实验四中分班考试班第一讲 教师

实验四中分班考试班第
一讲教师
work Information Technology Company.2020YEAR
第一讲
计算与计数
1. 151311175315311⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 【分析】
195
164)15
131311(4)1513113111751531531311(15
1311175315311=÷⨯-⨯=÷⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯
2.
41155.6(2)561(1)38.4555
⨯-+⨯++⨯ 【分析】 180
5
61505
6)4.38566.55(4.385
651156566.554.38)5
11(51156)542(6.55=⨯=⨯++=⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+-⨯
真题模考
3. 11212312491()()...(...)233444505050
+++++++++++ 【分析】 21n 2
)1n (n n 12
)1n ()]1n (1[n 1n )
1n (...321n
1n n 3n 2n 1-=-⨯⨯=-⨯-+⨯=-++++=
-++++ 216132
161212
492512
49)491(2112
4932112
492322211)50
49...502501(...)434241()3231(211=+=⨯+=⨯+⨯+=+++++=+++++=+++++++++++
4. 195
111143199917631535131511+++++ 【分析】
195
111143199917631535131511+++++ 15
43615
1313615
1131131111111919171715151313615
13113111119197175153136)195
11431991631351151()1197531(=-+=-+-+-+-+-+-+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=+++++++++++=
5. 35
19241121102098775524331++++++++
【分析】
35
19241121102098775524331++++++++ 5
8
1877171755251524143313131)5
271()8131()7131()5141(8775524331=++++++++++++=++++++++++++=
6.
)2003
11)(200211()611)(511)(411)(311(------ 【分析】 )200311)(200211()611)(511)(411)(311(------ 20032200320022002200165544332=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
7. 2222222
28715437325213
⨯++⨯+⨯+⨯ 【分析】
64
638
118171413131212118715437325213222222222
2222222=-=-++-+-+-=⨯+
+⨯+⨯+⨯
8. )76
1231(53)761531(23)531231(76-⨯-+⨯+-⨯ 【分析】
1
76
5376235376532323532376765323537623532353762376)76
1231(53)761531(23)531231(76=++-+-=+-++-=-⨯-+⨯+-⨯
9. 2222142345(2)(3)(4)(5)103456
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯％％％％ 【分析】
222214
142222345(2)(3)(4)(5)103456
44991616252510910016100251003610016
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=％％％％
10. 由00123、、、、五个数码可以组成许多不同的五位数，所有这些五位数的平均数为-
________。

【分析】 以1为开头的5位数，后4位数一共有4312⨯=种方法，其中在每一位上，2和3各出
现3次，所以1为开头的5位数的和为1000012233333136665⨯++⨯=（），同样的，以2为开头的5位数的和为2000012133333253332⨯++⨯=（）,以3为开头的5位数的和为 3000012213333369999⨯++⨯=（），它们的和为759996，平均数为21111。

【例1】 2003 名学生排成一行，第一次从左至右1 3 ～报数 ；第二次从右至左15～报数；
第三次从左至右15～报数，第三次报的数等于前面两次报的数之和的学生有 名。

【分析】 此题是周期问题 ，从左至右每15人三次报数的情况重复一次。

前15人的情况如下
表：
第一次报数 123123123123123
第二次报数 321543215432154
第三次报数 123451234512345
符合要求的只有左起第810，两人。

2003151338÷=…，符合要求的学生共有
21331267 ⨯+=
第三次报的数等于前两次报的数之和的学生有267名。

应用排列找规律的方法是解答该题的捷径。

我们试例举如下：
12312312312312312312312312312312312312 …
32154321543215432154321543215432154321 …
12345123451234512345123451234512345123…
可以看出，每15名同学中有2名符合题意。

2003151338÷=…，而且最后的8名学生中也
有1名第三次报的数等于前两次报的数之和。

所以共有学生：13321267⨯+= (名)。

【例2】 在12378、、…、的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______种。

【分析】 这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3.
考点拓展
8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使
用“插入法”,即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶
数插入时，还要考虑3和6相邻的情况。

奇数的排列一共有4=24
！种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩
下的四个位置中插入248
⨯⨯=种。

、、，一共有43224
⨯⨯=种，一共有243241728
【例3】若自然数n使得做数式加法(1)(2)
++++不产生进位现象，便称n为“连绵
n n n
数”。

例如12是连绵数，因为121314
++作数式加法不产生进位现象；而13不是“连绵数”。

那么不超过1000的“连绵数”共有个；
【分析】连绵数”的个位数字，只能是012
、、、。

所
、、；而十位和十位以上的数字，可以是0123以三位和三位以下共有34448
⨯⨯=个（允许首位数字为0，将一位数，二位数看成是三位数），加上1000也是一个“连绵数”，一共有49个。

