2021-2022学年河南省南阳市唐河县第二高级中学高二数学理月考试卷含解析

2021-2022学年河南省南阳市唐河县第二高级中学高二数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到
时，不等式的左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
参考答案：
C
略
2. 已知a∈R，若方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则此圆心坐标（）
A．（﹣2，﹣4）B．
C．（﹣2，﹣4）或D．不确定
参考答案：
A
【考点】圆的标准方程．
【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求．
【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，
∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，
配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；
当a=2时，方程化为x2+y2+x+2y+2.5=0，
此时D2+E2﹣4F＜0，方程不表示圆，
故选：A．
3. 以直线为渐近线，F（0，2）为一个焦点的双曲线方程为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
4. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
5. 在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，则a cosB+b cosA=（）
A.a
B.b
C.c
D.不确定
参考答案：
C
略
6. 短轴长为，离心率e＝的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为()
A．3 B．6 C．12 D．24
参考答案：B
7. 设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
参考答案：
B
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．
【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，
则c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．
8. 已知椭圆的长轴在y 轴上，且焦距为4，则 m 等于（）
A. 4
B. 5
C. 7
D. 8
参考答案：
D
9. 函数的定义域是( )
A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞)D．(－1,0)参考答案：
A
略10. 极坐标方程所表示的曲线经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是（）
A. 直线
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 圆
参考答案：
D
【分析】
先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的，分别换成得，，由此能求出结果．
【详解】∵极坐标方程
∴
∴直角坐标方程为，即
∴经过直角坐标系下的伸缩变换后得到的曲线方程为，即
.
∴得到的曲线是圆
故选D.
【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆x2 + y2 = 1和4 x2 + 4 y2– 16 x– 8 y + 11 = 0的公切线的斜率是。

参考答案：
12. 已知集合，，则集合M∩P
= ．
参考答案：
略
13. 已知圆C 1：（x+1）2
+（y ﹣1）2
=1，圆C 2与圆C 1关于直线x ﹣y ﹣1=0对称，则圆C 2的方程为 ．
参考答案：
（x ﹣2）2
+（y+2）2
=1
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【分析】在圆C 2上任取一点（x ，y ），求出此点关于直线X ﹣Y ﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C 1上，再把对称点坐标代入
圆C 1的方程，化简可得圆C 2的方程． 【解答】解：在圆C 2上任取一点（x ，y ），
则此点关于直线X ﹣Y ﹣1=0的对称点（y+1，x ﹣1）在圆C 1：（X+1）2
+（y ﹣1）2
=1上， ∴有（y+1+1）2+（x ﹣1﹣1）2=1， 即 （x ﹣2）2+（y+2）2=1， ∴答案为（x ﹣2）2
+（y+2）2
=1． 14.
的展开式中
项的系数是
.（用数字作答）
参考答案：
40
15. 设F 1，F 2分别为双曲线
的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1，F 2
为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足，则该双曲线的离心率为
________.
参考答案：
如图，，由已知条件知圆的方程为由，得，
，又
，
，
，
，即双曲线的离心率为，故答案为.
16. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．
参考答案：
略
17. 边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为 ▲ .
参考答案：
36
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90o ，∠BCD=45o ， E 为对角线BD 中点.现将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使平面PBD⊥平面BCD,如图2. (Ⅰ)若点F 为BC 中点，证明：EF∥平面PCD ；
(Ⅱ)证明：平面PBC⊥平面PCD.
参考答案：
19. 已知且；
：集合且.若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.
参考答案：
对p：所以．
若命题p为真，则有；对q：∵且
∴若命题q为真，则方程无解或只有非正根．
∴或, ∴
∵p, q中有且只有一个为真命题∴ (1) p 真，q假：则有；
(2) p 假，q 真：则有；
略20. 已知过点Q（，0）的直线与抛物线C：y2=4x交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）求证：y1y2为定值．
（Ⅱ）若△AOB的面积为（O为坐标原点），求直线AB的方程．
参考答案：
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（Ⅰ）分直线与x轴垂直和不垂直分析，当直线与x轴垂直时直接求出y1y2．当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y1y2为定值；
（Ⅱ）利用弦长公式求出AB的长度，再由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，代入三角形面积公式求得k值，则直线AB的方程可求．
【解答】（Ⅰ）证明：当直线AB垂直于x轴时，，得．
∴y1?y2=﹣18；
当直线AB不与x轴垂直时，设直线方程为y=k（x﹣）（k≠0），
联立，得ky2﹣2y﹣18k=0．
由根与系数的关系可得：y1?y2=﹣18．
综上，y1y2为定值；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：，
∴|AB|==．
O到直线AB的距离d=．
∴，解得k=．
∴直线AB的方程为，即2x+3y﹣9=0或2x﹣3y﹣9=0．
21. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上射影是,点,则的最小值是___________________.
参考答案：
略
22. 某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．
（1）列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；
（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）求出矩形的宽，可得y与x的函数关系式，并写出其定义域；
（2）用到基本不等式的性质注意能否取到“=”．
【解答】解：（1）矩形的宽为：米，
=
定义域为{x|0＜x＜150}
注：定义域为{x|0＜x≤150}不扣分
（2）y=
当且仅当即x=30时取等号，此时宽为：米
所以，长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．。