球形机器人机构及其运动学建模1

球形机器人机构及其运动学建模
0. 前言
球形机器人是一个古老而又有趣的课题。

人类对球形机器人的研究，最早可以追遡到一个世纪以前。

但在以后的相当长的时间内，由于条件的限制，没有实质的进展。

近年来，随着科学的发展和技术的进步，球形机器人的研究热潮悄然兴起。

国外对球形机器人的研究起步比较早，而且也提出了多种机器人系统的方案，有的甚至已经产品化。

相比之下，国内对它的研究就比较少，方案也较简单。

目前，国内外的球形机器人大都基于重力驱动。

也就是说通过某种机构改变整个系统的重心，使它偏离球体的中心，并利用重力来获得驱动力矩。

在国内外已有的驱动方案中，驱动机构大都很复杂，而且需要整个球壳的内部空间作为其运行的空间。

这个缺点限制了球形机器人在很多方面的应用。

本文在参考了多个驱动方案的基础上，提出了一种新的驱动方案。

它结构简洁、占用空间少，正好克服了球形机器人的上述缺点。

1. 机构设计
本文的球形机器人结构如图1所示。

它由球壳P 、四个驱动电机D A 、D B 、D C 、D D 和四个偏心重块M A 、M B 、M C 、M D 组成。

四个电机分别安装在球壳内壁的四个点A 、B 、C 、D 上，这四个点正好组成球壳的一个内接正四面体。

并且每个电机的转轴都指向球心O 。

偏心重块和电机的转轴联接在一起。

这样，当电机带动重块旋转时，球形机器人系统的分布就会相应的改变，从而达到改变重心的目的。

记球壳的质为M ；电机的质量忽略不计；偏心重量块的质量分别为m A 、m B 、m C 、m D ，它们的铰接点到球心距离为l ，偏心距为r 。

整个机器人系统的自由度计算如下：
1
1
6m
X
i j k i j F n p q R ===-
-
-
∑
∑
∑
（1）
式中 n —— 活动构件总数 ；
p i ，m —— 第i 个运动副的约束条件数，运动副总数；
q j ，X —— 第j 个原动机的驱动约束条件个数，原动机总数； R k ——其他约束条件数。

系统活动构件总数n 为5，运动副总约束为：
5
1
1555521i i p ==++++=∑
（2）
原动机的约束条件总数为：
4
1
111114j
j q
==++++=∑
（3）
其他约束条件数为2，即x 向和y 向的纯滚动摩擦约束。

所以机构的自由度为
6521423F =⨯---= （4） 因为00j
F q
>>∑
且
，所以由机械原理可知，如图1的球形机器人没有确定的相对
运动，此时系统在地面摩擦力和重力的作用下，按牛顿定律运动。

又因为F = 3，所以只要给定球体的横滚、俯仰、偏斜角,,φθϕ，就可以确定机器人的位置和姿态。

2. 坐标系建立
为了便于分析及计算，需要为球形机器人系统建立合适的坐标系。

按一般机器人原理，本文建立了如下坐标系：
C —— 世界做标系；固定在地面上；
C p —— 球体坐标系；固定在球体上，并随球体运动。

原点在球心。

该坐标系用来指示球体的姿态；
C a 、C b 、C c 、C d —— 偏心质量坐标系；原点分别在各偏心质量的转动中心，并且他们的Z 轴都指向球心。

C a 、C b 、C c 、C d 用以标志偏心质量的转角。

设C p 的位置为T
p
p
x y R ⎡⎤⎣⎦
，它的横滚、俯仰、偏斜角分别为,,φθϕ，那么，Cp 相对于世界坐标系C 的变换矩阵：
(,,)(,,)p p p T T r a n s x y R R P Y φθϕ= （5）
C a 、C b 、C c 、C d 和球体坐标系C p 间的是相对固定的，它们之间没有相对运动，所以C a 、
C b 、C c 、C d 和C p 间的变换矩阵A a 、A b 、A c 、A d 都为常矩阵。

为便于计算，本文取
10
022*********
1a A l ⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
10333100
01103330001b l A l
⎡⎤
-
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
566331263311
33330001c l l A l ⎡⎤--
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-
-
⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
23333033311
33330
1d
l l A l ⎡⎤--
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥--
-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦。

偏心质量坐标系C a 、C b 、C c 、C d 和世界坐标系C p 间的变换矩阵：
(),,,i p i
T T A i a b c d =∈ （6）
3. 运动学逆解
球形机器人的运动主要通过改变系统质心实现的。

因此，机器人运动学的问题可以分作两个小问题：质心位置对机器人运行的影响问题和给定运动状态下质心的控制问题。

本文是对机器人系统运动的初步研究，只探讨了在静止状态下的运动学正解和逆解问题。

球形机器人的运动学逆解问题可以描述为：已知球体的姿态角,,φθϕ，并给定机器人系统质心在世界坐标系中相对于球心的坐标(),,T
c p x y z =∆∆∆，求各偏心质量的转角
,,,A B C D
αααα。

