鲁教版五四制八年级下册数学第六章 特殊平行四边形 正方形的性质与判定的综合应用

解：仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下： 过点A作 AE⊥AN，交CB的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN， ∴DN＝BE，AE＝AN. 又∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM， ∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN. ∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM， ∴BM＋DN＝MN .
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时， 线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，并说明理由．
证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB. ∴∠AOE＝∠DOF＝90°. ∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE≌△DOF. ∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°， ∴∠Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝ 90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.
(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？ 解：当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最 大，此时的面积就等于正方形ABCD的面积．
(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？
解：当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形 ABCD四边中点时，四边形PQRS的面积为正方 形ABCD面积的一半．
LJ版八年级下
第六章 特殊平行四边形
6.3 正方形的性质与判定 第3课时 正方形的性质与判定的综合
应用
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1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF， AE，并延长AE使其延长线交DF于点M. 求证：AM⊥DF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝ 90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR ＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA. ∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR， ∠ASP＝∠BPQ.∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形．又 ∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝ 180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时 刻，连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．
2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时 针旋转，它的两边分别交CB，DC (或它们的延长线)于点M，N. (1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证： BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如 图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请 给予证明；如果不成立，请说明理由．
解：DN－BM＝MN.理由如下： 如图，在DN上截取DE＝BM， 连接AE.∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD. 又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝ ∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°. ∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN. 又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN ＝DE＋EN＝BM＋MN. ∴DN－BM＝MN.
解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由： ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝ 45°.∴AC＝BC.∵点D为AB的中点，∴CD⊥AB. ∴∠CDB＝90°.∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是 正方形．即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点 A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC， CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A. (1)求证：在任何运动时刻，连接四个小球所得的四边 形PQRS总是正方形．
(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边 形？请说明理由．
解：四边形BECD是菱形． 理由：∵点D为AB的中点，∴AD＝BD. ∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB＝90°，点 D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形BECD是菱形．
(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时， 四边形BECD是正方形？请说明理由．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线 MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交 直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE. (1)求证：CE＝AD.
证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.