湘教版初三数学上册同步练习：一元二次方程

湘教版初三数学上册同步练习：2
知识点 1 一元二次方程的概念及一样形式
1．将一元二次方程x2－3＝－3x 化为一样形式为__________，其中，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
2．下列选项中一定是关于x 的一元二次方程的是( )
A ．x2＋1x ＝0
B ．ax2＋bx ＋c ＝0
C ．x2＝1
D ．(x ＋1)(x －1)－x2＋1＝0
3．已知一元二次方程x2－4＝0，则下列关于它的说法正确的是( )
A ．不是一样形式
B ．一次项系数是0
C ．常数项是4
D ．没有二次项系数
4．当a 满足条件：________时，关于x 的方程(2a －1)x2＋3x －1＝0是一元二次方程．
5．写出一个关于x 的一元二次方程，使它的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，2，－1，该方程是______________．
6．把下列方程化成关于x 的一元二次方程的一样形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)3x(x －8)＝1；
(2)(x ＋m)(2x －5m)－12m2＝0(m 为常数)．
知识点 2 依据实际问题建立一元二次方程模型
7．2021·黔南州“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，在论坛召开之际，福田欧辉连续向缅甸仰光公交公司交付1000辆清洁能源公交车，以2021客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带一路”倡议下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．估量到2021年，福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3000辆．设平均每年的出口增长率为x ，则可列方程为( )
A ．1000(1＋x%)2＝3000
B．1000(1－x%)2＝3000
C．1000(1＋x)2＝3000
D．1000(1－x)2＝3000
8．绿苑小区在规划设计时，预备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，同时长比宽多10米．设绿地的宽为x米，依照题意，可列方程为()
A．x(x－10)＝900
B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900
D．2[x＋(x＋10)]＝900
9．用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，设矩形的一边长为x cm，则可列方程为______________．
10．依照下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一样形式．
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
(3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差2，求较长的直角边长x.
11．假如方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为()
A．±3 B．3
C．－3 D．以上都不对
图2－1－1
12．教材习题2.1第6题变式王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽7 0 cm的矩形铁皮，预备制作一个工具箱．如图2－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，依照题意列方程为() A．(80－x)(70－x)＝3000
B．80×70－4x2＝3000
C ．(80－2x)(70－2x)＝3000
D ．80×70－4x2－(70＋80)x ＝3000
13．已知有如下一元二次方程：
第一个方程：3x2＋2x －1＝0；
第二个方程：5x2＋4x －1＝0；
第三个方程：7x2＋6x －1＝0；
按照以上方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为____________．
14．已知关于x 的方程(k2－1)x2＋(k ＋1)x －2＝0.
(1)当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出那个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
15．如图2－1－2，在宽为20 m ，长为30 m 的矩形场地上，修建同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，且使耕地的面积为500 m2.若设路宽为x m ，依照题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一样形式．
图2－1－2
16．教材或资料中会显现如此的题目：把方程12x2－x ＝2化为一元二次
方程的一样形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
(1)下列式子中，有哪几个是方程12x2－x ＝2所化的一元二次方程的一
样形式？________(答案只写序号)．
①12x2－x －2＝0；②－12x2＋x ＋2＝0；
③x2－2x ＝4；④－x2＋2x ＋4＝0； ⑤3x2－2 3x2－4 3＝0.
(2)方程12x2－x ＝2化为一元二次方程的一样形式后，它的二次项系数、
一次项系数、常数项之间的比固定吗？假如固定，那个比是多少？
17．如图2－1－3所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以32厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C
以2厘米/秒的速度移动．点P ，Q 分别从A ，B 两点同时动身，通过几秒△PBQ 的面积等于6平方厘米？(只列出方程即可)
图2－1－3
1．x2＋3x －3＝0 1 3 －3
2．C [解析] 选项A 是分式方程，选项B 中未强调a ≠0，选项D 化简整理后不含x 的二次项，故它们都不是一元二次方程．选项C 符合一元二次方程的定义，故选C.
3． B
4．a ≠12 5.x2＋2x －1＝0
6．解：(1)一样形式：3x2－24x －1＝0.
二次项系数为3，一次项系数为－24，常数项为－1.
(2)一样形式：2x2－3mx －17m2＝0.
二次项系数为2，一次项系数为－3m ，常数项为－17m2.
7．C [解析] 依照题意得出2021年福田公司向海外出口清洁能源公交车1000(1＋x)辆，2021年为1000(1＋x)2辆，则1000(1＋x)2＝3000.故选C.
8． B
9．x(20－x)＝64 [解析] ∵设矩形的一条边长为x cm ，由矩形的周长为40 cm ，可得矩形的另一条边长为(20－x)cm ，依照矩形的面积是相邻两边长的积，可列出方程为x(20－x)＝64.
10．解：(1)依题意得4x2＝25，化为一元二次方程的一样形式，得4x 2－25＝0.
(2)依题意得x(x －2)＝100，化为一元二次方程的一样形式，得x2－2x －100＝0.
(3)依题意得x2＋(x －2)2＝102，化为一元二次方程的一样形式，得2x 2－4x －96＝0.
11．C [解析] 依题意，有m2－7＝2且m －3≠0，解得m ＝－3.
12．C [解析] 依照题意可知裁剪后的底面的长为(80－2x)cm ，宽为(70－2x)cm ，从而有(80－2x)(70－2x)＝3000.
13．17x2＋16x －1＝0 [解析] 二次项系数是从3开始的连续奇数，一次项系数是从2开始的连续偶数，常数项差不多上－1，因此第8个方程为17x2＋16x －1＝0.
14．解：(1)若原方程为关于x 的一元一次方程，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧k2－1＝0，k ＋1≠0，解得k ＝1.
因此当k ＝1时，此方程为关于x 的一元一次方程，方程为2x －2＝0，解得x ＝1.
(2)若原方程为关于x 的一元二次方程，则应满足k2－1≠0，即k ≠±1.因此当k ≠±1时，此方程为关于x 的一元二次方程，它的二次项系数为k 2－1，一次项系数为k ＋1，常数项为－2.
15．解：通过平移，可将各部分耕地拼凑成一个矩形区域，则该矩形区域的长应为(30－x)m ，宽应为(20－x)m ，
依照矩形面积公式可得(30－x)(20－x)＝500，
整理得x2－50x ＋100＝0.
16．解：(1)①②④⑤
(2)固定．二次项系数、一次项系数、常数项之间的比为－1∶2∶4.
17．解：设通过x 秒△PBQ 的面积等于6平方厘米，则PB ＝(6－32x)厘米，BQ ＝2x 厘米，因此S △PBQ ＝12BP ·BQ ，因此可列方程为12(6－32x)·2
x ＝6.。