招生国统一考试高考数学临考冲刺卷二理试题

2021届高三好教育云平台5月份内部特供卷
高三理科数学〔二〕
考前须知：
1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一卷
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里
面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1．集合{}
2
=230A x x x --≤，(){}
=ln 2B x y x =-，那么A
B =〔 〕
A ．()1,3
B ．(]1,3
C ．[)1,2-
D ．()1,2-
【答案】C
2．以下命题中，正确的选项是〔 〕 A ．0x ∃∈R ，003sin cos 2
x x +=
B ．复数1z ，2z ，3z ∈
C ，假设()()2
2
12230z z z z -+-=，那么13z z = C ．“0a >，0b >〞是“
2b a
a b
+≥〞的充要条件 D ．命题“x ∃∈R ，2
20x x --≥〞的否认是：“x ∀∈R ，2
20x x --<〞
此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号
【答案】D
3．我国古代有着辉煌的数学研究成果．?周髀算经?、?九章算术?、?海岛算经?、?孙子算经?、……?缉古算经?等10部专著，有着非常丰富多彩的内容，是理解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化〞校本课程学习内容，那么所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为〔 〕 A ．
14
15
B ．
115
C ．
29
D ．
79
【答案】A
4．假设()1
e ,1x -∈，ln a x =，ln 12x
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，ln e x
c =，那么〔 〕
A ．b c a >>
B ．c b a >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
【答案】A
5．设π
sin d a x x =⎰，那么6
⎛
⎝
的展开式中常数项是〔 〕 A ．160 B ．160- C ．20- D ．20
【答案】B
6．执行如下图的程序框图，假设0.8p =，那么输出的n =〔 〕 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
7．某几何体的三视图如下图，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，那么〔 〕
A ．3A ∈
B ．5A ∈
C ．26A
D ．43A
【答案】D
8．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设2cos cos a c C
b B
-=
，4b =，那么ABC △面积的最大值为〔 〕 A ．43B ．23C ．33D 3
【答案】A
9．数列{}n a 中，0n a >，11a =，21
1
n n a a +=
+，10096a a =，那么20183a a +=〔 〕 A ．
52
B 15
2+ C 52
D 15
2
-+
【答案】C
10．()2
cos sin f x x x =，以下结论中错误的选项是〔 〕
A ．()f x 既是偶函数又是周期函数
B ．()f x 的最大值是1
C ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 的图像关于直线πx =对称
【答案】B
11．P 为椭圆22143
x y +=上一个动点，过点P 作圆()2
211x y ++=的两条切线，切点分别
是A ，B ，那么PA PB ⋅的取值范围为〔 〕 A ．3
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．356,
29⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C
．563,
9⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦
D
．)
3,⎡-+∞⎣
【答案】C
12．函数()ln ,0e
2ln ,e
x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨
->⎪⎩，假设正实数a ，b ，
c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，那么a b c ++的取值范围是〔 〕 A ．(
)2
e,2e e +
B ．212e,2e e ⎛⎫++
⎪⎝⎭ C ．21e,2e e ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
D ．21e,2e e e ⎛⎫
++
⎪⎝⎭
【答案】B
第二卷
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．
13．设x ，y 满足约束条件,0
13x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
，那么2z x y =-的最小值为________．
【答案】3-
14．向量a 与b 的夹角为30︒，且1=a ，21-=a b ，那么=b _________．
15．A ，B ，C ，D
的球面上，且5AC BD ==
，AD BC ==，AB CD =，那么三棱锥D ABC -的体积是________．
【答案】20
16．双曲线()22
22:10x y C b a a b
-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，假设存在直线l 过点
F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使0OA OB ⋅=，那么双曲线离心率的取值范围是
_______．
【答案】12⎣ 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17．〔12分〕等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，假设2822a a +=，且4a ，7a ，
12a 成等比数列．
〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设12
111
n n
T S S S =
+++
，证明：34n T <．
【答案】〔1〕()21*n a n n =+∈N ；〔2〕见解析． 【解析】〔1〕因为{}n a 为等差数列，且2822a a +=，
()5281
112
a a a ∴=
+=，由4a ，7a ，12a 成等比数列，得27412a a a =⋅， 即()()()2
11211117d d d +=-⋅+，0d ≠，2d ∴=，111423a ∴=-⨯=，
