2024届山东省济宁市嘉祥一中高三下学期第二次阶段性过关考试数学试题

2024届山东省济宁市嘉祥一中高三下学期第二次阶段性过关考试数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．16
B ．48
C ．96
D ．128
2．二项式5
2x x ⎫
⎪⎭
的展开式中，常数项为（ ）
A ．80-
B ．80
C ．160-
D ．160
3．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)π
B ．(4,)π
C ．(1,2)π-
D ．(4,2)π
4．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4
()f x x x
=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )
A ．i
B ．﹣2i
C ．2i
D ．﹣i
6．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长
为4的正方形
内任取一点，则
的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知i 是虚数单位，若1z
i i
=-，则||z =（ ） A 2
B ．2
C 3
D ．3
8．过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经
过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2
B 3
C ．2
D 5
9．已知函数()2ln 2,0
3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩
的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像
上，则k 的取值范围是( ) A ．13
(,)34
B ．13(,)24
C ．1(,1)3
D ．1(,1)2
10．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m ααβ∥∥，则m β∥ B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥
D ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥
11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为21)，则b c +=（ ） A ．5
B ．22
C ．4
D ．16
12．已知(1)n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，
若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n
n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．8l
D ．－81
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若3
22
(cos )a x x dx π
π-=
+⎰，则5
3()x x
-的展开式中含x 的项的系数为_______. 14．下图是一个算法流程图,则输出的k 的值为__________．
15．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于
2
3
且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）
16．已知关于x 的不等式3ln 1x e
x a x x
--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为_________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数()1
f x x x
=-
，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数. （1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围；
（2）设()()()22
1ln 1e 11x H x x x x x ⎛⎫=-++--
⎪⎝⎭
，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.
18．（12分）已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，点P 在抛物线上，直线PF 与抛物线C 交于另一点A .
（1）设直线MP ，MA 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +常数；
（2）①设PMA ∆的内切圆圆心为(,)G a b 的半径为r ，试用r 表示点G 的横坐标a ； ②当PMA ∆的内切圆的面积为
1
2
π时，求直线PA 的方程. 19．（12分）已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12n a
n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．
20．（12分）如图，在正四棱锥P ABCD ﹣中，底面正方形的对角线,AC BD 交于点O 且12
OP AB ＝．
（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B PD C --的大小．
21．（12分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量2
(cos ,2cos 1)2
C
m B =-，(,2)n c b a =-且0m n ⋅=． （1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为36a b +=，求c ．
22．（10分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
cos cos 3sin B C b c C
+=
（1）求b 的值；
（2
）若cos 2B B +=，求ABC ∆面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【题目详解】
第一次循环：1
2(11)4,2S i =+==；第二次循环：2
42(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3
162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 2、A 【解题分析】
求出二项式5
2x ⎫
⎪⎭
的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.
【题目详解】
解：二项式52x ⎫⎪⎭
展开式的通式为()()
552252
155
12
r
r
r r
r
r r
r
r T C x C x
---
+-+=-=-，
令5202
r
r --
+=，解得1r =， 则常数项为()1
14
51280C -=-.
故选：A. 【题目点拨】
本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.
3、B 【解题分析】
函数2
3353
sin (3sin 4cos )3sin 4sin cos 2sin 2cos 2sin(2)2222
y x x x x x x x x x θ=+=+=-
+=-+（θ为辅助角） ∴函数的最大值为4M =，最小正周期为22
T π
π== 故选B 4、A 【解题分析】
先由两直线垂直的条件判断出命题p 的真假，由基本不等式判断命题q 的真假，从而得出p ,q 的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项. 【题目详解】
已知对于命题p ，由2110m ⨯-=得1m =±，所以命题p 为假命题； 关于命题q ，函数4()f x x x
=+
，
当0x >时，4()4f x x x =+
≥=，当4x x =即2x =时，取等号，
当0x <时，函数4
()f x x x
=+没有最小值， 所以命题q 为假命题.
所以p ⌝
和q ⌝
是真命题，
所以p q ∧为假命题，p q ∨为假命题，⌝∧p q 为假命题，⌝⌝∧p q 为真命题，所以真命题的个数为1个. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题. 5、B 【解题分析】
复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .
【题目详解】
∵()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，
∴
210
10
a
a
⎧-=
⎨
-≠
⎩
，解得1
a=-.
