龙湾区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

龙湾区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 复数i i -+3)1(2
的值是（ ）
A ．i 4341+-
B ．i 4341-
C ．i 5351+-
D ．i 5
351-
【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题． 2． 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(][),4064,-∞+∞ B ．[40,64] C ．(],40-∞ D ．[)64,+∞
3． 满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．
A ．
B ．
C ．
D ．
5． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位
6． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则
的值为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．8
D ．﹣8 8． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）
A ．k360°+463°
B ．k360°+103°
C ．k360°+257°
D ．k360°﹣257°
9． 设函数f （x ）=，则f （1）=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 10．已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ）
A ．16
B ．﹣16
C ．8
D ．﹣8
11．若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k ）的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知命题:()(0x p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44
q x ππ
∀∈，sin cos x x >.
则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧
二、填空题
13．在区间[﹣2，3]上任取一个数a ，则函数f （x ）=x 3﹣ax 2+（a+2）x 有极值的概率为 ．
14．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成
角的正切值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 15．给出下列命题：
（1）命题p ：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q ：菱形的对角线相等；则p ∨q 是假命题
（2）命题“若x 2
﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题 （3）“1＜x ＜3”是“x 2
﹣4x+3＜0”的必要不充分条件
（4）若命题p ：∀x ∈R ，x 2
+4x+5≠0，则¬p ：
．
其中叙述正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
16．设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x ）=其中a ，
b ∈R ．若=，则a+3b 的值为 ．
17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．
18．log 3
+lg25+lg4﹣7
﹣（﹣9.8）0
= ．
三、解答题
19．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数()(),,x
f x e
g x x m m R ==-∈.
（1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值； （2）记()()()h x f x g x =⋅，求()h x 在[]
0,1上的最大值； （3）当0m =时，试比较()
2f x e -与()g x 的大小.
20．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线．
（2）若
，求
的值．
21．已知集合A={x|x 2﹣5x ﹣6＜0}，集合B={x|6x 2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x ﹣m ）（m+9﹣x ）＞0} （1）求A ∩B
（2）若A ∪C=C ，求实数m 的取值范围．
22．在直角坐标系xOy 中，过点P （2，﹣1）的直线l 的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2
θ=4cos θ，直线l 和曲线C 的交点为A ，B ．
（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求|PA|•|PB|．
23．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数()()3
23
131,02
f x x a x ax a =+
--+>． （1）试讨论()()0f x x ≥的单调性；
（2）证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当[]
0,x p ∈时，有()11f x -≤≤； （3）设（1）中的p 的最大值为()g a ，求()g a 得最大值．
24．已知函数f （x ）=alnx ﹣x （a ＞0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α
龙湾区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】i i i i i i i i i i 5
3
511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+．
2． 【答案】A 【解析】
试题分析：根据()248f x x kx =--可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为8
k
x =，所以若函数()f x 在区间[]5,8上为单调函数，则应满足：
58k ≤或88
k
≥，所以40k ≤或64k ≥。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质（单调性）。

3． 【答案】B
【解析】解：∵M ∩{1，2，4}={1，4}， ∴1，4是M 中的元素，2不是M 中的元素． ∵M ⊆{1，2，3，4}， ∴M={1，4}或M={1，3，4}． 故选：B ．
4． 【答案】D
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m
则由题意知，
解得d=
．
故选：D ．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：()2222log 2log 2log 1log g x x x x ==+=+，故向上平移个单位. 考点：图象平移．
6． 【答案】C
【解析】解：F
1，F 2为椭圆
=1的两个焦点，可得F 1（﹣
，0），F 2（
）．a=2，b=1．
点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2，
|PF2|==，由勾股定理可得：|PF1|==．
==．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
7．【答案】B
【解析】解：∵f（x+4）=f（x），
∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），
又∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
8．【答案】C
【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z）
即：k360°+257°，（k∈Z）
故选C
【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．
9．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=，
f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．
故选：D．
10．【答案】B
【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．
即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
11．【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数
则f（﹣x）+f（x）=0
即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0
则k=1
又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a＞1
则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）
函数图象必过原点，且为增函数
故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
12．【答案】D
【解析】
考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用.
