线性代数A考点及复习题

线性代数A考试重要考点
1熟练使用矩阵的初等行变换方法求可逆阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解矩阵方程。

2会用基础解系、特解方法解非齐次线性方程组。

3 给一个向量组，求向量组的秩、最大无关组、用所求出的最大无关组表示其余向量。

4用正交变换把二次型化为标准型。

5矩阵、向量运算以及可运算的条件。

6用施密特正交化方法把向量组化为标准正交向量组。

7 判断正定性（包括定义和充要条件），并能求二次型的正、负惯性指数。

8熟悉行列式的性质。

主要掌握3、4阶行列式的计算方法。

9 齐次线性方程组系数矩阵的秩与基础解系所含向量个数的关系。

10 特征值、特征向量的定义、性质
11 方阵行列式与特征值之间的关系
12 根据行或列向量组的线性相关性判断矩阵是否可逆。

f A的特征值。

13 已知方阵A的特征值，会求矩阵多项式()
14 向量组线性相关性、无关性的判断。

15伴随矩阵的性质，会求伴随矩阵的行列式、矩阵乘积的行列式。

16非齐次线性方程组的解与相应齐次线性方程组解之间的关系。

17 矩阵可逆的充要条件（涉及行列式、矩阵的秩、行最简形、初等阵等）。

18 向量部分组的线性相关性与整体向量组的线性相关性之间的关系。

19 正交阵的定义、性质、充要条件。

20 判断含参数的非齐次线性方程组（含1或2个参数，但比较简单）何时有唯一解、无解、有无穷多解。

21判断含参数的齐次线性方程组（含1或2个参数，但比较简单）何时只有零解、有无穷多解。

22 求线性空间中向量在一个基下的坐标。

23 求两个基之间的过渡矩阵。

24 已知一个向量在一个基下的坐标，求该向量在另一个基下的坐标。

25 已知线性空间上的一个线性变换在一个基下的像，求该线性变换在该基下的矩阵。

26 已知线性空间上的一个线性变换在一个基下的矩阵，并且知道该基到一个新基的过渡矩阵，求该线性变换在新基下的矩阵。

27已知线性空间上的一个线性变换在一个基下的矩阵，并且知道一个向量在该基下的坐标，求该向量在该线性变换下的像、像的坐标。

线性代数A 的一部分复习题
1. 二次型经过可逆线性变换不改变正定性。

2. 若E A 23+不可逆，则A 有特征值_____________ ；
3. A 为3阶方阵,且4-=A ,则1
*42--A A =_____________.
4. 二次型32212
32221288102x tx x x x x x f -+++=为正定的充要条件是t 满足条件
_____________.
5. A 为3阶方阵,且7A =,则*
3A -=_____________.
13A --=_____________.*13A A --=_____________.3T A -=_____________.
6. A 为76⨯矩阵，齐次方程组0Ax =的任意一个解均可由解向量21,x x 线性表示，且
21,x x 线性无关，则()A R =_____________.
7. 设()T
1,1,11=α,()T
2,1,02-=α,()T
2,3,13=α，利用施密特正交化方法将其转化为标准正
交向量组.
8. 12100312a a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，
B 是3×5矩阵，O B ≠，且O AB =,求a 。

9. 若方阵A 满足,237A A E O +-=，则1)(--E A =_____________.
10. 21,ββ为非齐次方程组b Ax =的两个不同的解，则齐次方程组0Ax =的一个非零解为
=_____________.
11. 已知3阶方阵A 的三个特征值为5,4,2-,则A =_____________.
12. A =110112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =110210-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,求23T
-AB E .
13. 已知向量组()T
0,1,11=α,()T
1,2,02=α,()T
4,0,33=α,满足1232532αααα+=-,求
α.
14. 设12,αα线性相关,则4321,,,αααα线性___________.(填写:无关或相关)
15. A 为34⨯矩阵，()3R =A ，21,ββ为非齐次方程组b Ax =的两个不同的解，则b
Ax =任意一个解均可表示为=_____________.
16. A 为2阶方阵，已知23-A E ，5+A E 都不可逆，则A 的2个特征值为_____________.
17. A =100123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =100111⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭,求T T AB BA -.
18. A =110321003-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭，
计算*AA 和*det A 的值.
19. 若E A A T =，且0A ≥，则=A _____________.
20. 对于向量组54321,,,,ααααα，其中21,αα均可由543,,ααα线性表示,则向量组
54321,,,,ααααα的秩最大为___________.
21. A 为2阶方阵，已知3-A E ，23+A E 都不可逆，则2+A E =___________.
22. A =110321003-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
,求2T
-A A .
23. 322
32
22
13211032),,(x x x x x x x x f +-+=的正惯性指数、负惯性指数是多少。

24. 用正交变换Py x =把二次型322
32
22
13216427),,(x x x x x x x x f +-+=化为标准形
25. A =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-400031621,求*
AA .
26. 设
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=501730112A ,B =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛530231，求解矩阵方程X B AX 33=-． 27. 对于向量组54321,,,,ααααα，若321,,ααα均可由543,,ααα线性表示,则向量组
54321,,,,ααααα的秩最大为___________；
若21,αα均可由543,,ααα线性表示,则向量组54321,,,,ααααα的秩最大为___________．
28. 二次型32212
32221
223x tx x x tx x x f ++++=为正定的充要条件是t 满足=_____________.
29. 计算
3
1
2
033021210243
---
30. 求以下向量组的秩和一个最大无关组，且求其余向量由其表示的表达式
()T 2,0,1,11=α，()T 3,2,0,12=α，()T
1,0,4,23=α，()T 4,2,3,04-=α．
31. 已知非齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=+---=++2
4 3 172413 2 432
14321421x x x x x x x x x x x （1）求对应齐次线性方程组的基础解系；
（2）求该非齐次线性方程组的一个特解； （3）用向量形式表示线性方程组的通解. 32. A 为3阶方阵,且3=A ,则1
*
3--A A =_____________.
33. 对于线性方程组
1231231232282204
x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
-++=⎨⎪++=⎩
（1） λ为何值时,有唯一解；
（2） λ为何值时,无解； （3） λ为何值时,有无穷多解. 34. 对于线性方程组
123123123
228220x x x x x x x x x λλμ++=⎧⎪
-++=⎨⎪++=⎩ （1）,λμ为何值时,有唯一解；（2）,λμ为何值时,无解；（3）,λμ为何值时,有无穷多解.
35. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03030005a A 与⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=b B 00020005相似，
（１） 求b a ,；（2/9,2/5-=-=b a ）
（２） 求正交矩阵P ，使B AP P =-1。

（⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-=13/213/3013/313
/200
01
P ）。