人教B版高中数学必修四课件本章回顾2

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请做：阶 段 检 测 试 题 二
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证明 建立如图的平面直角坐标系，设 A(0，b)，B(－a,0)， C(a,0)，
则 D－a2，b2，C→D＝－32a，b2.
易知△ABC 的外心 F 在 y 轴上，可设为(0，y)． 由|A→F|＝|C→F|，可得 (y－b)2＝a2＋y2， 所以 y＝b22－ba2，即 F0，b22－ba2. 又因为 E 为△ACD 的重心，所以 E 的坐标为a6，b2， 则E→F＝－a6，－2ab2 .
例 1 如图所示，若物体重量为 G，被两根不等长的绳子 吊起，绳子两端点 A 和 B 保持同一高度，且绳子与竖直方向的 夹角分别为 α 和 β，试研究拉力 f1、f2 的大小．
剖析 物体处于静止状态，受力平衡，即 f1 和 f2 的合力和 物体重力是平衡力，可以应用力的分解解决．于是可以应用向 量的正交分解来处理本题．
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第二章 平面向量
第二章 平面向量
本章回顾，总结升华
本章知识结构
本章回顾总结
数学思想方法
本章知识结构
梳理知识 夯实基础
本章回顾总结
3．通过本章的学习，掌握用向量处理问题的两种的形成过程，解题的思维过程，体验数形结合 思想的指导作用．
5．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、物理问题的 过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
数学思想方法
梳理知识 夯实基础
一、构建模型的思维方法 构建模型是中学数学中重要的思想方法之一，运用它可以 迅速地将某些研究对象或实际问题抽象为数学问题，进而使问 题得以解决．平面向量中的不少知识和问题中都蕴含着这一思 想方法，如向量的加、减法可归结为平行四边形或三角形模型．
二、数形结合的思想方法
由于向量本身具有代数形式(用有序实数对表示)与几何形
式(用有向线段表示)的双重特点，所以向量知识体现了数形结
合的思想方法．
例 2 向量 a，b 的夹角为 60°，且|a|＝1，|b|＝2，则|2a－
b|＝( )
A．1
B. 2
C．3
D．2
解析 依题意作图，易知△OAB 为等边三角形，所以|2a －b|＝|b|＝2.
梳理知识 夯实基础
1．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与 实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．
2．向量是数形结合的载体，一方面通过数形结合来研究向 量的概念和运算；另一方面，以向量为工具，数形结合地解决 数学和物理的有关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数 方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和 手段．
所以E→F·C→D＝－a6×－32a＋－2ab2 ×b2＝0. 所以E→F⊥C→D，所以 EF⊥CD.
规律技巧 在证明垂直问题时，如果不容易直接证明，可 考虑建立坐标系，将几何问题转化为向量的坐标运算问题来解 决．
四、分类讨论思想 当数学问题中含有变量或参数，而这些变量或参数取不同 值会导致不同的结果时，需要对参数进行分类讨论．分类讨论 时，应遵循不重不漏的原则，逐类进行，还必须对讨论结果加 以综合，使解题步骤规范、完整． 例 4 已知两个不共线向量 a＝(mx2，－1)，b＝mx1－1，x (m 为常数)，若向量 a，b 的夹角为锐角，求实数 x 的取值范围．
∴x(mx－1)>0.
当 m>0 时，解得 x<0，或 x>m1 ；
当 m＝0 时，解得 x<0； 当 m<0 时，x(－mx＋1)<0，解得m1 <x<0. 综上所述，当 m>0 时，x∈(－∞，0)∪m1 ，＋∞； 当 m＝0 时，x∈(－∞，0)；当 m<0 时，x∈m1 ，0.
解析 以力的作用点 O 为原点，竖直方向为 y 轴建立直角 坐标系．将 f1、f2 分别分解为水平方向和竖直方向上的力 f1x、 f1y、f2x、f2y，如图所示．
∴f1x＋f1y＝f1，f2x＋f2y＝f2. 用向量表示为 O→M＋O→N＝f1，O→P＋O→Q＝f2； 则由受力平衡知物体在水平方向和竖直方向上受力平衡． 即ff11xy＝ ＋－f2y＝f2x－，G， ∴||ff11||scionsαα＝＋||ff22||scionsββ，＝|G|.
答案 D
三、转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采 用某种手段，通过变换，将问题转化为易解决的问题的一种方 法． 例 3 在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明：EF⊥CD. 剖析 建立适当的平面直角坐标系，将证明 EF⊥CD 转化 为证明E→F·C→D＝0.
剖析 由 cosθ＝|aa|·|bb|知，要使 a，b 的夹角 θ 为锐角，只要 a·b>0，且 a≠λb(λ>0)即可．本题已知 a，b 不共线，故只需 a·b>0 即可．
解析
设 a，b 的夹角为 θ，∵a，b 不共线，
∴由夹角的定义知，只要 a·b>0，θ 即为锐角．
∵θ 为锐角，
∴a·b＝mmx－x2 1－x＝mx2m－xm－x12＋x＝mxx－1>0，
解得|f1|＝cosα＋|Gsi|nαcotβ， |f2|＝cosβ＋|Gsi|nβcotα .
故两根绳子的拉力大小为cosα＋|Gsi|nαcotβ和cosβ＋|Gsi|nβcotα.
规律技巧 (1)当 α＝β 时，是本题的一种特例． (2)此处应用了向量的正交分解，因此可以应用直角坐标来 解决． (3)可以得出： 若 α>β，则|f1|<|f2|，若 α＝β，则|f1|＝|f2|.