最新10组合变形汇总

10组合变形

图10.4 斜弯曲分析参考图

10 组合变形

10.1 组合变形的概念和实例

分析组合变形问题时，通常是先把作用在杆件上的载荷向杆件的轴线简化，即把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。

工程中，常见的组合变形主要有斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲的组合、弯曲与扭转的组合。下面讨论这三种组合变形的强度计算问题。

10.2 斜弯曲

10.2.1 斜弯曲时横截面上的应力

外力简化 ?

?sin ,cos z y P P P P == 内力：

?cos )(cos )(y z M x l P x l P M =-=-=

?sin )(sin )(z y M x l P x l P M =-=-=

式中)(x l P M -=是集中力P 在横截面m-n 上所引起的弯矩，在计算中可取绝对值。

应力: 任意截面m-n 上任意点C （y ，z ）处的应力可采用叠加法计算。在xy 平面内的平面

弯曲（由于z M 的作用）产生的正应力为

y I M I y M z

z z cos ?

σ==

由于在xz 平面内的平面弯曲（由于y

M 的作用）

产生的正应力为

图10.1起重机构ACB 梁受力分析图10.2传动轴受力分析

z I M I z M y

y sin ?

σ''

C 点处的正应力，即 y y z z I z M I y M +=

''+'=σσσ????

??+=z I y I M y z

sin cos ??

（10.1）

10.2.2 斜弯曲时的强度计算

强度条件为

max 11z y cos sin M y z I I ??σ??

=+≤

? ???[]σ （10.2）对于有棱角的矩形截面，根据图10.4所示的应力分布，公式（10.2）还可写成 ≤

z zmax

y y max

max W M W M σ[]σ （10.3）

若材料的抗拉强度和抗压强度不同，则应分别对1D 点和2D 点都进行强度计

算。 0

sin cos 0y

0z =???? ??+=z I y I M ??σ

因为0≠M ，所以有 0sin cos 0y 0z =+z I y I ?

? （10.4）

此即斜弯曲时的中性轴方程。设中性轴与z 轴的夹角为α，根据公式（10.4）有

αtg tan y

z 00I I

z y -== （10.5）

由式（10.5）可得出以下两点结论：

(1) 对于z

y I I ≠的截面，则?α≠。这表明此种梁在发生斜弯曲时，其中性轴与外力P 所在的纵向平面不垂直（图10.5b ）。

(2) 对于圆形、正方形及其他正多边形截面，由于z

y I I =，故可由式（10.5）得：?α-=，这说明中性轴总是与载荷所在的纵向面垂直，即此类截面的梁不会产生斜弯曲。

10.2.3 斜弯曲的变形计算

y y z z cos 33P l P l f EI EI ?==－－

z y y cos 33Pl P l f EI EI ?==－－

z 2y f f f +=

（10.6）

设总挠度f 与y 轴的夹角为β（图10.6b ），

则有 ?

βtg tan y

z y z I I

f f == （10.7）

关于挠度、中性轴及外力P 的位置之间的关系，现作进一步讨论：

图10.6斜弯图

(1) 由式（10.7）知，若梁的横截面z

y I I ≠，则?β≠，这说明梁在变形后的挠曲线与外力P 所在的纵向面不共面，因此，称为斜截面。

(2) 对于z

y I I =的横截面（如圆形、正方形），则?β=，即挠曲线与外

力在同一纵向平面内。这种情况仍是平面弯曲。实际上，对于z

y I I =的横截面，过截面形心的任何一个轴都是形心主惯性轴。因此，外力作用将总能满足平面弯曲的条件。

(3) 由式（10.5）及式（10.7）知：中性轴与z 轴的夹角α等于挠度与y 轴的夹角β。即和平面弯曲一样，斜弯曲时，中性轴仍垂直于挠度f 所在的平

面。

【例题10.1】例10.1图所示结构的梁为16号工字钢，材料为Q 235--A 钢，〔σ〕=160MPa ，E =200GPa ，载荷P 与y 轴的夹角?=20?，P =7kN 梁的跨度l =4m 。试校核梁的强度及计算梁中点的挠度。解：①外力分析将P 沿y 轴和z 轴分解，得

