黑龙江省绥棱一中2011-2012学年高二期3月月考数学(理)试题

绥棱一中2011-2012学年下学期3月考
高二数学（理）试题
（时间：90分钟，总分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.抛物线的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
2.双曲线的离心率为是（）
A. B. C. D.
3.已知点M（0，1，-2），平面过原点，且垂直于向量，则点M到平面的的距离为
（）
A． B． C． D．
4.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则满足的条件是（）
A． B．
C． D．，且
5.下面说法正确的有（）
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形有关
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.给出下面四个类比结论（）
①实数若则或；类比向量若，则或
②实数有类比向量有
③向量，有；类比复数，有
④实数有，则；类比复数，有，则
其中类比结论正确的命题个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7.函数在处的导数等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
8.若椭圆的左、右焦点分别为F
1、F
2
，线段F
1
F
2
被抛物线
的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（） A.
B. C. D.
9.若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是（）
A. B. C. D. －
10.函数的图像如图，则函数的单调递增区间是
（）
A． B．
C． D．
11.若在上是减函数，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
12.过椭圆的一个焦点作垂直于长轴的弦，是另一焦点，若∠，则椭圆的离心率等于
（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.椭圆上一点P 到它的一个焦点的距离等于3，那么点P 到另一个焦点的距离等于 .
14.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交
形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 。

15.若直线y=k （x+2）+1与抛物线只有一个公共点，则k 的值是 。

16.已知都是定义在上的函数，，若，且且)及，则的值为 。

三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本题满分8分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
18.（本题满分10分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2是椭圆的两焦
点，若PF 1⊥PF 2，试求：
(1)椭圆方程；
(2)△PF 1F 2的面积．
19.（本题满分11分)如图所示，已知直四棱柱中，，，且满足 ．
（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值．
20.（本题满分11分)已知函数.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：
二、填空题：
13. 7 14. 15. 0, ,-1. 16. 三、解答题：
17.解析
如图所示，依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ，则直线方程为y ＝－x ＋1
2
p .设直线交抛物
线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为C 、D .
则由抛物线定义得
|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD | ＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2
，………………4分
即x 2＋p 2＋x 2＋p
2
＝8.①
又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，
由⎩⎨
⎧
y ＝－x ＋12p
y 2
＝2px
消去y ，得x 2
－3px ＋p 2
4
＝0，
Δ＝9p 2
－4×p 2
4
＝8p 2＞0.
所以x 1＋x 2＝3p .
将其代入①得p ＝2，
所以所求抛物线方程为y 2＝4x .
当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时， 同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .
故所求抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .………………8分 18.解：(1)法一：令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
∵PF 1⊥PF 2，∴kPF 1·kPF 2＝－1，………………3分
即43＋c ·43－c
＝－1，解得c ＝5， ∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2
a 2－25
＝1.
∵点P (3,4)在椭圆上，
∴9
a2
＋
16
a2－25
＝1，
解得a2＝45或a2＝5，又a>c，∴a2＝5舍去，
故所求椭圆方程为x2
45
＋
y2
20
＝1.………………5分
法二：∵PF1⊥PF2，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴|OP|＝1
2
|F1F2|＝c.
又|OP|＝32＋42＝5，∴c＝5，
∴椭圆方程为x2
a2
＋
y2
a2－25
＝1(以下同法一)．………………5分
(2)法一：P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，
∴S△PF1F2＝1
2
|F1F2|×4＝
1
2
×10×4＝20.………………10分
法二：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝65①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2②
①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
∴S△PF1F2＝1
2
|PF1|·|PF2|＝20.………………10分
19.解：（I）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，则
…………… 2分
又因为
所以，平面…………… 6分
（Ⅱ）设为平面的一个法向量。

得
取，则……………… 8分
又，
设为平面的一个法向量，由，，
得
取取…………………8分
设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，
，即为所求………………… 11分
20解：的定义域为，…………1分
的导数. ………………3分
令，解得；令，解得.
从而在单调递减，在单调递增. ………………4分
所以，当时，取得最小值. ………………………… 5分
（Ⅱ）解法一：令，则，……………………7分
①若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即.…………………… 8分
②若，方程的根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数.
所以时，，
即，与题设相矛盾.
综上，满足条件的的取值范围是. ……………………………………10分解法二：依题意，得在上恒成立，
即不等式对于恒成立 . ……………………7分
令，则. ……………………9分
当时，因为，
故是上的增函数，所以的最小值是，
所以的取值范围是. …………………………………………11分。