2
z i
∴=-.
故选：B.
【题目点拨】
本题考查复数的分类，属于基础题.
6、B
【解题分析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为，即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案是正确的，应选答案B。

点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题解决问题的能力。

7、A
【解题分析】
直接将
1z
i
i
=
-
两边同时乘以1i
-求出复数z，再求其模即可.
【题目详解】
解：将
1z
i
i
=
-
两边同时乘以1i
-，得
()
11
z i i i
=-=+
2
z=
故选：A
【题目点拨】
考查复数的运算及其模的求法，是基础题.
8、C
【解题分析】
由0
FA FB
+=得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得
2
b
a c
a
=+，再结合,,
a b c关系求解即可
【题目详解】
因为0
FA FB
+=，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以
2b a c a =+，即22
c a a c a
-=+，则c a a -=，故2c e a ==.
故选：C 【题目点拨】
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 9、D 【解题分析】
根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到
()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲
线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果. 【题目详解】
()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--
∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点
由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-
()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增
由此可得()f x 图象如下图所示：
其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C
由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21
ln 10
AC m m m k m m -+=-=
-，解得：1m =
1AC k ∴=-
设2
3,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，0n ≤，则2
3132220
AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31
222
AB k ∴=-+=-
11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝
⎭，则1,12k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
本题正确选项：D 【题目点拨】
本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解. 10、D 【解题分析】
A. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂，故A 错误；
B. 若,m αβα⊥⊥，则//m β或m β⊂故B 错误；
C. 若//,m ααβ⊥，则//m β或m β⊂，或m 与β相交；
D. 若,//m ααβ⊥，则m β⊥，正确. 故选D. 11、C 【解题分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,
再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可.
【题目详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4
A π
=
.
∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===, ∴bc
=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=+
+4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.
故选：C 【题目点拨】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 12、B 【解题分析】
根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【题目详解】
因为(1)n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
故可得5n =，
令0x =，故可得01a =， 又因为125242a a a ++
+=，
令1x =，则()5
01251243a a a a λ+=++++=，
解得2λ=
令1x =-，则()()5
5
01251211a a a a -=-+-+-=-.
故选：B. 【题目点拨】
本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、80- 【解题分析】
首先根据定积分的应用求出a 的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果. 【题目详解】
(
)
2
2
3
42
2
1cos sin 24a x x dx x x π
π
π
π--
⎛⎫=
+=+= ⎪⎝⎭⎰，
55
x x ⎛
⎛∴= ⎝
⎝
根据二项式展开式通项：4553
155()(2)r
r r r r r r T C x C x --+=⋅=⋅-⋅， 令4513
r -=，解得3r =， 所以含x 的项的系数335(2)80C -=-.
故答案为：80-
【题目点拨】
本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.
14、3
【解题分析】
分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论.
【题目详解】
解:初始13,0n k ←←,
第一次循环: 6,1n k ←←;
第二次循环: 3,2n k ←←;
第三次循环: 1,3n k ←←;
经判断1n =,此时跳出循环,输出3k =.
故答案为:3
【题目点拨】
本题考查了程序框图的应用问题,解题的关键是对算法语句的理解,属基础题.
15、①②③
【解题分析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断．
【题目详解】
函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-，
由于()()()26ln 2ln 4ln ln(1)44x f x x x x x
+=+--==-+--， 614u x
=-+-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确；
22116662'()2482(1)993
f x x x x x x =+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确； 2116'()2428f x x x x x =
+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的极小值点，④错误．
故答案为：①②③.
【题目点拨】
本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题． 16、(],3-∞-
【解题分析】 先将不等式3ln 1x
e x a x x --≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立,转化为3ln 1ln x x e x a x
---任意(1,)x ∈+∞恒成立，设()3ln 1ln x x e x f x x
---=，求出()f x 在()1,+∞内的最小值,即可求出a 的取值范围. 【题目详解】
解：由题可知，不等式3ln 1x
e x a x x
--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立， 即33ln 3ln 31111ln ln ln ln x
x x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x -----------===， 又因为(1,)x ∈+∞，ln 0x >，
3ln 1ln x x e x a x
---∴对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 设()3ln 1ln x x e x f x x
---=，其中()1,x ∈+∞， 由不等式1x e x ≥+，可得：3ln 3ln 1x x e x x -≥-+，
则()3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x f x x x
----+--=≥=-， 当3ln 0x x -=时等号成立，
又因为3ln 0x x -=在()1,+∞内有解，
()min 3f x ∴=-，
则()min 3a f x ≤=-，即：3a ≤-，
所以实数a 的取值范围：(],3-∞-.