kN 39.220sin 7sin kN 58.620cos 7cos z y =?===?==??P P P P

y P 和z

P 将分别使梁在xy 和xz 平面内产生平面弯曲。

②内力计算任一横截面上，由y P

和z P 作用产生的弯矩分别为z M 和y M ，

其内力图见图（b ）和（c ）。显然，在梁中点C 处，z M 和y M

同时取得最大值，故为危险截面。

39.244

39.24kN

58.644

58.64z y max y zmax =?===?==l P M l P M

③强度计算在作用下，截面C 的下边缘拉应力

最大，上边缘压应力最大。在y M

作用下，前侧边缘产生最大拉应力，后侧边缘产生最大压应力。应力叠加后，两边缘的交点1D 和2D 点分别产生最大拉应力和最大压应力（图d ）。

查型钢表，对于16号工字钢，

cm 141,cm 1.93,cm 11303

z 4y 4z ===W I I 3

y cm 2.21=W 。

由公式（10.3）

3y ymax z zmax max 102.211039.2101411058.6--??+??=+=W M W M σ<

=?=159.4MPa Pa 104.1596[]σ

故满足强度条件。

例10.1图工字钢结构梁

若载荷不偏离y 轴（0=?），C 截面弯矩最大 m

kN 744

74max ?=?==Pl M 故最大正应力为

MPa 6.49Pa 106.49101411076

3z max max =?=??==-W M σ

④ 挠度计算在y P

和z P 作用下， C 截面形心沿y 方向和z 方向的挠度分别为

mm 1.17m 101.1710

1.93102004841039.248mm 88.3m 1088.3101130102004841058.6483

933y 3z z 3

933z 3

y y =?=??????===?=??????==----EI l P f EI l P f

所以，总挠度为

z 2y f f f +=

=mm 5.171.1788.32

2=+

挠度f 与y 轴的夹角β（图d ）为 4

.488.31

.17tan y z ===f f β

10.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形

10.3.1 拉（压）与弯曲组合时的强度计算

图10.7（a ）所示为一等直杆，两端铰支，载荷2P 为作用在梁跨度

中点C 截面上的横向力，而1P 为作用于杆两端的轴向拉力。我们以此为例，说明杆在拉（压）与弯曲组合时的强度计算问题。

①外力分析 ②内力分析

③应力分析在C 截面上，与轴力N 对应的正应力σ'在横截面上均匀分布

（图10.7c ）其值为： A N =

'σ 而与m ax M 对应的弯曲正应力σ''在横截面上沿截面高度线性分布（图

10.7d ），其值为

z M y I σ?''=

图10.7 拉（压）与弯曲组合变形分析

例10.2图悬臂式吊车架最大弯曲正应力在C 截面的上、下边缘，其值为 max 2

4z z M P l W W σ==

④强度计算强度条件可表示为

≤+=

z max

max W M A N σ[]σ （10.8）【例题10.2】例10.2图所示为一悬臂式吊车架，在横梁AB 的中点D 作用一集

中载荷P =25kN ，已知材料的许用应力[]σ=100Mpa ，若横梁AB 为工字型梁，试选工字钢型号。

解：①横梁AB 受力分析取横梁AB 为研究对象，如图（b ）所示，由静力平衡条件解得 kN 5.12,kN 6.21,kN 25A A ===V H T

将T 沿梁的轴线及梁轴线垂直的方向分解，分别为1T 和2T ，则有

5.1221

2530sin kN 6.2123

2530cos 21=?=?==?