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：在区间[﹣2，3]上任取一个数a，
则﹣2≤a≤3，对应的区间长度为3﹣（﹣2）=5，
若f（x）=x3﹣ax2+（a+2）x有极值，
则f'（x）=x2﹣2ax+（a+2）=0有两个不同的根，
即判别式△=4a2﹣4（a+2）＞0，
解得a＞2或a＜﹣1，
∴﹣2≤a＜﹣1或2＜a≤3，
则对应的区间长度为﹣1﹣（﹣2）+3﹣2=1+1=2，
∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=，
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键．
14．【答案】
【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM，
则DM∥C1B1，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°，
∴DM⊥平面AA1C1C，
则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角，
则DM=，AD===，
则tan∠MAD=．
法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
则∵AC=BC=1，侧棱AA
=，M为A1B1的中点，
1
∴=（﹣，，﹣），=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量
设AM与平面AA1C1C所成角为θ，
则sinθ=||=
则tanθ=
故选：A
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
15．【答案】（4）
【解析】解：（1）命题p：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q：菱形的对角线相等为假命题；则p∨q是真命题，故（1）错误，
（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，（3）由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，
（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则￢p：．正确，
故答案为：（4）
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．
16．【答案】﹣10．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，
∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，
∴1﹣a=①
又f（﹣1）=f（1），
∴2a+b=0，②
由①②解得a=2，b=﹣4；
∴a+3b=﹣10．
故答案为：﹣10．
17．【答案】 ．
【解析】解：S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1，
=S n ， ∴S n+1﹣S n =S n+1S n ，
∴
=﹣1， =﹣1，
∴{
}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，
∴=﹣1+（n ﹣1）×（﹣1）=﹣n ．
∴S n =﹣，
n=1时，a 1=S 1=﹣1，
n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣+=．
∴a n =．
故答案为：
．
18．【答案】 ． 【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=， 故选：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）1m =-；（2）当1e m e <
-时，()()max 1h x m e =-；当1e m e ≥-时，()max h x m =-；（3）()()2f x e g x ->.
【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m 的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的
符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
试题解析：（1）设曲线()x f x e =与()g x x m =-相切于点()00,P x y ，
由()x f x e '=，知0
1x e =，解得00x =，
又可求得点P 为()0,1，所以代入()g x x m =-，得1m =-. （2）因为()()x h x x m e =-，所以()()()()
[]1,0,1x x x h x e x m e x m e x =+-=∈'--.
①当10m -≤，即1m ≤时，()0h x '≥，此时()h x 在[]0,1上单调递增，
所以()()()max 11h x h m e ==-； ②当011m <-<即12m <<，当()0,1x m ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减，
当()1,1x m ∈-时，()()0,h x h x '>单调递增，()()()0,11h m h m e =-=-.
（i ）当()1m m e -≥-，即
21
e m e ≤<-时，()()max 0h x h m ==-； （ii ）当()1m m e -<-，即11
e m e <<-时，()()()max 11h x h m e ==-； ③当11m -≥，即2m ≥时，()0h x '≤，此时()h x 在[]0,1上单调递减， 所以()()min 0h x h m ==-. 综上，当1e m e <
-时，()()max 1h x m e =-； 当1
e m e ≥-时，()max h x m =-. （3）当0m =时，()()22,x
f x e e
e g x x --==， ①当0x ≤时，显然()()2
f x e
g x ->； ②当0x >时，()()222ln ln ,ln ln x f x e x e
e e g x x ---===， 记函数()221ln ln x x x e x e x e
φ-=-=
⨯-， 则()22111x x x e e e x x
φ-=⨯-=-'，可知()x φ'在()0,+∞上单调递增，又由()()10,20φφ''知，()x φ'在()0,+∞上有唯一实根0x ，且012x <<，则()020010x x e x φ--'==，即0201x e x -=（*）， 当()00,x x ∈时，()()0,x x φφ'<单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x φφ'>单调递增，
所以()()0200ln x x x e
x φφ-≥=-， 结合（*）式020
1x e x -=，知002ln x x -=-，
所以()()()2200000000121120x x x x x x x x x φφ--+≥=
+-==>， 则()2ln 0x x e x φ-=->，即2ln x e x ->，所以2x e e x ->.