故()21*n a n n =+∈N ． 〔2〕证明：
()()122
n n n a a S n n +=
=+，()11111222n S n n n n ⎛⎫
∴==- ⎪++⎝⎭，
12
11111111111111232435112n n T S S S n n n n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=
+++
=-+-+-++
-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
111131113
1221242124
n n n n ⎡⎤⎛⎫=
+--=-+< ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭， 故3
4
n T <
． 18．〔12分〕随着经济形式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经历，得到一个销售季度内场需求量的频率分布直方图如下图．电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x 〔单位：吨，100150x ≤≤〕表示下一个销售季度的场需求量，T 〔单位：万元〕表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
〔1〕视x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求()120P x ≥； 〔2〕将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；
〔3〕在频率分布直方图的场需求量分组中，以各组的区间中点值〔组中值〕代表该组的各个值，并以场需求量落入该区间的频率作为场需求量取该组中值的概率〔例如
[)100,110x ∈，那么取105x =的概率等于场需求量落入[)100,110的频率〕，求T 的分布
列及数学期望()E T ． 【答案】〔1〕0.7；〔2〕0.839,100130
65,130150
x x T x -≤<⎧=⎨
≤≤⎩；〔3〕见解析．
【解析】〔1〕根据频率分布直方图及两两互斥事件的概率的可加性得：
()()()()120120130130140140150P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤≤
0.030100.025100.015100.7=⨯+⨯+⨯=．
〔2〕当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-， 当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=， 所以0.839,100130
65,130150x x T x -≤<⎧=⎨
≤≤⎩
．
〔3〕由题意及〔2〕可得：
当[)100,110x ∈时，0.81053945T =⨯-=，()450.010100.1P T ==⨯=； 当[)110,120x ∈时，0.81153953T =⨯-=，()530.020100.2P T ==⨯=； 当[)120,130x ∈时，0.81253961T =⨯-=，()610.030100.3P T ==⨯=； 当[]130,150x ∈时，65T =，()()650.0250.015100.4P T ==+⨯=； 所以T 的分布列为：
T 45 53 61 65 P
所以，()450.1530.2610.3650.459.4E T =⨯+⨯+⨯+⨯=万元．
19．〔12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AB DC ∥，
22AD DC AP AB ====，点E 为棱PC 的中点，
〔1〕证明：BE DC ⊥；
〔2〕假设点F 为棱PC 上一点，且BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕
310
10
． 【解析】〔1〕证明：
PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥．
∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
由题意得：()1,0,0B ，()0,0,2P ，()2,2,0C ，()1,1,1E ，()0,2,0D ，
()0,1,1BE ∴=，()2,0,0DC =，0BE DC ∴⋅=，即BE DC ⊥．
〔2〕()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =，由点F 在棱PC 上，
设()2,2,2CF CP λλλλ==--，()01λ≤≤，
()12,22,2BF BC CF λλλ∴=+=--，
BF AC ⊥，()()2122220BF AC λλ∴⋅=-+-=，解得：3
4
λ=
，113,,222BF ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
．
设平面FAB 的法向量为()1,,x y z =n ，那么
110113
0222
AB x BF x y z ⎧⋅==⎪
⎨⋅=-++=⎪⎩n n ，不妨令1z =，可得()10,3,1=-n 为平面FAB 的一个法向量，
取平面ABP 的一个法向量()20,1,0=n ，那么1212123310
cos ,1010
⋅<>=
==⋅n n n n n n
易知，二面角F AB P --是锐角，所以其余弦值为
310
10
． 20．〔12分〕如图，分别过椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>左、右焦点1F ，2F 的动直线1l ，
2l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A ，B 与C ，D 不同四点，直线OA ，OB ，OC ，OD
的斜率1k ，2k ，3k ，4k 满足1234k k k k +=+．当1l 与x 轴重合时，23AB =，43
3
CD =， 〔1〕求椭圆E 的方程；
〔2〕是否存在定点M ，N ，使得PM PN +为定值？假设存在，求出M ，N 点坐标并求出此定值；假设不存在，说明理由．
【答案】〔1〕22
132
x y +=；
〔2〕2． 【解析】〔1〕当1l 与x 轴重合时，12340k k k k +=+=，即34k k =-，
2l ∴垂直于x 轴，得223AB a ==，2243
3
b CD a ==
， 得3a =2b =，∴椭圆E 的方程为：22
132
x y +=．
〔2〕焦点1F ，2F 坐标分别为()1,0-，()1,0，
当直线1l 斜率存在，2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0， 当直线1l 斜率不存在，2l 斜率存在时，P 点坐标为()1,0-，
当直线1l 、2l 斜率均存在时，设斜率分别为1m ，2m ，设()11,A x y ，()22,B x y ，
()22
11321x y y m x ⎧+
=⎪⎨
⎪=+⎩
