土力学

IL
w wP wL wP
20 24 55 24源自0固态故该层粘土不受浮力作用，土层面上要考虑静水压力作用。
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点（砂土中）：z=10 m， σcz=γ’z=9.69×10=96.9 kPa b ’点（粘土中）：z=10 m , σcz =γ’z+ γ whw=9.69×10+9.81 ×13=226.9 kPa c点：z=15 m， σcz = 9.69×10+9.81 ×13 +19.3 × 5＝323.4 kPa
3.3 土中附加应力
3.3.2 竖向集中力作用时的地基附加 应力布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
x
R r2 z2
dz
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
3P
2
z3 R5
3P
2 R2
cos3
R r2 z2
z
3P
2
z3 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
dxdy
BL
z 0 0 dz z (p,m,n)
x
l
b
z
z c p
M
m=l/b, n=z/b
c
F (b, l,
z)
F(l b
,
z) b
F(m, n)
z
查表3.4
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数 c
矩形面积作用三角形分布荷载
1、荷载为零的 1 角点下深度 z 处：
z
例2：某土层及其物理性质指标如图所 示，试计算土中自重应力并绘出分布图。
例2：某土层及其物理性质 指标如图所示，试计算土中自重 应力并绘出分布图。
【解】第1层为粗砂，水下的砂 土要受浮力作用，其浮重度为：
' sat w 19.5 9.81 9.69kN/m3
第2层为粘土，其液性指数为：
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa
土层中的自重应力cz分布，如图所示。
地基中的自重应力
1 (1 2)
2
2
均质地基
成层地基
▪自重应力分布线的斜率是容重；
▪自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布；
▪自重应力在成层地基中呈折线分布；
▪在土层分界面处和地下水位处发生转折。
3.1.2 地基中自重应力的计算
均质地基 成层地基
竖直向：sz z
sz W A zA A z
pmax
min
P A
1
6e B
P
矩形面积单向偏心荷载
P
P
土不能承 受拉应力
L
L
e
e
x
bx
b
y
y
pmax
pmin 0 pmax
pmin 0
e<b/6: 梯形
e=b/6: 三角形
L
压力调整
Ke
基底
x
b
压力
K=L/2-e
合力
与总
3K y pmin 0
荷载 相等
pmax
pmax
2P 3Kb
•土类 •密度 •土层结构等
3.2.1 基础底面的压力分布与计算
一、基础底面接触压力
1、基础底面接触压力分布的决定因素 地基与基础的相对刚度 荷载大小与分布情况 基础埋深 地基土的性质
目前，在弹性理论中主要是研究不同刚度的基础与弹 性半空间体表面的接触压力分布问题。
3.2.2 基底压力分布形式
（2）三角形荷载AFD（最大值为q） 作用范围1，2块，对M点引起的竖向应力σz2
z2 z2(aeoh) z2(ebfo) q( t1 t 2 )
（3）三角形荷载FEC（最大值为p－q） 作用范围3，4块，对M点引起的竖向应力σz3
z3 z3(ofcg) z3(hogd ) ( p q)( t3 t 4 )
c p0
c
1
2
mn(1 n2 2m2 )
arctan
1 m2 n2(m2 n2 )(1 m2 )
m
n
1 m2 n2
角点应 力系数
l/b
z/b
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
1. 角点下的垂直附加应力
dP pdxdy
dP
p
y
dz
3dP 2
z3 R5
3p 2
z3 R5
5、IL在0～1之间时依最不利原则取天然或浮 容重。
3.1.3 地基中自重应力分布规律
1 (1 2) 2 2
成层地基
例1：某土层及其物理性质 指标如图所示，试计算土中自重 应力并绘出分布图。
例1：某土层及其物理性质 指标如图所示，试计算土中自重 应力并绘出分布图。
【解】第1层为细砂，水下的砂 土要受浮力作用，其浮重度为：
▪基础抗弯刚度EI=0 → M=0； ▪基础变形能完全适应地基表面的变形; ▪基础上下压力分布必须完全相同，若不 同将会产生弯矩。
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
粘性土地基
3.2.3 基底压力的简化计算
1. 中心荷载下的基底压力
3(L
2P 2 e)b
e>b/6: 出现拉应力区
3.2.4 基底附加压力
p0 p ch p 0h
例题：某矩形基础底面尺寸l=2.4m， b=1.6m，埋深2.0m，所受荷载设计值 m=100kN·m，F=450kN，其他条件见图。 试求基底压力和基底附加压力。
1、定义 2、基本假定
（2）土的非均质和非理想弹性的影响。土的各种结构构造使 土呈现非均质性，且土体也不是理想的弹性体，而是一种具有 弹塑性和粘滞性的介质。但实际工程中，土应力水平较低，土 的应力－应变曲线关系呈线性关系。因此，当土层间的性质差 异并不十分悬殊时，采用弹性理论计算土应力在实用上是允许 的。
（3）地基土可视为半无限体。地基土在水平和深度方向上相 对于建筑物基础的尺寸而言，可视为是无限延伸的，因此，地 基土符合半无限体的假设。
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
查表3.1
3.3.2 竖向分布荷载地基附加应力
若在半无限体表面作用一分布荷载p(x,y)，如图所示。计 算土中某点M(x,y,z)的竖向应力σz。
在基底取微元面积dF=dξdη，则作 用在dF上的集中力:
dQ=p(x,y)dF
=p(x,y) dξdη
p 0 [1 (
1
1
] r p0
1)3 / 2
z 2 / r0 2
查表3.7
二、平面问题 平面问题定义
czF W zF