=?=T T T T

可见，在1T 和A H 作用下，梁承受轴向压缩；在P 、2

T 和A V 作用下，梁发生弯曲变形。因此，横梁AB 承受的是压缩与弯曲的的组合。

③内力分析横梁AB 的轴力图及弯矩图如图（c ）和（d ）所示。显然，危险截面是D 截面。其轴力和弯矩值分别为

kN 6.211-=-=T N

25.166.22541

41max =??==Pl M

④截面设计对于工字形梁，抗拉强度与抗压强度相同。在D 截面的上边缘。叠加后的正应力绝对值（压应力）达到最大值，故为危险点，

所以强度条件为

≤+=

z max

max W M A N σ[]σ 上式中，有两个未知量，即横截面积A 和抗弯截面模量W 。所以，仅由上式无法确定工字钢型号。工程中一般采用试算法。即先不考虑轴力N 的影响，只根据弯曲强度条件初选工字钢型号，然后再根据拉（压）弯组合的强度条件进行强度校核。

由弯曲正应力强度条件

≤

=W M

max max σ[]σ []

633

max

16.2510162.510m 162.5cm 100M W σ-?≥

==?=

查型钢表，选取18号工字钢，2

3cm

185=

W。

⑤强度校核将以上数据及已求得的N和m ax

M值代入拉（压）与弯曲组合的强度条件

max

max10

185

=94.9MPa〈

[]σ故选取18号工字钢满足强度条件。试算中，若初选出的工字钢型号，拉（压）弯组合的危险应力大于许用应力

[]σ，则应重新选取工字钢。

10.3.2 偏心压缩（拉伸）

现通过例题说明此类问题的强度计算。

【例题10.3】小型压力机的铸铁框架如例10.3图（a）所示。已知材料的许用拉应力

[]

σ=30MPa，许用压应力[]60

σMPa，载荷P=42kN，立柱的截面尺寸如图（b）所示。试校核立柱的强度。

例10.3图压力机铸铁框架

解：①截面几何性质计算

324

1510m,7.5cm,5312.5cm

A z I

=?==

②外力分析kN

)5.7

(

42-

M m

173?

③内力分析kN

N m

④强度计算

MPa

8.2

与弯矩y

对应的正应力沿z轴线性分布，并由公式y

=''σ计算。最大弯曲拉应力和压应力分别是

y06

tmax8

17.85107.510

25.210Pa25.2MPa

5312.510

M z

???

''===?=

精选题10组合变形

组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) e d =； (B) e d >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和 max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max 3σσσ==； (B)max1max 2max 3σσσ>=； (C)max 2max1max 3σσσ>=； (D)max1max3σσσ<=max2。答：C 3. 重合）。立柱受沿图示a-a (A)斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C)斜弯曲； (D)平面弯曲。答：B 4. (A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为/2h 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的倍： (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。答：C

6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max3σσσ<<； (B)max1max 2max3σσσ<=； (C)max1max3max 2σσσ<<； (D)max1max 3max 2σσσ=<。答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 移至B 时，柱内最大压应力的比值max max A B σ σ(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。答：C 8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A)轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合； (D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。答：C 9. 矩形截面梁的高度100mm h =，跨度1m l =。梁中点承受集中力F ，两端受力130kN F =，三力均作用在纵向对称面内，40mm a =。若跨中横截面的最大正应力与最小正应力之比为5/3。试求F 值。解：偏心距10mm 2 h e a =-= 跨中截面轴力 N 1F F = 跨中截面弯矩max 14Fl M Fe = -（正弯矩），或 max 14 Fl M Fe =- （负弯矩）

ch10组合变形

第十章组合变形 10-2 图a 所示板件，b =20mm ， =5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[] = 100 MPa ，试求板边切口的允许深度x 。题10-2图解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为 F F =N )(a b F M -= (a) 显然， 2 22x b x b a -=-= (b) 将式(b)代入式(a)，得 2 Fx M = 切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为 2 2N max 432(2a)6 22a Fx a F Fx a F W M A F δδδδσ+ =+=+= 根据强度要求，在极限情况下， ][4322 σδδ=+a Fx a F 将式(b)与相关数据代入上式，得 01039.61277.042=?+--x x 由此得切口的允许深度为 m m 20.5=x

10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为a ε=×10 -3 与b ε=×10-3 ，材料的弹性模量E =210GPa 。试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。题10-3图解：1.求a σ和b σ 截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有 MPa 84Pa 104.010210 MPa 210Pa 100.1102103 9 39=???===???==--b b a a E εσE εσ 偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。图10-3 2．求F 和e 将F 平移至杆轴线，得 Fe M F F ==，N 于是有 a z a E εW Fe A F σ=+= E εW Fe A F σz b =-= 代入相关数据后，上述方程分别成为 26250240=+Fe F 10500240=-Fe F

