2020-2021学年广西壮族自治区钦州市第七中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2020-2021学年广西壮族自治区钦州市第七中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f（x）=cos（x∈Z）的值域为（）
A．{－1，－，0，，1} B．{－1，－，，1}
C．{－1，－，0，，1} D．{－1，－，，1}
参考答案：
B
2. （4分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）
A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3 D．f（x）=e x
参考答案：
A
考点：函数的定义域及其求法．
分析：已知函数的定义域为x＞0，再对选项A、B、C、D进行一一验证；
解答：∵函数，
∴x＞0，
A、∵f（x）=lnx，∴x＞0，故A正确；
B、∵，∴x≠0，故B错误；
C、f（x）=x3，其定义域为R，故C错误；
D、f（x）=e x，其定义域为R，故D错误；
故选A．
点评：此题主要考查函数的定义域及其简单求法，此题是一道基础题．
3. 函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
参考答案：
D
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
4. （5分）满足A∪{﹣1，1}={﹣1，0，1}的集合A共有（）
A．2个B．4个C．8个D．16个
参考答案：
B
考点：并集及其运算．
专题：计算题．
分析：由A∪{﹣1，1}={﹣1，0，1}，利用并集的定义得出A所有可能的情况数即可．
解答：∵A∪{﹣1，1}={﹣1，0，1}
∴A={0}或A={0，﹣1}或A={0，1}或A={﹣1，0，1}，共4个．
故选B．
点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
5. 不等式的解集是（）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）参考答案：
D
【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】根据不等式的性质得到关于关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：∵，即≥0，
故或，
解得：x≥1或x＜﹣1，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．
6. 集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4}
参考答案：A
【考点】交集及其运算．
【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．
【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，
且集合A={x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B={1，2}，
故选A．
7. 已知数列，S n为其前n项的和，则
A．－2016 B．－2017 C．－2018 D．－2019 参考答案：
D
解析：，
令，，
解得：，，，，
．
8. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
9. 已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 要得到函数的图象,只需将的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合，，则A∩B = ．
参考答案：
(1,2)
12. （5分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2；则奇函数f（x）的值域
是．
参考答案：
{﹣2，0，2}
考点：函数奇偶性的性质；函数的值域．
专题：数形结合．
分析：根据函数是在R上的奇函数f（x），求出f（0）；再根据x＞0时的解析式，求出x＜0的解析式，从而求出函数在R上的解析式，即可求出奇函数f（x）的值域．
解答：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0
设x＜0，则﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2
∴f（x）=
∴奇函数f（x）的值域是：{﹣2，0，2}
故答案为：{﹣2，0，2}
点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数值的求解和分段函数的表示等有关知识，属于基础题．
13. （5分）无论实数a，b（ab≠0）取何值，直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点．
参考答案：
（﹣2，3）
考点：恒过定点的直线．
专题：直线与圆．
分析：把已知直线变形为，然后求解两直线x+2=0和y﹣3=0的交点得答案．
解答：解：由ax+by+2a﹣3b=0，得
a（x+2）+b（y﹣3）=0，即，
联立，解得．
∴直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
点评：本题考查了直线系方程，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
14. 关于x的方程sin＝k在[0，π]上有两解，则实数k的取值范围是______．参考答案：
[ 1，）
15. 若直线与平行，则与之间的距离为▲
．
参考答案：
16. 幂函数在时为减函数则=。

参考答案：
2
略
17. 已知数列{a n }满足：a 1=m （m 为正整数），a n+1=若a6=1，则m所有可能的取值的个数为．
参考答案：
3
【考点】数列递推式．
【分析】a6=1，可得a5必为偶数，因此=1，解得a5=2．当a4为偶数时，，解得a4=4；
当a4为奇数时，a5=3a4+1=2，解得a4=，舍去．依此类推即可得出．
【解答】解：∵a6=1，
∴a5必为偶数，∴a6==1，解得a5=2．
当a4为偶数时，a5=，解得a4=4；当a4为奇数时，a5=3a4+1=2，解得a4=，舍去．
∴a4=4．当a3为偶数时，a4==4，解得a3=8；当a3为奇数时，a4=3a3+1=4，解得a3=1．
当a3=8时，当a2为偶数时，a3=，解得a2=16；当a2为奇数时，a3=3a2+1=8，解得a2=，舍去．
当a3=1时，当a2为偶数时，a3==1，解得a2=2；当a2为奇数时，a3=3a2+1=1，解得a2=0，舍去．
当a2=16时，当a1为偶数时，a2==16，解得a1=32=m；当a1为奇数时，a2=3a1+1=16，解得a1=5=m．
当a2=2时，当a1为偶数时，a2==2，解得a1=4=m；当a1为奇数时，a2=3a1+1=2，解得a1=，舍去．综上可得m=4，5，32．
故答案为：3．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积的最大值.
参考答案：
（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理直接得到答案.
（2）利用余弦定理得到再利用均值不等式得到,代入面积公式得到最大值. 【详解】（1）由正弦定理及已知，得，
∵，，∴.
∵，∴.
（2）由余弦定理，得，
即，
∴，
∴，
即面积的最大值为.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
19. 已知函数
（1）若,求的值.
（2）若,且, 求的值；
参考答案：
解: ----------2分
（1）由得, ------------ 3分
-------------- 4分
又= --------------6分
(2) -------------7分
-------------8分
又,, ---------10分
∴
---------12分
20. 函数，0＜a＜1
（Ⅰ）求函数的定义域并求该函数的单调区间.
（Ⅱ）若函数的值域为[－2,+∞)，求a的值. 参考答案：
解：（Ⅰ）要使函数有意义，则有解得，
所以定义域为.
函数可化为
利用复合函数单调性可得单调减区间为，单调增区间为
（Ⅱ）函数可化为
∵，∴，
∵，∴，由题意知：，
得，∴.
21. 如图，在四棱锥S- ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，，.
（1）若M为棱SB的中点，求证：//平面SCD；
（2）当时，求平面与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求当取最大值时点N的位置.
参考答案：
（1）见解析；（2）；（3）即点N在线段CD上且
【分析】
（1）取线段SC的中点E，连接ME，ED．可证是平行四边形，从而有
，则可得
线面平行；
（2）以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出两平面与平面的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）设，其中，求出，由MN与平面所成角的正弦值为与平面的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论．
【详解】（1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．
在中，ME为中位线，∴且，
∵且，∴且，
∴四边形AMED为平行四边形．
∴．
∵平面SCD，平面SCD，
∴平面SCD．
（2）解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，由条件得M为线段SB近B点的三等分点．
于是，即，
设平面AMC的一个法向量为，则，
将坐标代入并取，得．
另外易知平面SAB的一个法向量为，
所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为．
（3）设，其中．
由于，所以．
所以，
可知当，即时分母有最小值，此时有最大值，此时，，即点N在线段CD上且．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标
系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．
22. （12分）已知向量=（1，0），=（m，1），且与的夹角为．
（1）求|﹣2|；
（2）若（+λ）与垂直，求实数λ的值．
参考答案：
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（1）由cos＜＞==，求出m=1，由此能求出|﹣2|．（2）由=（1+λ，λ），（+λ）与垂直，能求出实数λ的值．
【解答】解：（1）∵=（1，0），=（m，1），且与的夹角为．
∴=m，||=1，||=，
cos＜＞==，解得m=1，或m=﹣1（舍）
∴=（﹣1，﹣2），
∴|﹣2|==．
（2）∵=（1+λ，λ），
（+λ）与垂直，
∴，
解得．
【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．。