偏心质量i m 在各自坐标系,{,,,}i C i A B C D ∈中的坐标可表示为：
c o s s in 1i C i
i
i p r αα⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（7）
四个质量块的在全局坐标系中的合质心坐标为：
(,,)D
C i
c i i
i A
p R P Y A p φθϕ==
∑
（8）
由矩阵原理可知，方程（8）是多解方程，它有无穷多解。

要想得到唯一解，必须给方
程（8）添加约束。

取下面的约束条件：
{}0
(,,,)m in
,,,D
A B C D
i i i A
f i A B C D αααα
αα==
-→∈
∑
（9）
式中0
i α为当前重块的偏转角。

约束（9）的实际物理意义是：求{,,,}i
i A B C D α∈使
各重块相对于当前位置的偏转角总和为最小。

从能耗方面来说，符合约束（9）的解，应该是一个比较好的解。

因为,,φθϕ为常数，所以方程（8）可以最终化简为如下形式：
{}c o s s in c o s s in ,,,c o s s in x x i i x i i y y i i y i i z z i i
z i
i
x k a b y k a b i A B C D z k a b
αααααα⎧∆=++⎪
∆=++∈
⎨⎪∆=+
+⎩
∑∑∑∑∑
∑ （10）
4. 运动学正解
球形机器人的运动学正解问题可以描述为：已知球体的姿态角,,φθϕ，并给定各偏心质量的转角,,,A B C D αααα，求机器人系统质心相对于球心的坐标(),,T
x y z ∆∆∆。

将
,,,A B C D
αααα
代入方程（8）得：
)(
)
)11o s c o s c o s s in s in s in c o s c o s 2221c o s c o s c o s s in s in s in c o s s in 22c o s s in s in s in c o s c o s 1c o s c o s c o s s in c o s s in s in s in 331o s c o s 62a a b b x r r r
r φθφθϕφθ
αφθφθϕφθαφθϕφθ
αφθφθϕφθαφθ⎛⎫
∆=-+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎛⎫++- ⎪ ⎪
⎝
⎭
+-+⎛⎫
+++ ⎪ ⎪⎝
⎭++
)
)
))1c o s s in s in s in c o s c o s s in c o s s in s in c o s 23
5c o s c o s c o s s in s in s in c o s c o s s in c o s s in s in s in 663
o s c o s c o s s in c o s s in s in c o s 33
2c o s c o s 3c c d r
r r
φθϕφθφ
θϕφθαφθφθϕφθφ
θϕφθ
αφθφ
θϕφθαφθ⎛⎫
-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎛⎫
+---+
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
+-+
)
)(
)c o s s in s in s in c o s c o s s in c o s s in s in s in 332
c o s s in c o s s in s in o s c o s o s c o s 33
3d r l
φθϕφθφθϕφθ
αφθϕφθφθφθ⎛⎫
-+
+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎛⎫
++-
+
⎪ ⎪⎝
⎭
)(
)
)11in c o s s in s in s in c o s c o s c o s 2221s in c o s s in s in s in c o s c o s s in 22s in s in s in c o s c o s c o s 1s in c o s s in s in c o s c o s s in s in 331in c o s s 62a a b b y r r r
r φθφθϕφϕ
αφθφθϕφϕαφθϕφϕαφθφθϕφϕαφθ⎛⎫
∆=-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪
⎝
⎭
-+⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭++
)
)
))1in s in s in c o s c o s s in s in c o s c o s s in c o s 23
5s in c o s s in s in s in c o s c o s s in s in c o s c o s s in s in 663
in c o s s in s in c o s c o s s in c o s 33
2
s in c o s 3
c c
d r
r
r
φθϕφϕφ
θϕφϕα
φθφθϕθϕφ
θϕφϕαφθφ
θϕφϕαφθ⎛⎫
++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎛⎫
+--++
- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎛⎫
+-- ⎪ ⎪⎝
⎭
+-+ ))()
s in s in s in c o s c o s s in s in c o s c o s s in s in 332
s in s in c o s c o s s in in c o s in c o s 33
3
d r
l
φθϕφϕφ
θϕφϕαφθϕφϕφθφθ⎛⎫
++
- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎛⎫
+--
+
⎪ ⎪⎝
⎭
11in c o s s in c o s s in o s s in s in 22221c o s s in c o s s in o s c o s s in 331
in c o s s in o s c o s c o s 6235s in o s c o s o s c o s 663a a b b c z r r r r r
θθϕ
αθθϕαθϕαθθϕ
αθθϕθϕαθθϕθϕ⎛⎫⎛⎫∆=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫
+-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎛⎫
+-+ ⎝
⎭
s in in o s c o s c o s 332s in o s s in o s c o s s in 3332c o s c o s s in in 333c d d r
r r
l αθθϕαθθϕθϕαθϕθθ⎪⎪⎛⎫
+-- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎛⎫
+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝
⎭
5. 应用实例
6. 结束语。