九年级数学下册 第二十九章 直线与圆的位置关系 29.4 切线长定理教学课件

12/11/2021
讲授新课
一 切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
A
P O
O.
P
B
B
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知识要点
1.切线长的定义：
切线上一点到切点之间
A
的线段的长叫作这点到圆的
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二 三角形的内切圆及作法
互动探究
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的 三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才 能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
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问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎 样的位置关系？
最大的圆与三角 形三边都相切
O
O
O O
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∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP △AOB
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2.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
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解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∵ △ABC是等边三角形,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
A
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
D
∴AD=BD= 1 AB=1.5(cm)
A
1.到三边的距离相 等；
2.OA、OB、OC分
别平分∠BAC、
O
∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内
C 部．
练一练
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外
A
接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
O
∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
B
C
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形. D
于角一平点分，线这的一交点与. 三角 形的三边距离相等.
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做一做
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
A
N
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN， 交点为O. M 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
O
B
D
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3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
A
OP于点M.你又能得出什么新的结论? O. M
并给出证明.
P
OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
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想一想：若延长PO交⊙O于点C，
A
连结CA、CB，你又能得出什么新 C
O.
的结论?并给出证明.
P
CA=CB
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
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典例精析
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.
B
Ø ∠APO和∠BPO有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
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知识要点 A
切线长定理:
过圆外一点所画的
O
P
圆的两条切线的切线长
相等.
几何语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
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切线长定理
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学习目标 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计 算与证明.（重点） 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思 想.（难点）
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导入新课
情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一 瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
推理验证
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. A
证明：∵PA切☉O于点A， O.
P
∴ OA⊥PA.
B
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
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想一想：若连结两切点A、B，AB交
两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=
90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
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又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=CB.
∴S△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=
PA+PB=14.
C
知识要点 1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
A I
B
☉I是△ABC的内切圆，
点I是△ABC的内心，△ABC 是☉I的外切三角形.
C
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三 三角形的内心的性质
互动探究
问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA，
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转 化集中到某条边上，从而建立方程.
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比一比
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边
中垂线的交
点
B
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部．
内心：三 角形内切 圆的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
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A
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O
P
B
3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上 任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已
知PA=7，∠P=40°.则
⑴ △PDE的周长是 14
； P
⑵ ∠DOE= 70°.
DA
C
O
E B
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的
问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆 心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 三角形角平分线的这个 性质，你还记得吗？
三圆角心形I应三是条三角角平形分的线三交条 为什么呢？
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
A
E
F
I
IA，IB，IC是△ABC的角
平分线，IE=IF=IG.
B
G
C
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例3 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是 △ABC的内心，求∠ BIC的度数.
解：连接IB，IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线，
AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= A
20 °,PB= 4 . A
P O
O
B 第1题
B
C
第2题
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °,
∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
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3.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=1_2_0_°__. （2）若∠A=80 °，则∠BIC =130 度.
切线长．
O P
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分
别是圆外一点和切点，可以度量．
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问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设
圆上与点A重合的点为B．
Ø OB是☉O的一条半径吗？
A
Ø PB是☉O的切线吗？
O.
P
Ø PA、PB有何关系？
DA
P
∵D，E是切线PA，PB上的点，
∴∠DOC=∠DOA= 1 ∠AOC. 2 1
∴∠COE=∠BOE= 2 ∠AOC.
C
O
E B
∠DOE=∠DOC+∠COE= 1 (∠AOC+∠COB)=70°. 2
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方法归纳
切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
所以 r a b c . 2
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A
c
F DrO
C
E
B
当堂练习
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果
∴ O D B D tan303cm . 内切圆半径
BD BD 2 3cm. cos30
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外接圆半径
变式：
求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R
的比.
A
O R
r
B
C
D
r O D sin∠OBD sin30° 1 .
R OB
2
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2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
OP=5 3cm. 即铁环的半径为5 3 c m .
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练一练 A
1.PA、PB是☉O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交☉O于点D、
E，交AB于C.
E
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系；
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角；
rO
2
3
∴OD=AD·tan30o= 2 (cm)
B
C
答:圆柱底面圆的半径为 3 cm.
2
12/11/2021
例5 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求
AF、BD、CE的长.
A
想一想：图中你能找出哪些相等
F
的线段？理由是什么？
解析：欲求半径OP，取圆的圆
心为O，连OA，OP，由切线性
质知△OPA为直角三角形，从
O
而在Rt△OPA中由勾股定理易求
得半径．
பைடு நூலகம்
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解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，
连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的 平分线，即∠PAO＝∠QAO.
O
Q
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝ 180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
OB ,OC有什么特点？
线段OA，OB ,OC
A
分别是∠A，∠B，
∠C的平分线.
I
B
C
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问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂 足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什
么关系？
A
E
F
I
IE=IF=IG
B
G
C
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知识要点
u三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上.
在△IBC中，
B
B IC 1 8 0 ( IB C IC B )
180 1(BC) 2
180 1(43 61) 128 . 2
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A I
C
例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等 边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上 底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边 三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
E O
B
C
D
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解:设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得
A
F E
O
(13-x)+(9-x)=14，
C
D
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
A E
OO
C
S1 2A BO F1 2A CO E 1 2B CO DF
1(ABACBC)r1Lr.
2
2
12/11/2021
D B
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边 为c，则其内切圆的半径r为__r__a___b__c__（以含a、
2
b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，
D
求证：AB+CD=AD+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别 H
相切与点E、F、G、H，
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. A
G C
O· F
EB
∴AB+CD=AD+BC.
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例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下 办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的 三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据， 进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得 PA=5cm，求铁环的半径．