12-1

若令 p = m, 则有 ,
um +1 + um + 2 + + u2 m
1 1 1 = + + + m +1 m + 2 2m 1 1 1 ≥ + + + 2m 2 m 2m
1 = , 2
1 故取 ε 0 = , 对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m 2 就有(7)式成立 因此调和级数发散. 式成立, 就有 式成立,因此调和级数发散.
n→∞
(7)
推论是级数收敛的一个必要条件: 注 推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于 级数一定发散, 但一般项趋于零, 零, 级数一定发散, 但一般项趋于零, 则级数未必 收敛,因此用来判断级数发散很有效. 收敛,因此用来判断级数发散很有效. 如级数
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1 + ( 1) + 1 + ( 1) +
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则称数项级数(1)收敛 收敛, 称为数 (即 lim S n = S ), 则称数项级数 收敛 S 称为数 即
n→∞
项级数(1)的和, 项级数 的和,记作 的和
S = u1 + u2 + + un + , 或 S = ∑ un .
n =1 ∞
是发散数列,则称数项级数(1)发散 发散. 若 { S n }是发散数列,则称数项级数 发散. 讨论等比级数(也称几何级数) 例1 讨论等比级数(也称几何级数)
1 依级数收敛的柯西准则, 依级数收敛的柯西准则,知级数 ∑ 2 收敛 收敛. n
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1 注 级数 ∑ 的收敛性已由例5的证明过程所 的收敛性已由例 的证明过程所 n =1 n( n + 1) 显示. 显示.
定理12.2 若级数 ∑ un 与 ∑ vn 都收敛, 则对任意常 定理 c, d, 亦收敛, 数c, d, 级数∑ ( cun + dvn ) 亦收敛,且
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由于级数(1)的收敛或发散 简称敛散性), 的收敛或发散(简称敛散性 注 由于级数 的收敛或发散 简称敛散性 ,是由它 来确定, 因而也可把级数(1)作为 的部分和数列 { S n } 来确定 因而也可把级数 作为 的另一种表现形式. 反之, 数列 { S n } 的另一种表现形式 反之 任给一个数列
1 1 1 1 + 2 + 3 + + n + , 2 2 2 2
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1 由于前 n 项相加的和是 1 n ,可以推测这"无限 可以推测这" 2
个数相加"的结果应该是1.又如下面由"无限个数 个数相加"的结果应该是 .又如下面由" 相加" 相加"的表达式
1 + ( 1) + 1 + ( 1) +
n
(ii) 当 q > 1 时, lim S n = ∞, 此时级数(3)发散.
n→∞
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(iii) 当 q = 1 时, Sn = na , 级数发散. 当 q = 1 时,
S 2 k = 0, S2 k +1 = a , k = 0,1,2, , 级数发散.
综合起来得到: 综合起来得到 q < 1 时, 级数(3)收敛; q ≥ 1 时, 级 发散. 数(3)发散. 发散 例2 讨论数项级数 1 1 1 + + + + 1 2 2 3 n( n + 1) 的收敛性. 的收敛性. 级数(4)的第 的第n个部分和为 解 级数 的第 个部分和为
um +1 + um + 2 + + um + p < ε . (6)
根据定理12.1以及数列发散的充要条件,可以立刻 以及数列发散的充要条件, 根据定理 以及数列发散的充要条件 写出级数(1)发散的充要条件是 写出级数 发散的充要条件是: 存在某正数 ε 0 , 对 发散的充要条件是
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∑u
n
为收敛级数, 其和为 S . 下面证明 ∑ un 加
∞ k =1
括号后的级数 ∑ ( unk 1 +1 + + unk ) 收敛 且其和也是 收敛,
S . 为此,记v1 = u1 + + un1 , v2 = un1 +1 + + un2 , , 为此,
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v k = unk 1 +1 + + unk , , 则
{ a n } 收敛时,其极限值就是级数 的和. 收敛时,其极限值就是级数(5)的和 的和.
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基于级数与数列的这种关系, 基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极 限的性质得出下面有关级数的定理. 限的性质得出下面有关级数的定理. 定理12.1 级数收敛的柯西准则 级数(1)收敛的充要 定理12.1(级数收敛的柯西准则 级数 收敛的充要 12.1 级数收敛的柯西准则)级数 条件是:任给正数 条件是 任给正数 ε , 总存在正整数 N ,使得当 m > N 以及对任意的正整数 p 都有
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1 1 1 1 1 1 = + m + 1 m + 2 + + m + p 1 m + p m m +1
1 1 1 < . = m m m+ p
1 因此, 因此 对任意ε > 0, 可取N = , 当m>N及任意正 及任意正 ε 1 整数 p,由上式可得 um +1 + um + 2 + + um + p < < ε , , m
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(4)
1 1 1 Sn = + + + 12 23 n( n + 1)
1 1 1 1 1 = 1 + + + 2 2 3 n n 1 1 =1 . n+1
由于
1 lim Sn = lim 1 = 1, n→∞ n→∞ n+1
因此级数(4)收敛,且其和为 因此级数 收敛,且其和为1. 收敛
中,如果将其写作
(1 1) + (1 1) + (1 1) + = 0 + 0 + 0 + ,
结果肯定是0, 结果肯定是 ,而写作
1 + [( 1) + 1] + [( 1) + 1] + = 1 + 0 + 0 + 0 + ,
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则结果是1. 则结果是 .两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:"无限个数相加"是否存在" 如果存在, 问题 "无限个数相加"是否存在"和";如果存在, 如果存在 "和"等于什么? 由此可见 "无限个数相加"不能 等于什么? 由此可见,"无限个数相加" 简单地与有限个数相加作简单的类比, 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论. 的理论. 定义1 给定一个数列{u 将其各项依次用"+"号 定义 给定一个数列 n}, 将其各项依次用"+"号 连接起来的表达式
∑ u = ∑ (u
n =1 n k =1
∞
∞
nk 1 +1
+ + unk ) = ∑ vk .
k =1
∞
于是, 的部分和数列, 于是 若{ Sn }为收敛级数 ∑ un 的部分和数列 则级数
∞
∑ (cu
n
+ dv n ) = c ∑ un + d ∑ vn .
