2017-2018学年高中数学人教B版 选修1-2教师用书：第2

2.1.2 演绎推理
1.理解演绎推理的意义.(重点)
2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.(难点)
3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.(易混点)
[基础·初探]
教材整理演绎推理
阅读教材P32～P33例1以上内容，完成下列问题.
1.演绎推理
(1)含义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理.
(2)特点：当前提为真时，结论必然为真.
2.三段论
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)演绎推理一般模式是“三段论”形式.()
(2)演绎推理的结论是一定正确的.()
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()
【解析】(1)正确.演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论.
(2)错误.在演绎推理中，只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的.
(3)错误.演绎推理是由一般到特殊的推理.
【答案】(1)√(2)×(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数.
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.
(3)菱形的对角线互相平分.
(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列.
【精彩点拨】三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果.
【自主解答】(1)一切奇数都不能被2整除.(大前提)
75不能被2整除.(小前提)
75是奇数.(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形.(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)平行四边形的对角线互相平分.(大前提)
菱形是平行四边形.(小前提)
菱形的对角线互相平分.(结论)
(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列.(大前提)
通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，
a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数).(小前提)
通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列.(结论)
1.三段论推理的根据，从集合的观点来讲，若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
2.演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其结论一定是正确的.
[再练一题]
1.(1)三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是()
A.①
B.②
C.①②
D.③
(2)将推断“若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等”改写三段论的形式.
【解析】(1) 大前提为①，小前提为③，结论为②.
【答案】 D
(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提
∠1和∠2是对顶角，小前提
∠1和∠2相等. 结论
段论”.
【精彩点拨】 可利用函数单调性定义证明.
【自主解答】 在R 上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0.
因为f (x )＝x 3＋x ，
所以f (x 2)－f (x 1)＝(x 32＋x 2)－(x 31＋x 1)
＝(x 32－x 31)＋(x 2－x 1)
＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21＋1)
＝(x 2－x 1)·⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122
＋34x 21＋1， 因为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，
即f (x 2)>f (x 1)，
所以f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数.
在证明过程中所用到的“三段论”：大前提是“增函数的定义”，小前提是“题中的f (x )经过正确的推理满足增函数的定义”，结论是“f (x )是增函数”.
1.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.
2.数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提
.
[再练一题]
2.如图2-1-10所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 边上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥BA ，求证：DE ＝AF .写出“三段论”形式的演绎推理
.
图2-1-10
【证明】 ①同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提)
所以DF ∥AE .(结论)
②两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)
所以四边形AFDE 为平行四边形.(结论)
③平行四边形的对边相等，(大前提)
DE 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)
所以DE ＝AF .(结论)
[探究共研型]
比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义.
【提示】 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.
探究2 若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式.
【提示】 由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等
于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.
其前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n 2，n 为偶数，
5（n －1）2＋2＝5n －12，n 为奇数.
探究3 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为A ，B ，C 三个城市中的哪一个？
【提示】 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说
“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
如图2-1-11所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.
图2-1-11
(1)求证：O为△BCD的垂心；
(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.
【精彩点拨】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的重心.
(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明.
【自主解答】(1)证明：∵AB⊥AD，AC⊥AD，
∴AD⊥平面ABC，
∴AD⊥BC，
又∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥BC，
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心.
(2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S2△BCD.
证明如下：
连接DO并延长交BC于E，
连接AE，BO，CO，
由(1)知AD⊥平面ABC，
AE⊂平面ABC，
∴AD⊥AE，又AO⊥ED，
∴AE 2＝EO ·ED ，
⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EO ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .
同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ，S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .
∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S △ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝
S 2△BCD
.
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常
常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下
).
[再练一题]
3.已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝n a 1a 2…a n (n ∈N
＋)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并
证明你的结论.
【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：
若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n
也是等差数列. 证明如下：
设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n
＝na 1＋n （n －1）d 2n ＝a 1
＋d 2
(n －1)， 所以数列{b n }是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列.
[构建·体系]
1.演绎推理中的“一般性原理”包括()
①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
【解析】演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”“定义、定理、公理等”.
【答案】 A
2.下面几种推理过程是演绎推理的是()
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人
C.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D.在数列{a n}中，a1＝1，a n＝1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a n－1＋
1
a n－1(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜
想出a n的通项公式
【解析】A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理.
【答案】 A
3.用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理()
【导学号：37820013】
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.是正确的
【解析】这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”.显然结论错误，原因是大前提错误.
【答案】 A
4.函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：_________________________________________________；
小前提：_________________________________________________；
结论：_________________________________________________；
【答案】一次函数的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
5.用三段论的形式写出下列演绎推理.
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)y＝cos x(x∈R)是周期函数.
【解】(1)因为矩形的对角线相等，大前提
而正方形是矩形，小前提
所以正方形的对角线相等. 结论
(2)因为三角函数是周期函数，大前提
而y＝cos x(x∈R)是三角函数，小前提
所以y＝cos x(x∈R)是周期函数. 结论
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)。