【例4】电子表用11:35表示11点35分，用06:05表示6点5分，那么2点到10点之间电子表中出现无重复数字的时刻有_________次。

【分析】02：,1,3,4,5,
ab a b
=就剩下1037
⨯种，
4=
-=种可以选择。

28
7
同样03:ab,04:,05:,
ab ab112
⨯种。

28
4=
c b
=还是剩下1,2,3,4,5.
=种可以选择。

35
06,
cd
：1,2,3,4,5.
c b
⨯，
7
5=
cd cd cd140
07:,08:,09:,
⨯。

共140112252
+=种。

4=
35
【例5】用数字012345
、、、、、组成没有重复数字的四位数：
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
（3）可组成多少个能被3整除的四位数？
（4）
（5）将1
（）中的四位数按从小到大的顺序排成一列，问第85个数是什么？
（6）
【分析】1
⨯
⨯
5=
⨯
5
3
（）300
4
4
3
4=
⨯
⨯个；2的时候有48
⨯个，4
、、． 0的时候，有60
⨯
（）偶数的个位数字是024
2
3
4
5=
的时候有48个；共有604848156
++=个。

（）有以下几种情况：01230135023403451245
（、、、），（、、、），（、、、），（、、、），（、、、），分别有3
⨯
⨯
⨯
+
⨯
3=
⨯个。

⨯
1
96
3
3
2
2
4
4
⨯
⨯个，2abc有60个，20bc,有12个，21bc有12个，共60121284
++= 5=
（）1abc,有60
4
3
4
个，
第85个数是2301。

【例6】四个装药用的瓶子都贴了标签，其中恰好有三个贴错了，那么错的情况共有多少种。

【分析】 四个装药的瓶子,,,A B C D 它们对应的有,,,a b c d 四张标签,在贴标签时,其中恰好有三
个贴错了(我们把药瓶B 贴了标签c 记为Bc ,其它类似),错的情况总共有8种可能 ,, , Aa Bc Cd Db ,, ,,, ,,, Aa Bd Cb Dc Ab Bc Ca Dd Ab Bd Cc Da
,,, ,,, ,,, ,,, Ac Ba Cb Dd Ac Bb Cd Da Ad Bb Ca Dc Ad Ba Cc Db
所以共有八种。

1. 11001112125120082008⨯ 【分析】 8
251
200811100011111251100012008110011
12125120082008==⨯⨯⨯⨯=⨯
2. 先观察下面的计算规则，再按规则计算
828917=+=△
5356718=++=△
4645678939=+++++=△
114=△
15050, x x ==△ 。

【分析】
1141112131430
11(1)50502
(1)10100
100
x x x x x x ∆=+++=∆=•+•=+==
3. 圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四
条弦，各弦互不相交的连法共有_________ 种。

【分析】 本题可以利用归纳递推的方法解决。

若圆周上只有2个点，只有1种连法。

课后练习
若圆周上只有4个点，只有112+=种连法。

若圆周上只有6个点，只有2215++=种连法。

若圆周上只有8个点，只有552214+++=种连法。

4. 有一类各位数字各不相同的五位数M ,它的千位数字比左右两个数字大，有一类各位数字各
不相同的五位数M ，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位数字大。

另有一类各位数字各不相同的五位数W ，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小。

请问符合要求的数M 与W ，哪一类的个数多多多少
5.
【分析】 M 与W 都是五位数，都是千位与十位与其它数位的大小关系，两类数有一定的对应关系。

比
如有一个符合要求的五位数M ABCDE =,那就有一个与之相反并对应的五位数(9-)(9-)(9-)(9-)(9-),A B C D E 必属于W 类，如13254为M 类，则与之对应的86754为W 类，那么每位数字都不为0，则按如上思路。

两类数一一对应，但两类数部一样多，因为M 类中，0不能做首位的情况，这两类数在这一特殊情况下不一样多。

显然W 类多，多的个数就是首位为9的符合要求的数的个数。

计算首位为9的W 类的数 ，第一步，先要确定另四个数，
因为要求各不相同，从剩余的9个数字中选出4个的组合，126C 49
=。

第二步把这5个数从大到小排位：
9﹥4A ﹥3A ﹥2A ﹥1A ,每一组中符合要求的数有2类：千位十位排21A A 有两种方法，百位十位排43A A 也有两种，共有4种。

分别为：91324914239231492413、、、。

千位十位排31A A 只有1种方法为：2143A A A A 9，根据乘法原理，多的个数为630)14(126=+⨯个。

答案为W 类多，多630个。