根据级数收敛的柯西准则, 根据级数收敛的柯西准则 级数 ∑ un 的收敛与否与 级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理. 级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理.
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定理12.3 去掉,增加或改变级数的有限项并不改变 去掉, 定理 级数的敛散性. 级数的敛散性. 去掉, 注 去掉,增加或改变级数的有限项虽不改变该级 数的敛散性,但在收敛时,其和一般还是要变的. 数的敛散性,但在收敛时,其和一般还是要变的. 由定理12.3知, 若级数∑ un收敛 , 其和为 ,则级数 知 由定理 其和为S,
n =1 ∞
un+1 + un+ 2 + L
(8)
也收敛, 也收敛,且其和 Rn = S S n .(8)式称为级数 ∑ un 的
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个余项(简称余项), 代替S 第 n 个余项(简称余项), 它表示以部分和 Sn 代替 时所产生的误差. 时所产生的误差. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变 在收敛级数的项中任意加括号, 定理 级数的收敛性,也不改变它的和. 级数的收敛性,也不改变它的和. 证设
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例4 判断级数 解 因为
∑
n =1
∞
1 n+ n n
1 n+ n
n
的敛散性. 的敛散性
1 1 n+ n n+ n = lim lim 1 1 n→∞ n→∞ n+ n n nn n n
n
n
n 1 1 + 2 n = lim n→∞
2
n
1 n
=1≠0
1 n
所以由级数收敛的必要条件知原级数发散. 所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
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1 收敛. 例5 运用级数收敛的柯西准则证明级数 ∑ 2 收敛. n 证 由于
um +1 + um + 2 + + um + p
1 1 1 = 2 + 2 + + 2 ( m +1) ( m + 2) ( m + p) 1 1 1 < + + + m( m +1) ( m +1)( m + 2) ( m + p 1)( m + p )
{an } , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列 则 如果把它看作某一数项级数的部分和数列,
这个数项级数就是
∑u
n=1
∞
n
= a1 + ( a2 a1 ) + ( a3 a2 ) + + ( an an1 ) + . (5)
这时数列 { a n }与级数 (5) 具有相同的敛散性 且当 具有相同的敛散性,
因为一般项u 不趋于零,所以发散. 因为一般项 n=(-1) 不趋于零,所以发散. 例3 讨论调和级数
1 1 1 1 + + + + + 2 3 n
n-1
的敛散性. 的敛散性.
1 解 这里一般项 un = n → 0 ,不能利用推论判断级数 不能利用推论判断级数 的敛散性. 的敛散性.
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a + aq + aq 2 + + aq n + (3)
的收敛性(a≠0). 的收敛性
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解 q≠1时, 级数 的第 n 个部分和为 时 级数(3)的第
1 qn S n = a + aq + + aq n1 = a . 1q
因此Biblioteka 1q a (i) 当 q < 1 时, lim S n = lim a = . 此时级 n→∞ n→∞ 1q 1q a 收敛,其和为 数(3)收敛 其和为 1 q . 收敛
§ 1 级数的收敛性
级数是数学分析三大组成部分之一, 是逼近理论的基础,是研究函数,进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用.
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相加后还是一个实数, 对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数, 这是在中学就知道的结果,那么"无限个实数相加" 这是在中学就知道的结果,那么"无限个实数相加" 会有什么结果呢?请看下面的几个例子. 会有什么结果呢?请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子天下篇》 一尺之棰,日取其半, 章提到《庄子天下篇》"一尺之棰,日取其半,万 世不竭"的例中,将每天截下那一部分的长度" 世不竭"的例中,将每天截下那一部分的长度"加" 起来是: 起来是:
任何正整数N,总存在正整数 任何正整数 ,总存在正整数m0(>N)和p0,有 和
um0 +1 + um0 + 2 + + um0 + p0 ≥ ε 0 .
由定理12.1立即可得如下推论. 立即可得如下推论. 由定理 立即可得如下推论 推论(级数收敛的必要条件 若级数(1)收敛 收敛, 推论 级数收敛的必要条件) 若级数 收敛,则 级数收敛的必要条件 lim un = 0.
n
. 在不致误解时可简记为 ∑ un .
n
数项级数(1)的前 项之和记为 数项级数 的前n项之和记为 的前
S n = ∑ uk = u1 + u2 + + un ,
k =1
(2)
称为数项级数(1)的第 个部分和,也简称部分和. 称为数项级数 的第 n 个部分和,也简称部分和. 定义2 若数项级数(1)的部分和数列 定义 若数项级数 的部分和数列 { S n }收敛于 S
u1 + u2 + + un + (1)
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称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un ), 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也 称为数项级数 的通项或一般项. 数项级数 也 的通项或一般项 常记为
∞
∑u
n =1