故答案为：(],3-∞-.
【题目点拨】
本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(]0,2 （2）证明见解析
【解题分析】
(1)据题意可得()()()1ln 0F x f x g x x t x x
=-=--<在区间0,1上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t 的取值范围；(2)不等式整理为2e 1e 1ln x x x x x x x
-<-+，由(1)可知当2t =时，212ln x x x ->，利用导数判断函数e e 1x x x x -+的单调性从而证明e 2e 1
x
x x x <-+在区间0,1上成立，从而证明对任意()0,1x ∈，都有()0H x >. 【题目详解】
（1）解：因为函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的下方，
所以()()1ln 0f x g x x t x x -=-
-<在区间0,1上恒成立. 设()1ln F x x t x x
=--，其中()0,1x ∈， 所以()222111t x tx F x x x x
-+'=+-=，其中24t ∆=-，0t >. ①当240t -，即02t <时，()0F x '，
所以函数()F x 在0,1上单调递增，()()10F x F <=，
故()()0f x g x -<成立，满足题意.
②当240t ->，即2t >时，设()()2101x x tx x θ=-+<<，
则()x θ图象的对称轴12
t x =>，()01θ=，()120t θ=-<，
所以()x θ在0,1上存在唯一实根，设为1x ，则()1,1x x ∈，()0x θ<，()0F x '<，
所以()F x 在()1,1x 上单调递减，此时()()10F x F >=，不合题意.
综上可得，实数t 的取值范围是(]
0,2.
（2）证明：由题意得()()21e ln 1e 1x x H x x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭()()21e 1e ln x x x x x x x --+=-， 因为当()0,1x ∈时，e 10x x x -+>，ln 0x <，
所以()()()21e 10e
ln x x x x x H x x x --+>⇔>2e 1e 1ln x x x x x x x -⇔<-+. 令()()e 101x h x x x =--<<，则()e 10x h x '=->，
所以()h x 在0,1上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，
所以()2
e 1111x x x x x x x -+>+-+=+，从而2e e e 11x x
x x x x <-++. 由（1）知当2t =时，12ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x
->. 令()()2e 011
x
m x x x =<<+，则要证()0H x >，只需证()2m x <. 因为()()()2
22e 101x x m x x -'=>+，所以()m x 在0,1上单调递增，
所以()()e 122
m x m <=<，即()2m x <在0,1上恒成立. 综上可得，对任意()0,1x ∈，都有()0H x >成立.
【题目点拨】
本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.
18、（1）证明见解析；（2）①24r a =
；②10x y -=. 【解题分析】
（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，联立2
4y x =，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出12k k +，化简即可；
（2）由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，设出直线,PA PM 方程，求出交点P 坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可.
【题目详解】
（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，(1,0)M -
联立方程组214x my y x
=+⎧⎨=⎩，得：2440y my --=. 于是，有：121244
y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩ 1212211212121212111y y y x y x y y k k x x x x x x +++∴+=
+=+++++， 又12211212121211()()(4)44044
y x y x y y y y y y y y m m +++=⋅+++=⋅-⋅+=， 120k k ∴+=；
（2）①由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，联立,PA PM 的直线方程：11x my x ny =+⎧⎨=-⎩
. 2,m n P n m n m +⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭
，又点P 在抛物线24y x =上，得221n m -=，
()()()()()
22222222211411r m a r r n m a r n a ⎧+=-⎪==⇒⇒-=⎨+=+⎪⎩， 2
4
r a ∴=； ②由题得，2211228
S r r a ππ==
⇒=⇒= （解法一） ()22111128+m ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭
8
m ⇒=± 所以直线PA
的方程为108x y ±
-= （解法二）
设内切圆半径为r ，则22
r .设直线PM 的斜率为k ，则： 直线MP 的方程为：(1)y k x =+代入直线PA 的直线方程，
可得12(
,)11mk k P mk mk
+-- 于是有：221()411k mk mk mk +=⋅--， 得22(1)1k m +=，
又由（1）可设内切圆的圆心为(,0).t
则2==，
即：2222212(1)2(1)1m t k t k ⎧+=-⎨+=+⎩
，解得：18t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以，直线PA
的方程为：10x y ±
-=. 【题目点拨】
本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.
