平面的三个公理

平面的三个公理
第一篇：平面的三个公理
平面的三个公理
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。

公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（推论一:直线与直线外一点可确定一个平面；推论二：两条相交直线可确定一个平面；推论三：两条平行直线可确定一个平面）
公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

直线与平面平行的判定定理
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 a￠α，bα，且a∥b→a∥α
两个平面平行的判定定理
定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.aβ,bβ,a∩b＝A,a∥α,b∥αα∥β.推论：:如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行。

aα，bα，a∩b=P，cβ，dβ，c∩d=P’,a∥b, b∥c→α∥β.直线与平面平行的性质定理定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．a∥α, aβ, α∩β=b
两个平面平行的性质定理
a∥b 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，直线与平面垂直的判定定理定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.a∥b mα，nα，M∩N＝A,l⊥m,l⊥nl⊥α重要结论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.a∥b，a⊥αb⊥α
直线与平面垂直的性质定理
定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.a⊥α，b⊥αa∥b
两个平面互相垂直的定义及判定定理与性质定理
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

第二篇：公理意义
公理
所谓公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律。

目录读法
释义
例子
公理系统
公理集合论
公理化方法
编辑本段读法
拼音：gōnglǐ
英文：axiom
编辑本段释义
1)经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。

2)某个演绎系统的初始命题。

这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题。

基本解释
1.[axiom]∶依据人类理性和愿望发展起来而共同遵从的道理世界有强权,没有公理啊!
2.[self-evident truth;generally acknowledged truth]∶经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的命题(如数字中的)详细解释
1.社会上公认的正确道理。

《三国志·吴志·张温传》：“竞言艳及选曹郎徐彪，专用私情，爱憎不由公理。

” 清姚鼐《礼笺序》：“经之说有不得悉穷。

古人不能无待於今，今人亦不能无待於后世。

此万世公理也。

” 叶圣陶《倪焕之》十九：“世界有强权，没有公理啊！”
2.在一个系统中已为实践所反复证明而被认为无须再证明的真理。

如“等量加等量其和相等”，就是公理。

编辑本段例子
1)《三国志·吴志·张温传》：“竞言艳（暨艳）及选曹郎徐彪，专用私情，憎爱不由公理。

”
2)
(a)传统形式逻辑三段论关于一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么，也即如果对一类事物的全部有所断定，那么对它的部分也就有所断定，便是公理。

又如日常生活中人们所使用的“有生必有死”，也属于这种不证自明的判断。

(b)在欧几里得几何系统中下面所述的都是公理：
①等于同量的量彼此相等；
②等量加等量，其和相等；
③等量减等量，其差相等；
④彼此能重合的物体是全等的；
⑤整体大于部分。

编辑本段公理系统
在数学上，一个公理系统(axiomatic system，或称公理化系统，公理体系，公理化体系)是一个公理的集合，从这些公理可以逻辑地导出所有的定理。

也可以说，公理系统是形式逻辑的一个完整体现。

一个数学理论系统是由一个公理系统和所有它导出的定理组成的。

比如：欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设，平面几何中的一切定理都可由这五条公理和公设推得。

由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用
了公理化体系来构造他们的理论系统。

如现代得到多数人认可的大爆炸理论，就是基于这样的一个认识。

在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是不必证明的。

因为公理是人们为了方便研究（某些方面也只有有了一个标准才能进行更深层的研究，这个标准就是公理）才人为设定的，若改变在逻辑上也能过得去，但有些早已成为运用习惯或在其上建立了一个理论体系不便再更变（如面积定义就是人为将一个范围数量化，不然你想，给你一个面，没有面积定义，你说它多大，“就这么大，就这么大”，你也只能这样说）；或有些是太一般性的东西，人类仍无法用现有理论推导致一般性高度（如1+1＝2）。

一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是实质公理系统。

如欧几里德几何公理系统。

因为要先定义概念，所以就要有一些原始的概念作为定义其他概念的出发点，如欧氏几何中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等。

编辑本段公理集合论
数理逻辑的主要分支之一,是用公理化方法重建(朴素)集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。

E.F.F.策梅洛于1908年首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论，20世纪20年代A.A.弗伦克尔和A.T.斯科朗曾予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛-弗伦克尔公理系统,简记为 ZF。

ZF 是一个形式系统，建立在有等词和属于关系“∈”的一阶谓词演算之上。

它的非逻辑公理有:外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离（子集）公理模式、替换公理模式、正则（基础）公理。

如果另加选择公理(AC)则所得到的公理系统简记为ZFC（见集合论公理系统）。

编辑本段公理化方法
概括地说，几何学的公理化方法是从少数原始概念和公理出发，遵遁逻辑原则建立几何学演绎体系的方法．用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成：
(1)原始概念的列举；
(2)定义的叙述；
(3)公理的列举；
(4)定理叙述和证明．
这四个组成部分不是独立地一部分一部分的叙述和展开，而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开。