cz z
二、当土体成层及有地下水时的计算公式
1、当土体成层时
设各土层厚度及重度 分别为hi和γi(i= 1，2，… n)，这时土柱体总重量为n 段小土柱体之和，则在第n 层土的底面，自重应力计 算公式为：
cz 1h1 2h2 nhn
n
i hi i 1
目的：确定土体的初始应力
假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体
地面
侧限应变条件一维问题
H1
地下水位
H2
sz sx
sy
6
3.1.1 土中自重应力计算
一、基本计算公式
若土体是均质的半无限体， 重度为γ，土体在自身重力作 用下任一竖直切面都是对称面， 因此切面上不存在剪应力。如 图所示，考虑长度为z，截面 积F=1的土柱体，设其重量为 W，取隔离体，则竖直方向的 自重应力为：
土层中的自重应力cz分布，如图所示。
三、水平向自重应力计算
水平向自重应力σcx、σcy可按下式计算: σcx = σcy = K0σcz
式中：K0为侧压力系数,由实验室测定。
3.2 基础底面压力
(1)基底压力概念
(2)基底压力影响因素
荷载条件
•大小 •方向 •分布
基础条件
地基条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
3z3
2
p0
A
x dxdy b (x2 y2 z2 5/2
t1 p0
t1
mn
2
1
m2
n2 m2 (1 m2 ) 1 m2 n2
2、荷载最大的 2 角点下深度 z 处：
z (c t1 ) p0 t 2 p0
三角形分布的矩形荷载作用下的附加应力计算
y
BL
z 0 0 dz z (pt ,m,n)
由公式
z
3Qz 3
2R 5
可得：
在求解上式时取决于3个边界条件：
1、分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小； 2、分布荷载的分布面积F 的几何形状及其大小； 3、应力计算点M的坐标(x,y,z)值。
求解得：
z p0
一、空间问题
p0
矩形面积作用均布荷载
z
3z3
2
A
p( x, y)dd ( x )2 ( y )2 z2 5/2
＝（100－100/3）x(0.069+0.032)=6.7kPa
（4）总应力
σz＝ σz1－σz2＋ σz3
＝12.2－2.2＋6.7＝16.7 kPa
3. 均布的圆形荷载
z
d z
A
3 p0 z 3
2
2
0
r0 rddr
0 (r 2 z 2 )5 / 2
p0[1
(r02
z3 z2 )3/ 2
3、土中应力计算
3.1 土的自重应力 3.2 基础底面压力 3.3 土中附加应力
3.1 概述
土中的应力—指土体在自重、构筑物荷载以及 其它因素（如水渗流、地震等）作用下，土体中 所产生的应力，包括自重应力和附加应力。
自重应力—土体受自重作用而产生的应力。
附加应力—土体受建筑物等外荷载作用而产生 的应力。
1、土中应力计算目的
为了对建筑物地基基础进行沉降（变形）、 承载力与稳定性分析，必须掌握建筑前后土中应 力的分布和变化情况。
2、土应力计算方法
主要采用弹性力学公式，将地基土视为均匀的各向同性的 半无限弹性体。这虽然与土体的实际情况有差别，但其计算结 果能满足实际工程的要求，这是因为：
（1）土的分散性影响。土虽然具有分散性，土中应力是通过 土颗粒间的接触来传递的，但由于建筑物基础底面尺寸远大于 土颗粒尺寸，因此，可忽略土的分散性的影响，将土体近似地 作为连续体来考虑，而应用弹性理论。
（1）均布荷载ABED （q=p/3)，对M点引 起的应力设为σz1；
（2）三角形荷载AFD（最大值为q) ，对M 点引起的应力设为σz2；
（3）三角形荷载FEC(最大值为p－q），对 M点引起的应力设为σz3。
3、求解三角形荷载ABC作用在M点的总应力σz σz＝ σz1－σz2＋ σz3
（1）均布荷载ABED （q=p/3） 作用范围1，2，3，4块。则M点的竖向应力可用角点法计算。
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。 目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体
侧限应变条件一维问题 计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
5
3.1.1地基中自重应力
建筑物修建以前，地基
自重应力定义
中由土体本身的有效重
量所产生的应力。
dP
pt
z Ktpt
b
z
M
l
x
Kt
F (b, l,
z)
F(l , b
z) b
F(m, n)
z
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
查表 3.6
解：
1、荷载作用面积叠加： 因为O点在矩形面积abcd内，通过O点将矩形
面积划分为4块，编号为1、2、3、4。
2、荷载分布图形叠加 三角形荷载ABC可分解为:
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
一. 土力学中应力符号的规定
莫尔圆应力分析
- zx
z
+
材料力学
xz x
z
- zx +
土力学
xz x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
§3 土体中的应力计算 §3.2 地基中自重应力的计算
水平地基中的自重应力
水平向：sx sy K0sz
K0 1
竖直向：sz iHi sz 1H1 2H2 3H3;
γ1 H1 水平向：sx sy K0sz K0 iHi
Z γ2 H2
γ3 H3
式中：K0为侧压力系数,由实验室测定 地下水位以下一般应采用浮容重
10
计算中容重的处理
1、各层土容重地下水位以上取天然容重； 2、地下水位以下砂土取浮容重 3、粘性土液性指数IL大于1时取浮容重； 4、粘性土液性指数IL小于等于0时取天然容 重，
' ( s w ) (25.9 9.81) 19 10kN/m3 s (1 w) 25.9 (1 0.18)
第2层为粘土，其液性指数为：
IL
w wP wL wP
50 25 48 25
1.09 1
故受浮力作用，其浮重度为：
' ( s w ) (26.8 9.81) 16.8 7.1kN/m3 s (1 w) 26.8 (1 0.50)