19、（1）2n a n =；（2）211343
n n S n n =+-+⨯. 【解题分析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
【题目详解】
（1）124,,a a a 成等比数列，22
14a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+， ()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，
()2212n a n n ∴=+-=.
（2）由（1）得：2111224n a n n n b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，114n n b b +∴=，114b =，
∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()
2322111124444n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343
n n n =+-+⨯． 【题目点拨】
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.
20、（1）63
；（2）60︒. 【解题分析】
(1) 以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为2,再求解BP 与平面PCD 的法向量,继而求得直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值即可.
(2)分别求解平面BPD 与平面PDC 的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.
【题目详解】
解：()1在正四棱锥P ABCD ﹣中,底面正方形的对角线,AC BD 交于点,O
所以OP ⊥平面,ABCD 取AB 的中点,E BC 的中点,F
所以,,OP OE OF 两两垂直,故以点O 为坐标原点,
以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系．
设底面正方形边长为2,
因为1
,2
OP AB ＝ 所以1,OP ＝
所以()(
)()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1B C D P ﹣﹣﹣,
所以()1,1,1BP ＝﹣﹣,
设平面PCD 的法向量是(),,n x y z =,
因为()0,2,0CD =-,()1,
1,1CP =﹣, 所以20CD n y ⋅=-＝,0CP n x y z ⋅+＝﹣＝,
取1,x ＝
则0,1y z ＝＝﹣, 所以()1,0,1n =- 所以6,3
BP n
cos BP n BP n ⋅=＜＞＝
所以直线BP 与平面PCD ． ()2设平面BPD 的法向量是(),,n x y z =,
因为()1,1,1BP ＝﹣﹣,()-2,-2,1BD =,
所以0,BP n x y z ⋅+＝﹣﹣＝220BD n x y ⋅＝﹣﹣＝,
取1,x ＝则1,0,y z ＝﹣＝ 所以()1,1,0n =-,
由()1知平面PCD 的法向量是()1,0,1n =-, 所以12
m n cos m n m n ⋅＜,＞＝＝ 所以,60m n ︒＜＞＝,
所以锐二面角B PD C ﹣﹣的大小为60︒．
【题目点拨】
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.
21、（1）3C π
=;（2）c =．
【解题分析】
试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得()cos 2cos 0c B b a C +-=，利用正弦定理可得
sin 2sin cos A A C =，结合sin 0A ≠，可求1cos 2
C =
，从而可求C 的值；（2）由三角形的面积可解得8ab =，利用余弦定理可得()223a b ab c +-=，故可得c . 试题解析：（1）∵()cos ,cos m B C =，(),2n c b a =-，0m n ⋅=，
∴()cos 2cos 0c B b a C +-=，
∴()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，
即sin 2sin cos A A C = ，又∵sin 0A ≠，∴1cos 2C =
， 又∵()0,C π∈，∴3C π=
．
（2）∵1sin 2
ABC S ab C ∆==8ab =， 又2222cos c a b ab C =+-，即()223a b ab c +-=，∴212c =，
故c =．
22、 (1)b =【解题分析】
分析：（1）在式子cos cos 3sin B C A b c C
+=中运用正弦、余弦定理后可得b =（2）由cos 2B B =经三角变换可得3B π
=，然后运用余弦定理可得2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，从而得到3ac ≤，故得
1sin 24
S ac B =≤．
详解：(1)由题意及正、余弦定理得222222223a c b a b c abc abc c
+-+-+=，
整理得222a abc =，
∴b =
（2）由题意得cos 2sin 26B B B π⎛
⎫+=+
= ⎪⎝⎭， ∴sin(+=16B π
），
∵()0,B π∈， ∴62B ππ+
=， ∴3B π
=.
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
∴2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，
3ac ∴≤，当且仅当a c ==
∴11sin 322S ac B =≤⨯=
∴ABC ∆． 点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形222()2a c a c ac +=+-，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．
（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．。