一般说来，用公理化方法建立的几何学演绎体系总是由抽象内容和逻辑结构构成的统一
体．决定几何体系的基础是原始概念和公理，不同的基础决定不同的几何体系，例如欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何、拓扑学等等．几何体系的逻辑结构，主要取决于公理提出的先后次序，同一种几何体系由于公理系统的编排次序不同，可以产生不同的逻辑结构．例如，中学几何教材中的“外角定理”和三角形合同的“角角边定理”是在平行公理之后提出的，因此可根据平行公理的推论“三角形内角和等于二直角”很容易给予证明．但在下面提到的希尔伯特所建立的欧氏几何的体系中，由于这两个定理是在平行公理之前提出的，就不允许使用“三角形内角和”定理．就是说同一欧氏几何可有多种逻辑结构，一个几何命题的证法不是通用的，它在这一逻辑结构中适用，而在另一个结构里可能不适用．
第三篇：平行公理
平行公理（即平行线的基本性质）
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.由平行公理还可以得到一个推论——即平行线的基本性质二：
定理：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.平行线的判定
1．平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行.简单说成：同位角相等,两直线平行.2．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行.简单说成：内错角相等,两直线平行.3．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补,两直线平行.4．在同一平面内,如果两条直线同时
垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.平行线的性质
重点：平行线的三个性质定理.难点：性质定理的应用.热点：应用平行线性质定理进行角度大小的换算.1．平行线的性质
（1）公理：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.可以简述为：两直线平行,同位角相等.（2）定理：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.可以简述为：两直线平行,内错角相等.（3）定理：两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补.可以简述为：两直线平行,同旁内角互补.2．平行线的性质小结：
（1）两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.（2）垂直于两平行线之一的直线,必垂直于另一条直线.（2）对顶角和邻补角的概念1′对顶角的概念有两个：
① 两条直线相交成四个角,其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角；
② 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角.实际上,两条直线相交,其中不相邻的两个角就是对顶角,相邻的角就是邻补角.○2 对顶角的性质；对顶角相等.○3 互为邻补角的两个角一定互补,但两个角互补不一定是互为邻补角；○4 对顶角有一个公共顶点,没有公共边；邻补角有一个公共顶点,有一个公共边.垂线的性质：○1过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
○2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短,简单说成：垂线段最短.点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
第四篇：数学公理
过两点有且只有一条直线两点之间线段最短同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，
同旁内角互补定理三角形两边的和大于第三边推论三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
第五篇：四个公理
四个公理
• 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面
内.（常用于证明直
线在平面内）
• 公理2：不共线的三点确定一个平面.（用于确定平面）.推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.• 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是
一条直线（两个平面的交线）.• 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.八个定理
1.线面平行：
①定义：直线与平面无公共点.a//b⎫⎪②判定定理：a⊄α⎬⇒a//α（线线平行⇒线面平行）b⊂α⎪⎭
a//α⎫⎪③性质定理：a⊂β⎬⇒a//b（线面平行⇒线线平行）αIβ=b⎪⎭
④判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：l Iα=∅⇒l//α（用于判断）；
a//b⎫⎪（用于证明）；（ii）判定定理：a⊄α⎬⇒a//α“线线平行⇒面面平行”
b⊂α⎪⎭
α//β⎫（iii）（用于证明）；⎬⇒a//β“面面平行⇒线面平行”a⊂α⎭
b⊥a⎫⎪；（Ⅳ）b⊥α⎬⇒a//α（用于判断）
a⊄α⎪⎭
2.面面平行：
①定义：αIβ=∅⇒α//β；
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述：a,b⊂α,a I b=O,a//α,b//α⇒α//βα//β
⎫
③面面平行的性质定理：αIγ=a⎪⎬⇒a//b
βIγ=b⎪⎭
④判定与证明面面平行的依据：
（1）定义法；（2）判定定理及结论1；（3）结论2.结论1：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行
符号表述：a,b⊂α,a I b=O,a',b'⊂β,a//a',b//b'⇒α//β
结论2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：a⊥α,a⊥β⇒α//β.【如右图】
3.线面垂直
①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意a⊂α,都有l⊥a，且l⊄α，则l⊥α.a,b⊂α⎫
a I b=O⎪
⎪
②判定定理：l⊄α⎪⎬⇒l⊥α（线线垂直⇒线面垂直）l⊥a⎪
⎪
l⊥b⎪
⎭
证明或判定线面垂直的依据：
（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；
（3）a//b⎫⎬⇒b⊥α（较常用）；
a⊥α⎭
（4）α//β⎫⎬⇒a⊥β；
a⊥α⎭
α⊥β⎫
（5）a Iβ=b⎪⎪⎬⇒a⊥β（面面垂直
a⊂α⇒线面垂直）
⎪
a⊥b⎪⎭
4.面面垂直
（1）定义：若二面角α-l-β的平面角为90︒，则α⊥β；
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么
这两个平面互相垂直.a⊂α⎫⇒α⊥β（线面垂直⇒面面垂直）A α⊥β
a
aa(3)性质定理：
⎫⎪Iβ=AB⎪；⎬⇒a⊥β（面面垂直⇒线面垂直）⊂α⎪⎪⊥AB⎭。