，得()2222111236360m x m x m +++-=， 那么211221623m x x m +=-+，21122
1
3623m x x m -⋅=+， 121212112112121212111422y y x x x x m k k m m x x x x x x m ⎛⎫⎛⎫++++=
+=+=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭， 同理可得2
342
242
m k k m +=-
-． 1234k k k k +=+，()()12
12212212442022
m m m m m m m m ∴-
=-⇒⋅+-=--，
由题意知210m m -≠，1220m m ∴⋅+=．
设(),P x y ，那么+2=01+1
y y
x x ⋅-，即()22112y x x +=≠±，
当直线1l 斜率存在，2l 斜率不存在时，当直线1l 斜率不存在，2l 斜率存在时，也满足此方程，
所以点P 在椭圆()2
2112
y x x +=≠±上，存在点()0,1M -和()0,1N ，
使得PM PN +
为定值，定值为 21．〔12分〕()ln f x x =，()()2
102
g x ax bx a =
+≠，()()()h x f x g x =-， 〔1〕假设3a =，2b =，求()h x 的极值；
〔2〕假设函数()y h x =的两个零点为1x ，()212x x x ≠，记12
02
x x x +=，证明：()00h x '<．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析． 【解析】〔1〕
()23
ln 22
h x x x x =--，()0,x ∈+∞，
()()()2311132132x x x x h x x x x x
--+--+'∴=--==，()0,x ∈+∞， 令()()()3110x x h x x --+'∴=
=得：1
3
x =，
当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减， ()15=ln 336h x h ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭
极大值，()h x 极小值不存在． 〔2〕函数()y h x =的两个零点为1x ，()212x x x ≠，不妨设120x x <<，
()21111ln 02a h x x x bx ∴=-
-=，()222222ln 02
h x x x bx =--=， ()()2212111222ln ln 22
a a h x h x x x bx x x bx ∴-=---++ ()()22121212ln ln 02
a x x x x
b x x =-----=， 即()()22121212ln ln 2
a x x x x
b x x -=-+-， 又()()()()1h x f x g x ax b x '''=-=-+，1202x x x +=， ()1201222x x h x a b x x +⎛⎫'∴=-+ ⎪+⎝⎭
， ()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+'∴-=--- ⎪+⎝⎭
()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦
()()112211211222
212ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--=-++． 令()1201x t t x =<<，那么()()()21ln 011
t r t t t t -=-<<+， ()()()()222141011t r t t t t t --'∴=
-=<++， ()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=，
121122
21ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '∴->， 又120x x -<，()00h x '∴<．
请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．
22．〔10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα
=⎧⎨=+⎩〔t 为参数，0πα≤<〕．以
坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．
〔1〕求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
〔2〕设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，假设8AB =，求α的值．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕π4α=或者3π4
． 【解析】〔1〕直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，那么22cos 4sin ρθρθ=， 24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．
〔2〕将cos 1sin x t y t αα
=⎧⎨=+⎩〔t 为参数，0πα≤<〕代入曲线2:4C x y =． 22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，1224sin cos t t αα∴+=，1224cos t t α
-⋅=，
128AB t t =-===，
cos α∴=0πα≤<，π4α∴=或者3π4． 23．〔10分〕选修4-5：不等式选讲
0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1．
〔1〕证明：22a b +=
〔2〕假设2a b tab +≥恒成立，务实数t 的最大值．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕92
． 【解析】〔1〕证明：2b a -<，()3,,23,2
x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩， 显然()f x 在,2b ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，即22a b +=． 〔2〕因为2a b tab +≥恒成立，所以
2a b t ab +≥恒成立， ()212112122925+222
a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫=+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==
时，2a b ab +获得最小值92
， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92． 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。