邓肯张模型

1 1 Et Rf Ei 1 1 Ei ( 1 3 ) f
2
R f 值一般在0.75~1.0之间
(8)
(9)
式（9）中 Et 表示为应变 1 的函数，可将 E 表示为应 t 力的函数形式。从式（1）可以得到
a(1 3 ) 1 1 b(1 3 )
常规三轴压缩试验的结果按
1 a b1 1 2
（2）
的关系进行调整，其中a为截距，b为斜率
在常规三轴压缩试验中，由于 d 2 d 3 0 ，所以切 线模量为
Et d ( 1 3 ) a d 1 (a b1 )2
(3)
在试验的起始点，
则： Ei 1
2
2
(11)
将式（8）、式（4）代入式（11），得
1 3 Et Ei 1 R f ( 1 3 ) f
(12)
根据莫尔－库仑强度准则，有
2c cos 2 3 sin (1 3 ) f 1 sin
(13)
又有
替, 偏应力σ 1-σ
3
3
用(σ 2+σ 3)/2 来代
用σ 1-(σ 2+σ 3)/ 2 来代替, 摩尔—库
仑(Mohr-Coulomb)准则不变 2.2.作为三维计算中的一种近似模拟方法, 用球应力p 、广 义剪应力q 分别代替二维计算模型中相应于σ
3
和σ 1-σ 3的
位置,保持摩尔— 库仑准则不变,
(10)
将式（10）代入式（3），得
Et a ab( 1 3 ) a 1 b( ) 1 3
2

1 b( 1 3 ) a 1 1 b ( ) 1 3
2

1 1 a 1 b ( ) 1 3
验的应变条件是轴对称的;因此, 根据两种应力比可得到两
种条件下摩擦角之间的关系为:
1 1 1 bp sin c sin p 3
其中,φc 为轴对称应力条件下的摩擦角;φp 为平面应变 条件下的摩擦角, 由平面应变仪试验而得;bp 为二者的 相关系统。
bp
1 sin p 2
由常规三轴试验求出φc 后, 可求得平面应变条件下的
a
(4)
这表明a是在这个试验中的起始变形模量(初始切线
模量)的倒数。
在式（1）中，如果 1 ，则：
( 1 3 )ult
或者 :
(6) 由此可看出b代表的是双曲线的渐进线所对应的极 限偏差应力 (1 3 )ult 的倒数。 在试验中 1 不可能无限大，求取 (1 3 )ult ；对于有
E i KPa (
3
Pa
)n
(14)
K、n为无因次基数和无因次指数，Ei为初始切线模量 ，Ei＝1/a, Pa大气压力。 将式（13）和式（14）代入式（12）则得到任一应 力（1 ， 3 ）时的切线模量的邓肯－张计算公式：
3 n R f ( 1 3 )(1 sin ) Et Kpa ( ) 1 pa 2c cos 3 / 1 ) 0 f vi
3
，即为
初始泊松比，D为斜率（见图（b））。 试验表明土的初始泊松比 vi 与试验围压 3有关，将它画 在单对数坐标中，可假设是一条直线，见图(c)，这样:
vi f G F lg( 3 / p3 )
G,F为试验常数，其确定见图(c)。
2
（19）
由于采用泊松比对土体临近破坏前后的模拟比较困难 ,Duncan又提出用切线弹性模量Et和体积模量B来表示Duncanchang模型。其中切线弹性模量Et不变，引入了体变模量B来
代替切线泊松比，作为约束压力σ 3的函数。
E B 3(1 2 )
（20）
在三轴试验中用下式确定B：
( 1 3 ) 70% B 3( ) 70%
其中(σ 1-σ 3)70%与(ε ʋ)70%为 σ 1-σ
3
（21）
达到70%(σ 1-σ 3)f时
的偏差应力和体应变的试验值。这样对于每一个σ 3为常数的
三轴压缩试验，B就是一个常数。
试验证明B与σ 3有关，二者关系在双对数坐标中可近似 为一直线，这样：
3 m B Kb P a ( ) Pa
2.3.将Duncan-Chang 模型中凡是出现σ
3
为变量的地方, 一
律用 3 3 3 / 2 来代替, 这时摩尔— 库仑强度条件
为:
2 ( 1 3 ) f [ 3 3 3 / 2 sin c cos ] 1 sin
2.4.由于工程中常见的变形条件是平面应变, 而常规三轴试
（18）
其中Kb和m是材料常数，分别为 lg( B / P a )与 lg( 3 / P a ) 直线
关系的截距和斜率。
模型的改进
• 1.考虑高固结压力的影响 土体在高围压下的变形性状与低围压情况下有所不同, 土体强度包线不呈直线,而是呈向下微弯的曲线。这表明有
效强度指标内摩擦角ψ 随围压σ 3的增加而降低了。为了反映
b
1 ( 1 3 )ult
1 b
(5)
峰值点的情况，取 (1 3 ) f (1 3 )峰 ,这样 (1 3 ) f (1 3 )ult
定义破坏比 R f 为：
Rf (1 3 ) f (1 3 )ult
(7)
Rf 1 b (1 3 )ult (1 2 ) f 将式（8）、式（4）代入式（3）中，得
（17）
将式（16）微分，得：
vt d 3 (1 D1 ) f D1 f vi d 1 (1 D1 )2 (1 D1 )2
（18）
将16,17代入可得：
vt G F lg( 3 / pa ) D ( ) 1 3 1 R ( )(1 sin ) Kp ( 3 ) n 1 f 1 3 a pa 2c cos 2 3 sin
这种变化, 可以用折线来代替曲线, 也就是在不同的压力范 围用不同的强度指标。围压低于σ
A
用ψ 1 , 围压高于σ
A
用
ψ 2 。另一种方法是将内摩擦角ψ 表示成固结压力σ 3 的某 种函数, 常用公式：ψ =ψ 0 -Δ ψ lg(σ 3/ pa)
2.考虑σ 2的对强度和变形的影响
2.1.将原邓肯—张模型中的侧限压力σ
2
(15)
Duncan等人根据一些试验资料，假定在常规三轴压缩试验中 轴向应变ε 1与侧向应变-ε 3之间也存在双曲线关系：
或
3 1 f D( 3 )
（15）
（16）
3 f D 3 1
式（16）可以看出，试验得到的-ε 3/ε
1
与-ε
3
的关系
为直线关系，当 -ε
邓肯-张模型
汇报人：韦浩浩
2017-04-26
邓肯-张本构模型
该模型是一种建立在增量广义虎克定律基础上
的非线性弹性模型，可经反映应力～应变关系的非 线性，模型参数只有８个，且物理意义明确，易于 掌握，并可通过静三轴试验全部确定，便于在数值 计算中运用，因而，得到了广泛地应用。
邓肯张应力应变关系之双曲线图
φp , 再将φp 代入Duncan-Chang 模型中代替φ, 就相当于 考虑了中主应力σ2 对强度与变形的影响。
Thanks!
1963年，康纳（Kondner）根据大量土的三轴试验的应力应 变关系曲线，提出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验(σ 11 3 σ 3)~ε a曲线，即：
a b a
a
（1）。
其中，σ 1和σ 3分别为最大和最小主应力；对于常规三轴
a 1 压缩试验，
。
邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一种目前被 广泛的增量弹性模型，一般被称为邓肯－张（Duncan-Chang）模 型。