精选题10组合变形

99 组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) e d =； (B) e d >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和 max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max3σσσ==； (B)max1max 2max3σσσ>=； (C)max 2max1max3σσσ>=； (D)max1max3σσσ<=max2。答：C 3. 重合）。立柱受沿图示a-a (A)斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C)斜弯曲； (D)平面弯曲。答：B 4. (A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为/2h 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的倍： (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。答：C

100 6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max3σσσ<<； (B)max1max 2max3σσσ<=； (C)max1max3max 2σσσ<<； (D)max1max3max 2σσσ=<。答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 移至B 时，柱内最大压应力的比值max max A B σ σ(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。答：C 8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A)轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合； (D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。答：C 9. 矩形截面梁的高度100mm h =，跨度1m l =。梁中点承受集中力F ，两端受力130kN F =，三力均作用在纵向对称面内，40mm a =。若跨中横截面的最大正应力与最小正应力之比为5/3。试求F 值。解：偏心距10mm 2 h e a =-= 跨中截面轴力 N 1F F = 跨中截面弯矩max 14Fl M F e = -（正弯矩），或 m a x 14 Fl M F e =-（负弯矩）

第二章组合变形

第十一章组合变形 2.5 组合变形一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。三、重点难点重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；

拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可； ⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。五、学时:2学时六、讲课提纲 (一)斜弯曲斜弯曲梁的变形计算仍以矩形截面的悬臂梁为例：

第八章组合变形

第八章组合变形目录第八章组合变形 (2) §8.1 组合变形和叠加原理 (2) 一、组合变形的概念 (2) 二、组合变形的计算方法 (2) §8.2 斜弯曲 (2) 一、斜弯曲的概念 (2) 二、斜弯曲的应力计算 (2) §8.4 扭转与弯曲的组合 (4) 一、基本概念 (4) 二、扭转与弯曲的组合的应力计算 (4) 三、强度条件 (5) §8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合 (8) 一、基本概念 (8) 二、拉伸或压缩与弯曲的组合的应力计算 (8)

第八章组合变形 §8.1 组合变形和叠加原理一、组合变形的概念由两种或两种基本变形的组合而成的变形。例如：转扬机，牛腿，水坝，烟囱等。二、组合变形的计算方法由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。 §8.2 斜弯曲一、斜弯曲的概念若梁作用的载荷的荷载不在同一平面内或虽在同一平面但并不位于梁的一个形心主惯性矩内，这时梁发生非平面弯曲。这种非平面弯曲可分解为两个平面弯曲。两个互相垂直平面弯曲的组合，构成斜弯曲或双向弯曲。二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z 轴的外力将引起横截面上的弯矩y M ，也可列出

组合变形习题及参考答案

组合变形一、判断题 1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。( ) 2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。( ) 3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。( ) 4.正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。( ) 图 1 5. 上图中，梁的最大拉应力发生在B点。( ) 6. 图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。( ) 图 2 7.拉（压）与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。( ) 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3（C）所示。( )

图 3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。( ) 10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。( ) 11.杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的形心越远。( ) 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。（）二、选择题 1.截面核心的形状与（）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 2.圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是（）图 4 A、斜弯曲 B、纯弯曲 C、弯扭组合 D、平面弯曲三、计算题 1.矩形截面悬臂梁受力F1=F，F2=2F，截面宽为b，高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。

图 5 2.图6所示简支梁AB上受力F=20KN，跨度L=2.5m，横截面为矩形，其高h=100mm,宽b=60mm，若已知α=30°，材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN，墙高H=3m，厚0.75m，许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa，许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa，墙的单位体积重量为，试校核挡土墙的强度。图 6 图 7 4.一圆直杆受偏心压力作用，其偏心矩e=20mm,杆的直径d=70mm,许用应力[σ]=120Mpa,试求此杆容许承受的偏心压力F之值。

最新10组合变形汇总