综上，()()2f x e g x ->.
试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小．
20．【答案】
【解析】（I ）证明：连接OD ，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC
∴OD ∥AE 又AE ⊥DE
∴DE ⊥OD ，又OD 为半径
∴DE 是的⊙O 切线
（II ）解：过D 作DH ⊥AB 于H ，
则有∠DOH=∠
CAB
设OD=5x ，则AB=10x ，OH=2x ，∴AH=7x
由△AED ≌△AHD 可得AE=AH=7x
又由△AEF ∽△DOF
可得
∴
【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．
21．【答案】
【解析】解：由合A={x|x 2﹣5x ﹣6＜0}，集合B={x|6x 2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x ﹣m ）（m+9﹣x ）＞0}．
∴A={x|﹣1＜x ＜6}
，，C={x|m ＜x ＜m+9}．
（1）
，
（2）由A ∪C=C ，可得A ⊆C ．
即，解得﹣3≤m ≤﹣1．
22．【答案】
【解析】（1）∵ρsin 2θ=4cos θ，∴ρ2sin 2θ=4ρcos θ，…
∵ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，
∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x …
（2）∵直线l 过点P （2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l 的参数方程为
（t 为参数）．… 代入 y 2
=4x 得t 2﹣6t ﹣14=0…
设点A ，B 对应的参数分别t 1，t 2
∴t 1t 2=﹣14…
∴|PA|•|PB|=14．…
23．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数a ，存在正数p ，使得当[]0,x p ∈时，有()11f x -≤≤；
（3）()g a 【解析】【试题分析】（1）先对函数()()323131,02
f x x a x ax a =+--+>进行求导，再对导函数的值的 符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值
()01,f =()3213122f a a a =--+=
()()211212a a -+-，进而分()1f a ≥-和()1f a <-两种情形进行 分析讨论，推断出存在()0,p a ∈使得()10f p +=，从而证得当[]
0,x p ∈时，有()11f x -≤≤成立；（3） 借助（2）的结论()f x ：在[)0,+∞上有最小值为()f a ，然后分011a a ≤，两种情形探求()g a 的解析表达式和最大值。

证明：（1）由于()()23313f x x a x a =+--'()()31x x a =+-，且0a >， 故()f x 在[]0,a 上单调递减，在[
),a +∞上单调递增．
（3）由（2）知()f x 在[)0,+∞上的最小值为()f a ．
当01a <≤时，()1f a ≥-，则()g a 是方程()1f p =满足p a >的实根， 即()223160p a p a +--=满足p a >的实根，
所以()()314a g a -=．
又()g a 在(]0,1上单调递增，故()()max 1g a g ==
当1a >时，()1f a <-，由于()()()901,11112
f f a ==
--<-， 故][0,0,1p ⎡⎤⊂⎣⎦．此时，()1g a ≤．
综上所述，()g a
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a ． 易知，x ∈（0，a ）时，f ′（x ）＞0，x ∈（a ，+∞）时，f ′（x ）＜0．
故函数f （x ）在（0，a ）上递增，在（a ，+∞）递减．
故f （x ）max =f （a ）=alna ﹣a ．
（Ⅱ）令g （x ）=f （a ﹣x ）﹣f （a+x ），即g （x ）=aln （a ﹣x ）﹣aln （a+x ）+2x ．
所以，当x ∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0．
所以g （x ）＜g （0）=0，即f （a+x ）＞f （a ﹣x ）．
（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）．
又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．。