电磁学(赵凯华)答案[第6章麦克斯韦电磁理论]

1 一平行板电容器的两极板都是半径为的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为：。

试求：（1）两极板间的位移电流；（2）极板边缘
的磁感应强度。

解: （1）如图所示,根据电容器极板带电情况，可知电场强度的方向水平向右（电位移矢量
的方向与的方向相同）。

因电容器中为真空，故。

忽略边缘效应，电场只分布在两板之间的空间内，且为匀强电场。

已知圆板的面积，故穿过该面积的的通量为
由位移电流的定义式，得电容器两板间位移电流为
因，所以的方向与的方向相同，即位移电流的方向与的方向相同。

（2）由于忽略边缘效应，则可认为两极板间的电场变化率是相同的，则极板间的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。

在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为的圆，其上的大小相等，选积分方向与方
向一致，
则由安培环路定理可得（全电流）
因在电容器内传导电流，位移电流为，则全电流为
所以极板边缘的磁感应强度为
根据右手螺旋定则，可知电容器边缘处的磁感应强度的方向，如图所示。

2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为，接于一交流电源时，板上的
电荷随时间变化，即。

试求：（1）电容器中的位移电流密度的大小；
（2）设为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布。

解: （1）由题意可知，，对于平行板电容器电位移矢量的大小为
所以，位移电流密度的大小为
（2）由于电容器内无传导电流，故。

又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。

设为圆板中心到场点的距离，并以为半径做圆周路径。

根据全电流安培环路定理可知通过所围面积的位移电流为
所以.最后可得
3. 如图（a）所示，用二面积为的大圆盘组成一间距为的平行板电容器，用两根
长导线垂直地接在二圆盘的中心。

今用可调电源使此电容器以恒定的电流充电，试
求：（1）此电容器中位移电流密度；（2）如图（b）所示，电容器中点的磁感
应强度；（3）证明在此电容器中从半径为﹑厚度为的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。

解:（1）由全电流概念可知，全电流是连续的。

电容器中位移电流密度的方向应如图（c）所示，其大小为
通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。

因此，也可以这样来求：
因为由于，因此所以
（2）由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场也呈轴对称，显然过点的线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。

根据全电流安培环路定理，将
用于此线上，有
得所以
（3）在电容器中作半径为﹑厚度为的圆柱体，如图（d）所示。

由坡印廷矢量分析可知，垂直指向圆柱体的侧壁，这表明电磁场的能量是从侧壁流入圆柱体内的。

在单位时间内流入的能量为
因为所以
由于传导电流和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。

但电容器中的电场是随时间增强的，故电场的能量是随时间增加的。

图（d）中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为
显然，单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。

4 如图所示，已知电路中直流电源的电动势为﹑电阻，电容器的电容
，试求：（1）接通电源瞬时电容器极板间的位移电流；（2）时，
电容器极板间的位移电流；（3）位移电流可持续多长时间。

（通常认为经过10倍电路时间常数后电流小到可忽略不计）
解: 对串联电路的暂态过程有求解该方程得：
，
表示极板上的电荷量是随时间变化。

在电容器内，由上题结论得电容器中的位移电流为
对应不同的情况，可求得（1）在接通电源的瞬时，电容器极板间的位移电流。

（2）当时，
（3）在时可认为电流忽略不计，即。

所以
5 一球形电容器，其内导体半径为，外导体半径为，两极板之间充有相对介电
常数为的介质。

现在电容器上加电压，内球与外球的电压为，假设
不太大，以致电容器电场分布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及
通过半径为的球面的位移电流。

解: 设电容器极板上带有电荷，由位移电流密度公式可知
由于球形电容器具有球形对称，用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为
（为径向单位向量）
球形电容器极板间的电势差为
与上式联立，消去，得
所以位移电流密度为
在电容器中，作半径为的球面，通过它的位移电流为
的流向沿径向，且随时间变化。

6 如图所示，电荷以速度向点运动（到点的距离以表示）。

在
点处作一半径为的圆，圆面与垂直。

试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处
的磁感应强度。

解: 电荷在其周围要激发电场，同时由于电荷运动，根据麦克斯韦假设，此时随时间变化的电场
又激发磁场。

设时间穿过圆面上的电位移通量为为使计算简便，可以为球
心，为半径，为小圆半径的底面，做一球冠，球面上各点的的大小相等，穿过题意圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等。

即
代入位移电流的定义式，得
取半径为的圆为积分回路，由麦克斯韦方程，有
由于运动沿圆面的轴线，系统具有对称性，所以环路上各点的大小相等，即
得
写成矢量形式有这正是运动电荷产生的磁场公式。

7 如图所示，由电容为的电容器和自感系数为的线圈构成一振荡电
路，若忽略线路中的电阻，充电后电容器所带电量的幅值为。

试求：（1）
充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率；（2）电路中电流随时间的变化率；（3）电场和磁场能量分别随时间的变化率。

解:在图示中，将开关先后扳向位置2，1使电容器充﹑放电，便可在电路中产生电流
的周期性变化。

设电路中电荷随时间的变化规律为则电路中的充﹑放电流为
由于在电路中，，所以回路的振荡频率由题意可知，
所以
代入电容器的电容公式，有
表明电容器两极板间电压随时间作用周期性变化。

已知电路中电荷变化规律，则有
电容器储存的电场能量为
线圈储存的磁场能量为
整个电路系统的总能量
8.试证明麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。

解: 由麦克斯韦方程（为传导电流）
设想闭合曲线缩小为一点，相应地以为边界的曲面将变成一个闭合面，在这种情况下有
，
即因此传导电流
而代入上式得
结果表明，如果一个地方没有电荷量的减小，就不可能从那里流出电荷来。

这就是电荷守恒定律的数学表达式，因此麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。