间，所以方程0)(<'x f 有解. 而01>-x
e
恒成立，即0)cos (sin <+-x x a 有解， 所以max )cos (sin x x a +<.
又[]
2,2)4
sin(2cos sin -∈+=
+π
x x x ，所以，2<a . ……………5分
(II)因为0=a ，所以x e x f x cos )(1⋅=-， 所以)1cos()1cos()1(22
+⋅=--⋅=--++x e x e
x f x x .
因为)1cos()cos (sin 2)1cos()(21+⋅+-=+⋅'-x x x e x x f x
，
所以()()[
]
x x e e
x x x f x f x x cos sin 21cos )1cos()(2)1(12
+-+=+⋅'+---+
13
又对于任意⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-∈2
1,1x ，0)1cos(>+x .……………………………6分
要证原不等式成立，只要证0)cos (sin 212>+--+x x e e x x ， 只要证)4sin(221
2π
+
>+x e
x ，对于任意⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈21,1x 上恒成立. ………………8分 设函数)4sin(2222)(π
+
-+=x x x g ，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈21,1x ， 则)4
cos(222)(π
+
-='x x g ))4
cos(22(
22π
+-=x ， 当[]0,1-∈x 时，0)(≤'x g ，即)(x g 在[]0,1-上是减函数， 当⎥⎦⎤ ⎝
⎛∈21,0x 时，0)(>'x g ，即)(x g 在⎥⎦
⎤ ⎝
⎛2
1,0上是增函数，
所以,在⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-2
1,1上，0)0()(min ==g x g ，所以0)(≥x g .
所以，22)4
sin(22+≤+x x π
，（当且仅当0=x 时上式取等号）①……………10分
设函数)22()(1
2+-=+x e
x h x ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈21,1x ，则)1(222)(1212-=-='++x x e e x h ，
当⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
--∈2
1,1x 时，0)(≤'x h ，即)(x h 在⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--21,1上是减函数，
当⎥⎦⎤ ⎝⎛-
∈21,21x 时，0)(>'x h ，即)(x h 在⎥⎦⎤
⎝⎛-21,21上是增函数，
所以在⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-21,1上，0)21
()(min =-=h x h ，所以0)(≥x h ，
即221
2+≥+x e
x ，（当且仅当2
1
-=x 时上式取等号）②.
综上所述，)4
sin(22221
2π
+≥+≥+x x e
x ，
14
因为①②不可能同时取等号 所以)4sin(221
2π
+
>+x e
x ，在⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-∈∀21,1x 上恒成立， 所以⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-∈∀2
1,1x ，总有0)1cos()(2)1(>+⋅'+--x x f x f 成立. ………12分
四、选做题
22．（1）证明：由切割线定理得CD 2
=DA•DB=3，∴
又∵在Rt△CDB 中，CB 2
=CD 2
+BD 2
=3+1=4 ∴在Rt△CBA 中，CB=AB=2， ∴∠ACB=∠CAB 又∵CD 为圆O 的切线， ∴∠BCD=∠CAB
∴∠BCD=∠ACB，CB 为∠ACD 的角平分线 …………5分
（2）解：连结AO 并延长交圆O 于点E ，连结CE ， 设DC 延长线上一点为F ， ∵AE 为圆O
直径，∴
∵直线l 与圆O 相切于点C ．∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠2， ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ∴∠1=∠2=∠BCD=∠ACB
∴EC=BC=AB=2（相等的圆周角所对的弦相等） ∵AC 2=AD 2+CD 2=9+3=12 ∴AE 2=EC 2+AC 2=4+12=16
∴AE=4圆O 的直径为4 …………………………10分 23．解：（1）对于C ：由2
2
2
4cos 4cos 4x y x ρθρρθ==∴+=得，
15
对于:l
由()3212
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 （2）设A,B 两点对应的参数分别为12,t t
将直线l 的参数方程带入圆的直角坐标方程2240x y x +-=
得2
214304t ⎛⎫⎛⎫
+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
化简得2
30t -=
121212123t t t t MA MB t t t t ∴+==-∴+=+=-=
24.解：
所以121x x ---≤，所以t 的取值范围为(],1-∞.-----------------4分
(Ⅱ)由(I)知，对于t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，只需33max log log m n t ⋅≥, 所以33log log 1m n ⋅≥，------------------------------------6分 又因为1,1m n >>，所以33log 0,log 0m n >>.
又()()2
2
3333333log log log 1log log log =log 24mn m n m n m n m n +⎛⎫≤⋅≤=
= ⎪⎝⎭
时，取等号，此时 所以()2
3log 4mn ≥，所以3log 2
mn ≥，
9mn ≥，
所以6m n +≥≥，即m n +的最小值为6()
==3m n 此时.---------------10分。